Giải thích Black–Scholes d1 so với d2

d1 kết hợp mức độ in-the-money theo log spot-to-strike, carry từ lãi suất và cổ tức, cùng một nửa số hạng variance, rồi chia cho σ√T.

d2 trừ σ√T khỏi d1. Khi biến động và thời gian dương, d2 luôn thấp hơn d1.

Thời gian, biến động năm hóa, lãi suất và lợi suất cổ tức cần các quy ước day-count và compounding nhất quán.

Đại lượng σ√T đo quy mô độ lệch chuẩn được mô hình hóa đến ngày đáo hạn, nên biến động hoặc thời gian lớn hơn sẽ mở rộng khoảng cách d1–d2.

Ngay cả khi spot bằng strike, carry và số hạng half-variance vẫn khiến d1 và d2 không nhất thiết đối xứng quanh zero.

Giá trị dương lớn cho biết một tọa độ mô hình deep-ITM; giá trị âm lớn cho biết deep OTM, không phải phán đoán giao dịch hoàn chỉnh.

Giá call châu Âu có thể được viết thành một số hạng có trọng số cổ phiếu trừ một số hạng có trọng số strike đã chiết khấu.

N(d2) trong số hạng strike liên hệ với xác suất mô hình trung lập với rủi ro rằng spot cuối kỳ vượt strike và call trả payoff khi đáo hạn.

Phát biểu đó giả định mô hình lognormal liên tục và carry được chỉ định. Nó không phải ước tính thực nghiệm về tần suất trong thế giới thực.

Với call Black–Scholes không cổ tức, delta bằng N(d1); với lợi suất cổ tức liên tục q, delta là e^(−qT)N(d1).

Delta là thay đổi cục bộ của giá trị quyền chọn lý thuyết khi giá spot thay đổi một lượng nhỏ, với các input mô hình khác cố định.

N(d1) liên hệ với trọng số theo stock-numeraire, khiến nó khác xác suất đáo hạn theo event được tính theo cash-numeraire của N(d2).

Với put châu Âu, event in-the-money khi đáo hạn là spot cuối kỳ thấp hơn strike và liên hệ với N(−d2) trong mô hình cơ bản.

Delta put không cổ tức là N(d1)−1; với cổ tức liên tục, nó có dạng e^(−qT)(N(d1)−1).

Đừng ghi nhớ call rồi tùy tiện đảo dấu. Hãy xác định event payoff tách biệt với hướng nhạy cảm của giá.

ITM khi đáo hạn hỏi spot kết thúc ở đâu; xác suất chạm hỏi liệu một mức giá có được đạt tới tại bất kỳ thời điểm nào trên đường đi hay không.

Xác suất có lợi nhuận bao gồm phí tham gia và điểm hòa vốn, còn dự báo thực tế có thể bao gồm risk premium và niềm tin chủ quan.

Đọc delta 0.30 như “30% khả năng có lợi nhuận” là nhầm lẫn giữa N(d1), N(d2), measure định giá và measure thực tế, cùng các ngưỡng payoff.

IV thị trường thay đổi theo strike và ngày đáo hạn, nên convention biến động và surface được chọn sẽ thay đổi d1, d2 và các giá trị N của chúng.

Exercise kiểu Mỹ, cổ tức rời rạc, chi phí borrow và jump làm suy yếu cách diễn giải xác suất của công thức châu Âu đơn giản.

Delta trên các nền tảng có thể khác nhau vì mô hình, báo giá, cổ tức và lãi suất khác nhau. Một con số hiển thị không thể tách khỏi các input đó.

Ghi lại spot, strike, timestamp, thời gian đến đáo hạn, IV, lãi suất, cổ tức, call hay put và kiểu exercise.

Khi trình bày d1, d2 hoặc giá trị N, hãy ghi chính xác delta và xác suất mô hình ITM khi đáo hạn theo trung lập với rủi ro.

Đối với một quyết định, hãy thêm payoff, điểm hòa vốn, bid-ask, các kịch bản surface và định giá lại đầy đủ thay vì dựa vào một tọa độ.