Kiểm định đồng liên kết Johansen: Hạng, Trace và Giá trị riêng cực đại

Giả sử \(y_t\) gồm \(k\) biến, mỗi biến được xem là \(I(1)\) trong một thiết lập sinh dữ liệu đã nêu. Hạng đồng liên kết \(r\) là số tổ hợp tuyến tính độc lập từ các mức của những biến này có tính dừng. Nếu \(r=0\), mô hình không tìm thấy tổ hợp như vậy trong đặc tả đã chọn. Nếu \(0<r<k\), có \(r\) mối quan hệ dài hạn độc lập và, theo các điều kiện thông thường của hệ thống \(I(1)\), còn lại \(k-r\) xu hướng ngẫu nhiên chung. Hạng bằng một nghĩa là một mối quan hệ trải rộng trong cả hệ thống; điều đó không nhất thiết có nghĩa là một cặp tài sản hiển nhiên.

Đây là câu hỏi về toàn bộ hệ thống. Quy trình Engle–Granger hai bước ước lượng một phương trình dài hạn đã chuẩn hóa, rồi kiểm định phần dư ước lượng. Ngược lại, phương pháp hợp lý cực đại của Johansen ước lượng và kiểm định số chiều của không gian đồng liên kết trong một mô hình tự hồi quy vectơ, nên có thể biểu diễn nhiều hơn một mối quan hệ độc lập. Hai phương pháp trả lời những câu hỏi liên quan nhưng khác nhau; kết quả có thể không giống nhau trong mẫu hữu hạn hoặc khi lựa chọn độ trễ và thành phần xác định khác nhau.

VAR ở dạng mức có thể được viết lại thành dạng hiệu chỉnh sai số vectơ rút gọn sau đây; các thành phần xác định được lược bỏ:

\[ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\Gamma_j\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

Ở đây \(p\) là bậc trễ của VAR ở dạng mức. Các cột của \(\beta\) mô tả tổ hợp dài hạn, còn \(\alpha\) chứa hệ số điều chỉnh, nối trạng thái mất cân bằng trước đó với các thay đổi hiện tại. Khi hạng của \(\Pi\) bằng \(r\), có thể phân tích nó thành các ma trận \(\alpha\) và \(\beta\) kích thước \(k\times r\). Hạng ma trận, chứ không chỉ số biến, quyết định số hạng hiệu chỉnh sai số có trong hệ thống.

Nếu cả \(k\) chuỗi thực sự đều là \(I(1)\), các trường hợp đồng liên kết thông thường có \(r<k\). Kết quả hạng đầy đủ gợi ý các mức là dừng quanh những thành phần xác định mà đặc tả đã khớp cho phép; khi đó cần xem xét lại giả định ban đầu về bậc tích hợp. Hạng không có nghĩa là không chứng minh được các biến hoàn toàn không liên hệ; nó cho biết mô hình đã chọn không tìm thấy tổ hợp mức dừng tại hạng đang kiểm định.

Sắp xếp các giá trị riêng ước lượng theo thứ tự \(1>\hat\lambda_1\ge\hat\lambda_2\ge\cdots\ge\hat\lambda_k\ge0\). Chúng xuất phát từ bài toán hạng rút gọn trong quy trình hợp lý cực đại, không phải tỷ lệ phần trăm phương sai giải thích thông thường. Với hạng ứng viên \(r\), thống kê trace là

\[ \operatorname{LR}_{\mathrm{trace}}(r)=-T\sum_{i=r+1}^{k}\ln(1-\hat\lambda_i), \]

và kiểm định \(H_0:\operatorname{rank}(\Pi)\le r\) so với \(H_A:\operatorname{rank}(\Pi)>r\). Thống kê này cộng dồn bằng chứng từ các giá trị riêng còn lại. Thống kê giá trị riêng cực đại là

\[ \operatorname{LR}_{\max}(r,r+1)=-T\ln(1-\hat\lambda_{r+1}), \]

và kiểm định hạng \(r\) so với hạng kế tiếp \(r+1\). Do đó, kiểm định trace hỏi tổng số mối quan hệ có lớn hơn \(r\) hay không, còn kiểm định giá trị riêng cực đại hỏi dữ liệu có ủng hộ việc thêm mối quan hệ kế tiếp hay không. Dưới giả thuyết không về hạng, cả hai thống kê đều không có phân phối tham chiếu chi bình phương thông thường.

