Carr–Madan Fourier Opsiyon Fiyatlama Açıklaması
Carr–Madan sönümünün, karmaşık kaydırılmış karakteristik fonksiyonların, FFT ızgaralarının ve sayısal hata kontrollerinin opsiyon fiyatı üretmesini öğrenin
Doğrudan yanıt
Carr–Madan fiyatlaması, kullanılabilir bir Fourier dönüşümüne sahip olması için alım opsiyonu fiyat fonksiyonunu üstel bir sönüm faktörüyle çarpar. Kaydırılmış bir karakteristik fonksiyon dönüşümü sağlar ve FFT log-kullanım fiyatlarını birlikte geri getirebilir
Yöntem bir fiyatlama motorudur, model değildir
Carr–Madan, vade sonu log fiyatı için bir risksiz karakteristik fonksiyon ve log kullanım fiyatları boyunca Avrupa tipi alım fiyatı fonksiyonuyla başlar
Aynı iskonto edilmiş beklentiyi Fourier uzayında yeniden düzenler; burada konvolüsyon benzeri hesaplar çarpımlara ve düzenli integrallere dönüşür
Yöntem volatiliteyi, sıçramaları veya risk primlerini seçmez; bunlar modele özgü karakteristik fonksiyonla gelir
Sönüm alım fiyatı dönüşümünü düzeltir
Log kullanım fiyatı k, negatif sonsuzluğa yaklaşırken alım opsiyonu forward benzeri içsel değer bölgesine yaklaşır ve tüm k üzerinde integrallenebilir değildir
Uygun pozitif bir α için C(k) fonksiyonunun e^{αk} ile çarpılması, gerekli moment koşulu altında sönümlü fonksiyonun her iki uçta da azalmasını sağlar
Sönüm parametresi analitik bir araçtır; piyasa tercihi veya kalibre edilecek ek bir model parametresi değildir
Karmaşık kaydırma fiyat ile dağılımı bağlar
Yaygın bir konvansiyonda e^{αk}C(k) ifadesinin Fourier dönüşümü, log fiyat karakteristik fonksiyonunu u−i(α+1) noktasında kullanır
Dönüştürülmüş alım ödemesinden gelen payda α ve frekans u’yu içerir; Fourier konvansiyonu veya log fiyat tanımı değişirse işaretler de değişir
Karmaşık kaydırma E[S_T^{α+1}] değerinin sonlu olmasını gerektirir; dolayısıyla keyfi derecede büyük bir α modelin moment alanı dışına çıkabilir
FFT birbirine bağlı iki ızgara oluşturur
İntegral her kullanım fiyatı için ayrı değerlendirilebilir; FFT ise düzenli aralıklı log kullanım fiyatı şeridini tek işlemde değerlendirir
N noktayla frekans aralığı η ve log kullanım fiyatı aralığı λ, genellikle λη=2π/N şeklinde yazılan karşılıklı bir ilişkiye uyar
Sabit N için daha geniş kullanım fiyatı aralığı daha kaba aralık demektir; kapsam ve çözünürlük bağımsız seçilemez
Birkaç hata model davranışı gibi görünebilir
Sonsuz frekans integralini kesmek kuyruk hatası, ayrıklaştırmak ise kuadratur hatası yaratır
Ayrık dönüşümde örtük olan periyodik uzatma aliasing üretir; ızgara dışı kullanım fiyatları da interpolasyon hatası ekler
Simpson ağırlıkları bazı ayarlarda kuadraturu iyileştirebilir; ancak yetersiz aralığı, geçersiz momentleri veya kararsız karakteristik fonksiyonu düzeltmez
Alpha moment şeridinin içinde seçilmelidir
Alpha, ödemeyi sönümleyecek kadar büyük; kaydırılmış karakteristik fonksiyonun var olup sayısal olarak kararlı kalacağı kadar küçük olmalıdır
İyi seçimler vadeye, model parametrelerine, kuyruk davranışına ve dönüşüm konvansiyonuna bağlıdır; tek bir evrensel alpha garanti edilmez
Uygun α değerleri aralığını test edin ve tek bir çıktıyı optimize etmek yerine fiyatların hedef tolerans içinde uyuşmasını isteyin
Üretim kullanımı bağımsız kontroller gerektirir
Önce Black–Scholes fiyatlarını geri kazanın; ardından put–call paritesini, kullanım fiyatı monotonluğunu, konveksliği, sınırları ve martingal koşulunu test edin
Yakınsamayı belirlemek için N’yi, integrasyon aralığını ve hassasiyeti ayrı ayrı artırın; tüm kontrolleri aynı anda değiştirmeyin
Seçili kullanım fiyatlarını doğrudan kuadratur ve başka bir fiyatlama yöntemiyle karşılaştırın; hız ancak hata bütçesi anlaşıldıktan sonra önemlidir
Sık sorulan sorular
Carr–Madan yöntemi ne hesaplar?
Risksiz karakteristik fonksiyon ve Fourier terslemesiyle Avrupa tipi opsiyon fiyatlarını, çoğu zaman birçok kullanım fiyatı için aynı anda hesaplar
Alım fiyatı neden sönümlenir?
Sönümlenmemiş alım fiyatı fonksiyonu tüm log kullanım fiyatları üzerinde integrallenebilir değildir; üstel sönüm ona kullanılabilir bir Fourier dönüşümü verir
FFT zorunlu mudur?
Hayır. Carr–Madan integrali doğrudan kuadraturla değerlendirilebilir; FFT, kendine özgü kısıtları olan verimli bir ızgara uygulamasıdır
Alpha nasıl seçilmelidir?
Modelin sonlu moment alanı içinde seçin; ardından makul uygun aralık ve sayısal ayarlar boyunca fiyat kararlılığını doğrulayın