Giải thích về moment explosion và công thức moment của Lee

Với giá cuối kỳ không âm S_T, một moment lũy thừa E[S_T^r] đặt trọng số lớn cho giá cao khi r dương và cho giá gần không khi r âm

Phương sai hữu hạn chỉ liên quan đến một bậc; hành vi của cánh quyền chọn phụ thuộc vào biên của toàn bộ các moment dương hoặc nghịch đảo hữu hạn

Đây là các moment trung hòa rủi ro tại một kỳ hạn cố định, không phải ước tính mẫu của lợi nhuận thực tế hoặc lời hứa về tần suất trong tương lai

Với bậc r, định nghĩa thời điểm explosion T_c(r)=sup{t:E[S_t^r]<∞}; một số mô hình có T_c(r) hữu hạn với r đủ cực đoan

Quá trình vẫn có thể được xác định rõ trên từng quỹ đạo ngay cả khi các kết quả hiếm khiến một kỳ vọng bậc cao trở nên vô hạn

Do đó, moment explosion khác với việc phương sai chạm không, trạng thái mô phỏng trở nên âm hoặc quỹ đạo tài sản phân kỳ tại một thời điểm hữu hạn

Với kỳ hạn T, định nghĩa p_c=sup{p≥0:E[S_T^{1+p}]<∞} cho đuôi phải và q_c=sup{q≥0:E[S_T^{-q}]<∞} cho đuôi trái

p_c lớn hơn có nghĩa nhiều moment dương hữu hạn hơn và đuôi phải khả dĩ nhẹ hơn; q_c lớn hơn cung cấp thông tin tương tự gần không

Các giá trị tới hạn phụ thuộc vào kỳ hạn, tham số mô hình, độ đo định giá và quy ước đầu mút chặt hay không chặt

Đặt k=log(K/F_T) và tổng phương sai biến động ngụ ý w(k,T)=σ_imp(k,T)²T theo các quy ước forward nhất quán

Kết quả cánh phải của Lee là limsup_{k→∞} w(k,T)/k = ψ(p_c), với ψ(x)=2−4(√(x²+x)−x); cánh trái dùng ψ(q_c)

Hàm này giảm từ 2 xuống 0, vì vậy ít moment hữu hạn hơn cho phép cánh tiệm cận dốc hơn, còn nhiều moment hữu hạn hơn buộc cánh phẳng hơn

Công thức nói về limsup tại độ lệch log-moneyness cực đoan, không phải độ lệch cục bộ tại các strike được niêm yết hoặc một đường thẳng chính xác bắt đầu từ một ngưỡng được chọn

Nó xác định độ dốc tiệm cận từ thông tin moment nhưng không xác định tung độ gốc, độ cong, tốc độ hội tụ hoặc smile tại strike hữu hạn

Không có arbitrage cung cấp khung, nhưng một bề mặt thực tế vẫn cần tính nhất quán theo lịch và butterfly giữa các strike và kỳ hạn

Trong Heston và các mô hình biến động affine khác, moment mũ gắn với nghiệm Riccati tổng quát được đánh giá tại các đối số biến đổi thực

Một nghiệm Riccati có thể bùng nổ với một bậc moment nhất định, cho phép tính thời điểm explosion hoặc moment tới hạn từ các tham số mô hình

Hàm đặc trưng có thể vẫn hợp lệ trên các tần số thực ngay cả khi một dịch chuyển phức cần cho phép biến đổi quyền chọn nằm ngoài miền moment

Tính p_c và q_c theo kỳ hạn, xác minh riêng điều kiện martingale và kiểm tra xem giảm chấn biến đổi có nằm trong dải moment hữu hạn hay không

So sánh độ dốc cánh được khớp với các giới hạn Lee, phạm vi quyền chọn được báo giá, kiểm tra arbitrage tĩnh và độ bất định tham số thay vì một điểm ngoại suy duy nhất

Hãy coi moment tới hạn không ổn định là bằng chứng rủi ro mô hình: những thay đổi nhỏ trong hiệu chỉnh có thể tạo ra khác biệt lớn rất xa các strike thanh khoản