Hãy hình dung một hệ thống ba biến có 200 quan sát sử dụng được, với các giá trị riêng ước lượng đã sắp xếp là \(0.16\), \(0.05\) và \(0.01\). Đây là các số giả định để hướng dẫn, không phải ước lượng thị trường. Tại \(r=0\), thống kê trace cộng cả ba số hạng, cho kết quả khoảng \(47.14\); thống kê giá trị riêng cực đại chỉ dùng số hạng đầu tiên, cho kết quả khoảng \(34.87\). Tại \(r=1\), các giá trị tương ứng khoảng \(12.27\) và \(10.26\); tại \(r=2\), cả hai đều dùng giá trị riêng cuối cùng và bằng khoảng \(2.01\).

Phép tính cho ra thống kê kiểm định, chứ chưa phải quyết định về hạng. Để ra quyết định, hãy so sánh từng thống kê với giá trị tới hạn hoặc p-value phù hợp chính xác với trường hợp xác định và trình tự kiểm định đã chọn. Chẳng hạn, dòng “bác bỏ tại \(r=0\)” trong bảng phần mềm là bằng chứng chống lại hạng không chỉ dưới các giả định của bảng đó và mức ý nghĩa đã chọn; đây không phải xác suất trực tiếp rằng chênh lệch của một tài sản cụ thể là dừng. P-value cao hơn ngưỡng có nghĩa là không bác bỏ giả thuyết không ở hạng đó, chứ không chứng minh giả thuyết không đúng.

Hãy chọn bậc VAR có thể biện minh trước khi diễn giải hạng. VAR dạng mức bậc \(p\) tương ứng với \(p-1\) độ trễ của sai phân trong VECM. Quá ít độ trễ có thể để lại tương quan chuỗi trong phần dư; quá nhiều độ trễ tiêu tốn bậc tự do và khiến suy luận trong mẫu hữu hạn kém ổn định. Tiêu chí thông tin giúp sắp xếp các bậc ứng viên, nhưng chẩn đoán phần dư, kích thước mẫu và thời điểm kinh tế cũng quan trọng. Hãy nêu cách chọn bậc và kiểm tra các phương án hợp lý.

Quyết định vị trí của hằng số và xu hướng: nằm ngoài quan hệ đồng liên kết, bị ràng buộc bên trong hay không có trong mô hình giả định. Các trường hợp này hàm ý động lực dài hạn và phân phối kiểm định hạng khác nhau. Chọn đặc tả theo câu hỏi và dữ liệu, không phải bằng cách tìm p-value thuận lợi nhất. Dùng các giá trị tới hạn khớp với trường hợp xác định, số biến và cách triển khai chính xác. Thống kê hạng Johansen có phân phối phi chuẩn. MacKinnon, Haug và Michelis tính các phân phối mặt đáp ứng cho những kiểm định tỷ số hợp lý kiểu Johansen với đặc tả cụ thể, bao gồm một mở rộng cho phép biến ngoại sinh \(I(1)\). Không thể áp dụng các giá trị đó cho mọi thiết lập kiểm định hạng.

Vị trí của thành phần xác định không phải lựa chọn mang tính trang trí trong phần mềm. Trong các cách tham số hóa phổ biến, hằng số bị ràng buộc bên trong quan hệ đồng liên kết cho phép tổ hợp cân bằng có trung bình khác không; hằng số không bị ràng buộc ở bên ngoài có thể cho phép mức có xu hướng xác định khác. Các ràng buộc xu hướng cũng làm thay đổi quỹ đạo dài hạn được giả định. Bảng chỉ ghi “có hằng số” là chưa đầy đủ nếu không nói rõ hằng số nằm ở đâu. Hãy đọc phương trình mô hình và báo cáo từng ràng buộc.

