Copula và phụ thuộc đuôi trong tài chính

Mỗi tài sản có một phân phối biên mô tả kết quả riêng, còn cấu trúc phụ thuộc quyết định các thứ hạng xác suất của chúng xuất hiện cùng nhau như thế nào

Hai danh mục có thể có cùng các phân phối lỗ riêng lẻ và cùng correlation tuyến tính nhưng lại có xác suất sụp đổ đồng thời khác nhau đáng kể

Copula làm sự tách biệt đó trở nên rõ ràng, nhưng các phân phối biên và copula được chọn vẫn phải được ước lượng đủ đồng thời để không che giấu sai số ở một trong hai tầng

Với một phân phối kết hợp F có các phân phối biên F_1,…,F_d, định lý Sklar viết F(x_1,…,x_d)=C(F_1(x_1),…,F_d(x_d))

Khi các phân phối biên liên tục, copula C là duy nhất và không thay đổi dưới các phép biến đổi tăng nghiêm ngặt của các biến

Tính bất biến này khiến phụ thuộc dựa trên thứ hạng trở nên tự nhiên, nhưng không có nghĩa là phụ thuộc không đổi theo thời gian hoặc được xác định đầy đủ từ dữ liệu hạn chế

Pearson correlation tóm tắt đồng biến động tuyến tính quanh toàn bộ phân phối và nhạy với thang đo biên cũng như giá trị ngoại lệ

Ngay cả Kendall’s tau hoặc Spearman’s rho, dù dựa trên copula khi các phân phối biên liên tục, cũng lấy trung bình phụ thuộc thay vì chỉ mô tả góc xa nhất

Vì vậy, một mô hình có thể khớp đồng biến động thông thường nhưng gán xác suất quá thấp cho các khoản lỗ nghiêm trọng xảy ra đồng thời

Phụ thuộc đuôi trên là λ_U=lim_{q→1}P(V>q|U>q), còn phụ thuộc đuôi dưới là λ_L=lim_{q→0}P(V≤q|U≤q), khi các giới hạn tồn tại

Với các biến lỗ, góc phù hợp phụ thuộc vào quy ước dấu; các vụ sụp đổ của lợi suất cổ phiếu thường nằm ở đuôi dưới, còn độ lớn lỗ dương nằm ở đuôi trên

Hệ số bằng không có nghĩa là độc lập tiệm cận ở đuôi, không phải độc lập tại mọi ngưỡng cao nhưng hữu hạn

Copula Gaussian không suy biến có phụ thuộc đuôi tiệm cận bằng không dù correlation dương, trong khi copula t có phụ thuộc đuôi dương đối xứng tại bậc tự do hữu hạn

Clayton nhấn mạnh phụ thuộc đuôi dưới còn Gumbel nhấn mạnh phụ thuộc đuôi trên, vì vậy xoay hoặc biến đổi các biến sẽ thay đổi góc tài chính nào được biểu diễn

Chọn một họ chỉ vì nó quen thuộc đồng nghĩa với việc âm thầm chọn hình học khủng hoảng, bao gồm tính đối xứng, mức tập trung và hành vi cực trị có điều kiện

Lọc động lực chuỗi và volatility khi phù hợp, biến phần dư đã hiệu chỉnh thành thứ hạng xác suất, rồi kiểm tra xem các thứ hạng đó có gần phân phối đều hay không

Ước lượng tham số copula kèm bất định và so sánh các họ bằng chẩn đoán có trọng số theo đuôi, likelihood trên dữ liệu giữ lại và đồ thị vượt ngưỡng có điều kiện

Mẫu ngắn chứa rất ít cực trị đồng thời, còn gộp lịch sử dài có thể trộn các chế độ không tương thích và tạo ra độ chính xác giả

Tính lại VaR danh mục, Expected Shortfall, lỗ stress và mức đa dạng hóa dưới các phân phối biên, copula và đặc tả biến thiên theo thời gian đáng tin cậy khác nhau

Backtest các lần vượt ngưỡng đồng thời và các thất bại có điều kiện thay vì chỉ kiểm định từng tài sản riêng lẻ hoặc chỉ khớp một ma trận correlation

Báo cáo phụ thuộc tại ngưỡng hữu hạn cùng với các hệ số tiệm cận, vì quyết định vốn thực tế được đưa ra trước khi đạt tới giới hạn toán học