Khai triển Cornish–Fisher cho các phân vị rủi ro

Với xác suất p, gọi z_p=Φ^{-1}(p) là phân vị chuẩn tắc

Cornish–Fisher điều chỉnh z_p, sau đó co giãn kết quả bằng trung bình mục tiêu μ và độ lệch chuẩn σ

Nó trả lời ngưỡng nào tương ứng với p, chứ không cho biết mật độ hoặc khoản lỗ kỳ vọng nằm ngoài ngưỡng đó

Với độ lệch chuẩn hóa γ₁ và độ nhọn dư γ₂, một phép cắt ngắn phổ biến bắt đầu bằng z_p+γ₁(z_p²−1)/6

Sau đó nó cộng thêm γ₂(z_p³−3z_p)/24−γ₁²(2z_p³−5z_p)/36 trước khi nhân với σ và cộng μ

Hạng γ₁² cho thấy bậc tiệm cận không giống với việc đơn giản cộng một điều chỉnh cho mỗi moment bậc cao hơn

Cornish–Fisher có thể được suy ra bằng cách đảo một xấp xỉ Edgeworth của một phân phối tích lũy

Edgeworth xấp xỉ mật độ hoặc CDF tại x; Cornish–Fisher xấp xỉ x đạt được một xác suất tích lũy đã chọn

Cả hai đều cần một chuỗi tiệm cận được nêu rõ và quy mô cumulant nếu muốn bậc cắt ngắn được kiểm soát

Ước lượng từ lợi suất thực tế có thể điều chỉnh các kịch bản VaR lịch sử hoặc dự báo, trong khi cumulant hàm ý từ quyền chọn mô tả một phân phối trung hòa rủi ro

Hai đầu vào đó trả lời các câu hỏi khác nhau và không nên trộn lẫn chỉ vì chúng cùng dùng các từ độ lệch và độ nhọn

Cornish–Fisher cung cấp một ngưỡng nhưng không cung cấp expected shortfall, vốn phụ thuộc vào toàn bộ phân phối lỗ phía ngoài ngưỡng đó

Điều chỉnh đa thức tăng nhanh khi |z_p| lớn và có thể khiến một phân vị ước lượng giảm khi p tăng

Độ lệch hoặc độ nhọn lớn cũng có thể đẩy xấp xỉ ra ngoài miền giá trị của biến hoặc đảo ngược thứ tự đuôi dự kiến

Sắp xếp lại đơn điệu có thể sửa thứ tự về mặt số học, nhưng đường cong sau sửa không còn là khai triển cắt ngắn nguyên trạng

Độ lệch và độ nhọn mẫu nhiễu, nhạy với giá trị ngoại lệ, lựa chọn cửa sổ, chuyển chế độ và phụ thuộc

Dùng các đầu vào ước lượng như thể chúng đã biết sẽ bỏ qua bất định tham số, vốn có thể chi phối điều chỉnh tiệm cận hình thức

Xác suất đuôi xa khuếch đại cả sai số hệ số lẫn sai số cắt ngắn, đúng tại nơi quyết định rủi ro có hậu quả lớn nhất

Kiểm tra q(p) trên một lưới xác suất dày về tính đơn điệu, giá trị hữu hạn, ràng buộc miền giá trị và hành vi hợp lý ở hai đầu

So sánh với các phân phối chính xác, mô phỏng, khoảng bootstrap và tỷ lệ vượt ngưỡng ngoài mẫu tại nhiều mức xác suất

Ghi lại quy ước cumulant, khoảng thời gian mẫu, cách xử lý phụ thuộc, bậc cắt ngắn, phương pháp sửa và phép tính expected shortfall riêng biệt