Không gian đồng liên kết là đối tượng ước lượng chính. Trong mô hình hạng một, nhân vectơ \(\beta\) với một hằng số khác không không làm thay đổi tổ hợp mức nào là dừng; vì vậy nhà phân tích chọn cách chuẩn hóa, chẳng hạn đặt một hệ số bằng một. Với hạng cao hơn, nhiều cơ sở có thể sinh ra cùng một không gian; các vectơ mà phần mềm hiển thị không tự động là những quan hệ kinh tế duy nhất. Muốn diễn giải một vectơ cụ thể cần có ràng buộc hoặc lý thuyết bổ sung, và cần báo cáo cách chuẩn hóa.

Ma trận điều chỉnh \(\alpha\) cho biết biến nào phản ứng với mất cân bằng trong hệ thống đã ước lượng. Dấu của hệ số phụ thuộc vào cách chuẩn hóa được chọn; các phần tử là hệ số có điều kiện trong hệ thống chứ không phải hiệu ứng nhân quả độc lập. Một tải điều chỉnh nhỏ hoặc bằng không có thể gợi ý giả thuyết ngoại sinh yếu, nhưng kết luận đó đòi hỏi các ràng buộc hình thức tương ứng và mô hình duy trì. Chỉ riêng hạng đồng liên kết không cho biết biến nào “dẫn dắt”, quan hệ nào có ý nghĩa kinh tế hoặc cú sốc sẽ tác động đến giá tương lai ra sao.

Tính không duy nhất là đặc tính của phép phân tích nhân tử, chứ không chỉ là vấn đề hiển thị. Với \(H\) khả nghịch, \(\beta H\) và \(\alpha(H^{-1})^{\mathsf T}\) tạo ra cùng một ma trận dài hạn \(\Pi\). Vì vậy, không gian ước lượng có thể được xác định dù một bộ vectơ cụ thể được hiển thị không phải là duy nhất. Muốn chọn một vectơ làm chênh lệch để giao dịch cần có chuẩn hóa tường minh hoặc ràng buộc kinh tế; đơn vị và rủi ro của nó vẫn cần được phân tích riêng.

Thông thường, hạng được đánh giá bằng cách kiểm định tuần tự các giá trị ứng viên, bắt đầu từ không và tăng dần cho đến giả thuyết không đầu tiên không bị bác bỏ. Hạng được chọn là một lựa chọn mô hình theo mức ý nghĩa và đặc tả đã dùng. Nếu kiểm định trace và giá trị riêng cực đại cho kết quả khác nhau, hãy báo cáo cả hai rồi xem xét bậc trễ, thành phần xác định, lực kiểm định thấp, điểm gãy cấu trúc và độ nhạy của mẫu thay vì che giấu sự bất đồng.

Giá trị tới hạn của tỷ số hợp lý là phi chuẩn và phụ thuộc đặc tả hệ thống. Hành vi gần nghiệm đơn vị, mẫu ngắn, ngoại lệ, thay đổi chế độ, biến \(I(2)\) hoặc biến giải thích ngoại sinh có tích hợp có thể khiến thiết lập \(I(1)\) đơn giản không phù hợp. Bảng hạng tiêu chuẩn không tự động bao quát các trường hợp này. Công trình ban đầu của Johansen phát triển suy luận hợp lý dưới giả định VAR Gaussian; các tính toán mặt đáp ứng về sau cung cấp phân phối tham chiếu cho những thiết lập kiểm định cụ thể, không phải cho mọi vấn đề dữ liệu có thể có.

