Giải thích Value at Risk so với Expected Shortfall

Với khoản lỗ L có CDF F_L, định nghĩa VaR_α(L)=inf{l:F_L(l)≥α}

VaR một ngày 99% bằng 10 nghĩa là mô hình đặt khoảng 1% các khoản lỗ một ngày ở trên 10 theo các quy ước của mô hình

Điều đó không có nghĩa khoản lỗ tối đa là 10, các khoản lỗ sẽ nằm dưới 10 trong 99 trên mỗi 100 ngày liên tiếp, hay các lần vượt ngưỡng là nhỏ

Một định nghĩa mạnh là ES_α(L)=(1−α)^{-1}∫_α^1 VaR_u(L)du với một khoản lỗ khả tích

Với một phân phối liên tục, nó thường bằng E[L|L≥VaR_α], tùy thuộc quy ước phần đuôi được chọn

Khi có các điểm khối tại phân vị, một trung bình có điều kiện đơn giản có thể chọn quá nhiều khối lượng, vì vậy định nghĩa tích phân xử lý đúng phần khối lượng phân vị cần lấy một phần

Hai danh mục có thể có cùng VaR trong khi một danh mục phân bổ các khoản lỗ lớn hơn nhiều ở phía vượt ngưỡng

VaR không có tính dưới cộng cho mọi phân phối và đôi khi có thể phạt đa dạng hóa hoặc thưởng cho các hiệu ứng tập trung quanh ngưỡng

ES có tính nhất quán theo các định nghĩa và điều kiện khả tích tiêu chuẩn, nhưng tính nhất quán không làm một mô hình sai đặc tả hoặc bộ dữ liệu cũ trở nên đáng tin

VaR lịch sử là một thống kê thứ tự; ES lịch sử chỉ lấy trung bình các quan sát nằm sau thứ hạng được chọn

Ở mức độ tin cậy cao, ES vì vậy dùng rất ít quan sát hiệu dụng và có thể có độ bất định lấy mẫu lớn hơn nhiều

Các ước tính tham số, đã lọc, giá trị cực trị và Monte Carlo thêm các giả định mô hình phải khớp với kỳ hạn, sự phụ thuộc, thanh khoản và chế độ thị trường

Kiểm định VaR có thể đếm các lần vượt ngưỡng và đánh giá xem thời điểm của chúng có tập trung thành cụm nhiều hơn mức mô hình cho phép hay không

ES không được đánh giá hữu ích chỉ bằng tần suất vượt ngưỡng; có thể đánh giá nó cùng VaR bằng các hàm chấm điểm phù hợp hoặc chẩn đoán khoản lỗ phần đuôi

Một backtest đạt kết quả tốt chỉ nói rằng sai số dự báo trong quá khứ đáp ứng kiểm định và cửa sổ đó, không phải chế độ tiếp theo hay vị thế chưa được mô hình hóa đã được bao phủ

Rockafellar–Uryasev dùng min_t{t+(1−α)^{-1}E[(L−t)_+]}; giá trị nhỏ nhất của nó bằng ES theo quy ước đã nêu

Một t tối ưu là phân vị VaR trong các điều kiện tiêu chuẩn, biến nhiều bài toán ES dựa trên kịch bản thành các chương trình lồi

Kết quả vẫn phụ thuộc vào chất lượng kịch bản, tính phi tuyến của vị thế, ràng buộc giao dịch và việc ánh xạ khoản lỗ có lồi hay không

Nêu dấu của khoản lỗ, kỳ hạn, mức độ tin cậy, thời điểm định giá, cửa sổ dữ liệu, trọng số, đồng tiền và cách xử lý giá thiếu hoặc cũ

Báo cáo VaR và ES cùng khoảng bất định, lịch sử vượt ngưỡng, yếu tố đóng góp vào đuôi, kịch bản stress và các giới hạn nằm ngoài mô hình thống kê

Tính lại dưới các cửa sổ và giả định phụ thuộc khác nhau, đồng thời điều tra các thay đổi thay vì coi một con số là chứng nhận rủi ro