Lợi nhuận số học so với hình học: vì sao mức trung bình 10% không phải tăng trưởng 10%

Dùng các kỳ liên tiếp có độ dài bằng nhau cho cùng một khoản đầu tư hoặc danh mục. Làm việc trong một loại tiền tệ, với giá trị ban đầu dương và không có dòng tiền bên ngoài. Nêu rõ thu nhập có được tái đầu tư không và lợi nhuận có bao gồm chi phí không.

Viết lợi nhuận mỗi kỳ dưới dạng số thập phân r: 40% trở thành 0.40 và khoản lỗ 20% trở thành −0.20. Hệ số tăng trưởng của nó là 1 + r, không phải chính r.

Trung bình số học = (r1 + r2 + ... + rn) ÷ n. Đại lượng này mô tả lợi nhuận trung bình quan sát được trong một kỳ. Nó không tái tạo số dư cuối của tài khoản được đầu tư liên tục.

Với các kỳ liên tiếp, hãy nhân các hệ số tăng trưởng: lợi nhuận tích lũy = (1 + r1) × (1 + r2) × ... × (1 + rn) − 1.

Giữ lợi nhuận giá và tổng lợi nhuận nhất quán trong suốt chuỗi. Chuyển đổi giữa chúng giữa chừng tạo ra một bài toán khác với việc chọn một mức trung bình.

Xét hai năm hoàn chỉnh và 10,000 đơn vị của bất kỳ loại tiền tệ không đổi nào. Lợi nhuận giả định là +40% trong năm thứ nhất và −20% trong năm thứ hai. Không có phí, khoản phân phối, tiền nộp vào hoặc rút ra.

Nếu lãi kép mức trung bình số học, kết quả sẽ là 10,000 × 1.10 × 1.10 = 12,100. Phần thêm 900 đó không xuất hiện trong tài khoản này; nó thuộc về một con đường lợi nhuận khác.

Ví dụ là phép tính số học nguyên bản, không phải backtest, kết quả đầu tư trực tiếp hay dự báo. Ký hiệu tiền tệ không làm thay đổi các tỷ lệ phần trăm.

• Bắt đầu: 10,000.
• Sau năm thứ nhất: 10,000 × 1.40 = 14,000.
• Sau năm thứ hai: 14,000 × 0.80 = 11,200.
• Trung bình số học: (40% − 20%) ÷ 2 = 10% mỗi năm.
• Lợi nhuận tích lũy: 11,200 ÷ 10,000 − 1 = 12% trong hai năm.

Lợi nhuận hình học là tỷ lệ cố định mỗi kỳ g tái tạo đúng hệ số tăng trưởng thực tế: (1 + g)^n = (1 + r1) × ... × (1 + rn).

Vì vậy g = [(1 + r1) × ... × (1 + rn)]^(1/n) − 1. Hãy lấy căn bậc n của tích các hệ số tăng trưởng, không phải của các tỷ lệ lợi nhuận.

Với ví dụ hai năm, g = (1.12)^(1/2) − 1 ≈ 5.8301% mỗi năm. Dùng tỷ lệ chưa làm tròn cho 10,000 × (1 + g)^2 = 11,200.

Khi các kỳ là năm, lợi nhuận hình học này bằng tốc độ tăng trưởng kép hằng năm, hay CAGR. Không có dòng tiền bên ngoài, CAGR = (giá trị cuối ÷ giá trị đầu)^(1/t) − 1, trong đó t là số năm đã trôi qua.

Một ví dụ riêng tăng từ 10,000 lên 15,000 trong năm năm. Mức tăng tổng là 50%, nhưng CAGR là (1.5)^(1/5) − 1 ≈ 8.45%, không phải 50% ÷ 5 = 10%.

[Giải thích lợi nhuận annualized của FINRA](https://syndication.finra.org/content/how-are-your-investments-doing-returns-explained) cũng phân biệt annualization kép với việc chia mức tăng tổng cho số năm.

Hai năm +10% và +10% có cùng trung bình số học với +40% và −20%. Tuy vậy, 10,000 tăng lên 12,100 trong trường hợp đầu và 11,200 trong trường hợp sau.

Với các hệ số tăng trưởng dương, trung bình hình học không lớn hơn trung bình số học. Hai giá trị bằng nhau khi lợi nhuận mỗi kỳ đều giống nhau. Hãy áp dụng nhận định đó cho cùng các quan sát, không phải các quỹ không liên quan.

Khoảng cách này không phải một khoản hoa hồng bổ sung cần trừ khỏi số dư. Giá trị cuối sau lãi kép đã phản ánh các lợi nhuận. So sánh cũng không chứng minh rằng mọi khoản đầu tư ít biến động hơn phải vượt trội khoản khác.

[Thảo luận của CFA Institute về hai loại trung bình](https://rpc.cfainstitute.org/blogs/enterprising-investor/2015/the-myth-of-volatility-drag-part-1) giải thích vì sao lãi kép là một tích chứ không phải một tổng.

Đổi thứ tự cặp lợi nhuận cố định này giữ nguyên tích khi không có dòng tiền. Tuy vậy, nó có thể thay đổi diễn biến và mức sụt giảm quan sát được.