Chẳng hạn, nếu kiểm định trace bác bỏ \(r=0\) và \(r=1\), nhưng không bác bỏ \(r=2\), trình tự thông thường chọn hạng hai theo đặc tả và mức ý nghĩa đó. Điều này không có nghĩa xác suất hạng hai đúng bằng một. Trình tự kiểm định giá trị riêng cực đại so sánh các giả thuyết không về hai hạng liền kề, vì vậy cũng cần trình bày các quyết định của nó. Không dùng giá trị tới hạn của kiểm định này cho thống kê của kiểm định kia.

Hạng được chọn cũng gắn với giai đoạn mẫu. Một thay đổi trong quan hệ kinh tế, cấu trúc thị trường hoặc định nghĩa biến có thể khiến ước lượng ở phần đầu và cuối mẫu khác nhau. Phân tích độ nhạy có thể phát hiện sự bất ổn đó, nhưng việc tìm kiếm nhiều điểm kết thúc tạo thêm vấn đề kiểm định bội. Hãy nêu rõ các cửa sổ đã được dự định trước và xem những cách chia mẫu không lên kế hoạch là bằng chứng thăm dò.

Trong một nghiên cứu giao dịch, vectơ \(\beta\) ước lượng có thể là một lựa chọn để định nghĩa chênh lệch, nhưng hạng không cung cấp mức vào lệnh, thoát lệnh, quy mô vị thế hay lợi nhuận kỳ vọng. Khi có nhiều vectơ đồng liên kết, việc chọn một tổ hợp có thể liên quan đến chuẩn hóa, ràng buộc và lựa chọn dữ liệu. Trọng số có thể hàm ý vị thế bán khống, đòn bẩy hoặc thanh khoản kém dù mối quan hệ thống kê đã được ước lượng.

Hãy ước lượng hệ thống chỉ bằng thông tin có sẵn tại từng ngày ra quyết định, rồi kiểm định toàn bộ quy trình lựa chọn và ước lượng lại theo thứ tự thời gian. Kiểm tra liệu mối quan hệ có ổn định ngoài mẫu hay không; khi phù hợp, tính đến cổ tức, chuyển kỳ hợp đồng, quy đổi tiền tệ, tài trợ, khả năng vay, chênh lệch giá mua-bán, tác động thị trường và thời điểm khớp lệnh. Bác bỏ giả thuyết về hạng là bằng chứng về một mô hình đã xác định, không phải khẳng định sinh lời. Hướng dẫn về kiểm định Engle–Granger và hiệu chỉnh sai số trình bày phương án một phương trình; bài đồng liên kết và tương quan trong giao dịch cặp giải thích vì sao tương quan là thuộc tính khác.

Hãy xác định \(k\) biến, phép biến đổi, tần suất quan sát, ngày lấy mẫu và bằng chứng về bậc tích hợp. Báo cáo bậc trễ VAR dạng mức, vị trí của các thành phần xác định, kích thước mẫu hiệu dụng, thống kê trace và giá trị riêng cực đại, giá trị tới hạn hoặc p-value tương ứng, mức ý nghĩa và các quyết định hạng tuần tự. Nêu rõ hai kiểm định có thống nhất không, hạng nào được dùng tiếp và những kiểm tra độ nhạy nào làm thay đổi kết quả.

Khi trình bày vectơ, hãy nêu cách chuẩn hóa, các ràng buộc và tải điều chỉnh tương ứng. Với ứng dụng giao dịch, công khai thông tin có sẵn tại mỗi lần tái cân bằng, quy tắc chọn vectơ, thiết kế ngoài mẫu, chi phí và cách xử lý thất bại. Phân tích các vectơ đồng liên kết của Johansen năm 198890041-3) phát triển phương pháp hợp lý cho không gian và hạng đồng liên kết. Công trình VAR Gaussian năm 1991 bàn về suy luận hạng và các giả thuyết về vectơ. MacKinnon, Haug và Michelis cung cấp phân phối mặt đáp ứng cho kiểm định tỷ số hợp lý đồng liên kết. Hướng dẫn liên quan giải thích tính dừng và nghiệm đơn vị.