Opsiyon Fiyatlamada Saddlepoint Yaklaşımı Açıklaması
Saddlepoint denklemini, yoğunluk ve kuyruk yaklaşımlarını, üstel eğmeyi, opsiyon fiyatlama kullanımını ve önemli sayısal kontrolleri anlayın
Doğrudan yanıt
Saddlepoint yaklaşımı, bir dağılımı hedeflenen sonuca doğru eğmek için kümülan üreten fonksiyonu kullanır ve orada yerel bir Gauss düzeltmesi uygular. Moment üreten fonksiyon ile saddlepoint geçerli olduğu sürece yoğunlukları ve kuyruk olasılıklarını çoğu zaman isabetli tahmin eder
Eğimi hedef nokta seçer
M(t)=E[e^{tX}] moment üreten fonksiyon ve K(t)=log M(t) kümülan üreten fonksiyon olsun
Bir x hedefi için saddlepoint denklemi K′(t̂)=x çözülür; t̂ çözümü x çevresinde merkezlenen üstel eğimi seçer
Orijinal ortalamaya sabitlenmiş normal yaklaşımın aksine hesaplama her hedef için yerel yaklaşımını yeniden kurar
Yoğunlukta üstel ve yerel terim bulunur
Yaygın yoğunluk biçimi f_X(x)≈exp[K(t̂)−t̂x]/√(2πK″(t̂)) şeklindedir; toplamlar veya ortalamalar için ölçek düzeltmeleri gerekir
Üstel ifade x’e gitmenin maliyetini, K″(t̂) ise yerel eğriliği ve Gauss normalizasyonunu ölçer
Bu yapı saddlepoint yöntemlerini üstel eğme, steepest descent ve büyük sapma oran fonksiyonlarına bağlar
Kuyruk olasılıkları inceltilmiş bir formül ister
Yaklaşık bir yoğunluğu doğrudan integre etmek, özellikle olay ortalamadan uzaktaysa doğruluğu kaybedebilir
Lugannani–Rice yaklaşımı, normal kuyruğunu doğrudan düzeltmek için w ve u dönüşmüş niceliklerini kullanır
t̂=0 yakınındaki görünür tekillik, iptal olan terimlerin doğrudan hesaplanması yerine bir limit formülü veya kararlı açılım gerektirir
Opsiyonlar eğilmiş kuyruklardan kurulabilir
Avrupa tipi alım opsiyonu iskonto edilmiş kuyruk beklentileriyle ifade edilebilir; saddlepoint yaklaşımları kullanım olasılıklarını ve kırpılmış momentleri hedefleyebilir
Kümülanlar gerçekten kullanılan risksiz değişkene ait olmalı; forward, iskonto ve ödeme konvansiyonları tutarlı tutulmalıdır
Alternatif olarak yaklaşık yoğunluk integre edilebilir; ancak normalizasyon ve martingal ortalaması varsayılmak yerine kontrol edilmelidir
İlk sayısal soru varoluştur
Moment üreten fonksiyon t̂ çevresinde sonlu olmalı, K yeterince düzgün ve konveks olmalı, K″(t̂) pozitif olmalıdır
Moment patlaması istenen bir kullanım fiyatını dönüşüm alanının dışına çıkarabilir; atomlar veya sınırlar da düzgün yoğunluk yaklaşımını bozabilir
Kök bulma, hedefe ulaşılamadığında, türev kötü ölçeklendiğinde veya birden çok sayısal dal geçerli çözüm sanıldığında da başarısız olur
Doğruluk uygunlukla aynı değildir
Noktasal yoğunluk hatası küçük olsa bile negatif olasılıklar, monoton olmayan bir KDF veya forward ile tutarsız bir vade sonu ortalaması oluşabilir
Yaklaşım birleştirildikten sonra opsiyon fiyatları hâlâ sınırları, put–call paritesini, kullanım fiyatı monotonluğunu ve kullanım fiyatı konveksliğini sağlamalıdır
Bir kullanım fiyatı şeridi için her başarılı kök çözümünü ayrı ayrı kabul etmek yerine oluşan fiyat eğrisini birlikte inceleyin
Disiplinli uygulama kendini çapraz kontrol eder
K(0)=0, K′(0)’ın ortalamaya, K″(0)’ın varyansa eşitliğini ve sayısal türevleri analitik veya otomatik türevlerle karşılaştırmayı doğrulayın
Yoğunlukları, KDF kuyruklarını, kırpılmış momentleri ve opsiyon fiyatlarını merkezi ve uzak kullanım fiyatlarında kuadratur, Fourier terslemesi veya Monte Carlo ile karşılaştırın
Tekrarlanabilir kalibrasyon için dönüşüm alanını, kök aralığını, artığı, eğriliği, ortalama yakınındaki işlemi ve nihai arbitraj tanılamalarını kaydedin
Sık sorulan sorular
Saddlepoint yaklaşımı nedir?
Bir hedefteki üstel eğmeyi, kümülan üreten fonksiyondan türetilen eğrilik düzeltmesiyle birleştiren asimptotik bir yöntemdir
Kuyruklarda neden iyi çalışabilir?
Tek bir Gauss yaklaşımını orijinal ortalamadan dışarı taşımak yerine her hedefin yakınında yeni bir yerel yaklaşım merkezler
Saddlepoint sıfıra yakınsa ne olur?
Bu, 1/w ve 1/u terimlerinin birbirini götürdüğü ortalamaya yakın durumdur; formüller kararlı bir limit açılımı gerektirir
Geçerli bir saddlepoint geçerli opsiyon fiyatını garanti eder mi?
Hayır. Birleştirilen fiyatlar olasılığı, risksiz forward’ı, fiyat sınırlarını, pariteyi, monotonluğu ve konveksliği korumalıdır