Trung bình hình học từ các quan sát hằng tháng là một tỷ lệ theo tháng. Nếu mười hai tháng liên tiếp mỗi tháng đều có lợi nhuận đúng 1%, tăng trưởng năm là (1.01)^12 − 1 ≈ 12.68%, không phải 12%.

Ví dụ đó chỉ rõ cả mười hai tháng. Annualize một tháng quan sát được 1% sẽ mô tả sự lặp lại giả định, không phải kết quả thực tế của một năm hay một dự báo.

Với các khoảng quan sát không bằng nhau, trung bình hình học trên mỗi quan sát không tự động là tỷ lệ năm. Dùng số năm thực tế đã trôi qua cho CAGR đầu-cuối hợp lệ và nêu quy ước đếm ngày cho các năm không trọn.

Một con số annualized làm trơn hai điểm đầu cuối. Nó không nói tài khoản kiếm được tỷ lệ đó trong từng năm hoặc tránh được các khoản lỗ lớn ở giữa.

Giả sử 100 được đầu tư vào tài sản A và 900 vào tài sản B trong cùng một kỳ. A tăng 50%, còn B giảm 10%. Giá trị cuối của chúng là 150 và 810, tổng cộng 960.

Lợi nhuận danh mục là (960 − 1,000) ÷ 1,000 = −4%. Tương đương, trọng số đầu kỳ cho 0.10 × 50% + 0.90 × (−10%) = −4%.

Trung bình không trọng số của +50% và −10% là +20%, bỏ qua phân bổ. Nhân 1.50 với 0.90 cũng sai ở đây: các khoản nắm giữ cùng tồn tại thay vì đại diện cho hai kỳ của cùng một nguồn vốn.

Tiền nộp và rút bên ngoài tạo ra một ranh giới khác. Số dư tăng từ 10,000 lên 15,000 sau khi nộp 5,000 không nhất thiết là lợi nhuận đầu tư 50%.

[Phương pháp dòng tiền GIPS](https://www.gipsstandards.org/standards/gips-standards-for-firms/gips-standards-handbook-for-firms/) phân biệt hiệu suất tính theo thời gian với lợi nhuận phản ánh thời điểm và quy mô dòng tiền.

Lợi nhuận phần trăm trên premium quyền chọn nhỏ không giống lợi nhuận phần trăm trên toàn bộ tài khoản. Quy mô giao dịch khác nhau, vị thế chồng lấn và tiền nhàn rỗi khiến việc nhân tùy tiện lợi nhuận cấp giao dịch trở nên không phù hợp.

[Hướng dẫn đòn bẩy của OIC](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/leverage-risk) giải thích vì sao premium quyền chọn có thể cho thấy mức tăng và giảm phần trăm bị phóng đại.

Đối với hợp đồng tương lai, margin đã nộp là tài sản thế chấp chứ không phải giá mua mức phơi nhiễm. Thay đổi mẫu số đó không tạo ra lợi nhuận mới trên tài sản cơ sở.

[Giải thích margin của CME](https://www.cmegroup.com/education/courses/introduction-to-futures/margin-know-what-is-needed) xác định những khoản tiền đó đại diện cho điều gì.

Dùng mẫu số lợi nhuận hợp đồng tương lai để so sánh giao dịch và định giá nhất quán toàn tài khoản cho lãi kép danh mục. Bao gồm vị thế mở và chỉ tính mỗi chi phí một lần.

Bắt đầu từ câu hỏi được nêu: trung bình của các quan sát, tăng trưởng của một khoản đầu tư hay lợi nhuận của danh mục gồm các khoản nắm giữ đồng thời. Những câu hỏi này cần các phép tính khác nhau.

Các công thức hệ số dương giả định mỗi lợi nhuận lớn hơn −100%. Khi mất hoàn toàn, không còn vốn để lãi kép. Vốn chủ tài khoản âm cần phân tích dòng tiền và nghĩa vụ, không phải so sánh CAGR thông thường. [!TRYMARK] Kiểm tra lợi nhuận trung bình TryMark Trong lần xem xét hiệu suất kế tiếp, hãy nhắm tới giá trị cuối được báo cáo. Tái dựng nó từ các lợi nhuận tài khoản có ngày, rồi kiểm tra lại khi chi phí, giả định tái đầu tư hoặc dòng tiền bên ngoài thay đổi. [!WARNING] Trung bình lịch sử không hứa hẹn tăng trưởng lặp lại Cả trung bình số học lẫn hình học đều không xác lập lợi nhuận năm tới. Mức tăng cần thiết lớn hơn hoặc CAGR trơn tru không biện minh cho việc dùng thêm đòn bẩy. Các ví dụ này giải thích cách đo lường, không phải khuyến nghị đầu tư.

• Ghi ngày, độ dài kỳ, loại tiền tệ và giá trị đầu kỳ, cuối kỳ.
• Xác định thu nhập, tái đầu tư, phí và tiền nộp hoặc rút bên ngoài.
• Tái dựng giá trị cuối từ các hệ số tăng trưởng liên tiếp trước khi annualize.
• Gắn nhãn riêng trung bình số học, lợi nhuận tích lũy, lợi nhuận kỳ hình học và CAGR.