KPSS Durağanlık Testi: Sıfır Hipotezi, İstatistik ve Bandwidth

Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin testi, kısaca KPSS, yaygın Dickey–Fuller testlerinin sıfır hipotezini tersine çevirir. Sıfır hipotezi, serinin testte belirtilen deterministik terimlerin çevresinde durağan olmasıdır. Özgün kurulumda alternatif, yenilik varyansı pozitif bir rassal yürüyüş bileşenine izin verir.

Yeterince büyük bir KPSS istatistiği, seçilen düzey veya trend durağanlığı sıfır hipotezine karşı kanıttır. Küçük istatistik ise o kurulum ve örneklem altında hipotezi reddetmeye yetecek kanıt oluşmadığını söyler. Sürecin sonsuza dek durağan olduğunu, ortalamanın hep sabit kalacağını veya fiyatın işlem yapılabilir bir düzeye döneceğini kanıtlamaz.

Durağanlık ve birim kök rehberi bağlantılı kavramları tanıtır. ADF ile Phillips–Perron karşılaştırması, birim kökü sıfır hipotezine koyan iki testi açıklar. Bunlar aynı testin değiştirilebilir sürümleri değil, birbirini tamamlayan sorulardır.

KPSS gözlenen seriyi şöyle gösterir:

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

Burada \(d_t\) deterministik kısım, \(r_t\) rassal yürüyüş bileşeni, \(\epsilon_t\) durağan hatadır. Düzey durağanlığı testinde \(d_t\) sabit içerir. Trend durağanlığı testinde sabite ek olarak doğrusal zaman trendi bulunur.

Sıfır hipotezi, rassal yürüyüş yeniliklerinin varyansını sıfıra eşitler: \(\sigma_u^2=0\). Rassal yürüyüş olmayınca seri seçilen sabit veya deterministik trend çevresinde dalgalanır. Alternatif \(\sigma_u^2>0\) olmasına izin verir; şoklar seçilen yol çevresinde sönmek yerine stokastik bir trende birikebilir.

Bu, testin koruduğu modeldir; her alternatifin ders kitabındaki gibi rassal yürüyüş olduğu iddiası değildir. Yapısal kırılmalar, kesirli kalıcılık, doğrusal olmayan dinamikler, değişen varyans veya yanlış seçilmiş deterministik terimler de sıfır modelini örneğe uydurmayı zorlaştırabilir. Test seçilen durağanlık kurulumuyla gerilimi gösterir, tek bir alternatif model tanımlamaz.

Önce gözlemleri seçilen deterministik terimlere göre regresyona sokup kalıntılara \(\hat e_t\) deyin. Birikimli kısmi toplamlar şöyledir:

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

KPSS istatistiği genellikle şöyle yazılır:

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

burada \(n\) örneklem büyüklüğü, \(\hat{\omega}^{\,2}\) kalıntıların uzun dönem varyansı tahminidir. Kalıntılar uzun süre aynı işareti taşıdığında \(S_t\) sıfırdan uzaklaşır. Kısmi toplamların karesi, süreğen sapmaları tekil işaret değişimlerinden daha ağır sayar.

İstatistik negatif olamaz. Uzun dönem varyansına kıyasla büyük kümülatif sapmalar, durağanlık sıfır hipotezini korumayı zorlaştırır. Payda önemlidir: seri bağımlılığı, temel süreç durağan olsa bile kısmi toplamların beklenen değişkenliğini etkiler.

Düzey sürümü serinin bir sabit çevresinde durağan olup olmadığını sorar. Trend sürümü önce sabit ve doğrusal zaman trendini çıkarır, ardından kalan bileşenin durağanlığını sınar. Bazı uygulamalar bu durumlara mu ve tau der; adlandırma ve çıktı biçimi yazılıma göre değişebilir.

Seçim hem kalıntıları hem referans dağılımını değiştirir. Trend-durağan bir seriden deterministik trendi çıkarmamak uzun bir kalıntı örüntüsü bırakıp istatistiği şişirebilir. Gerekçe olmadan trend eklemek de test edilen modeli değiştirir ve bazı alternatifleri bulma gücünü azaltabilir. Seçimi veri tanımına ve ekonomik soruya göre yapın, sonucu beğenene kadar değiştirmek yerine raporlayın.

KPSS kritik değerleri standart olmayan asimptotik dağılımlardan gelir; düzey ve trend durumları için değerler farklıdır. İstatistiği sıradan t veya ki-kare eşiğiyle karşılaştırmayın ve ezberlenmiş tek bir eşiği her deterministik tanıma uygulamayın. Uygun tabloyu veya yazılım çıktısını kullanıp anlamlılık düzeyini belirtin.

Bazı uygulamalar sınırlı bir kritik değer tablosuyla karşılaştırma yaptığından yalnızca p-değeri aralığı verir. Böyle bir durumda fazladan ondalık uydurmayın; çıktının desteklediği aralığı raporlayın. Kararın tekrarlanabilmesi için düzey/trend durumunu ve kritik değer kaynağını belirtin.

<!-- learn:illustration -->

Yaygın bir uzun dönem varyans tahmini, kalıntı otokovaryanslarını ağırlıklandırır:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

Burada \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\), paydası \(n\) olan \(j\) gecikmesindeki örneklem otokovaryansını tanımlar; sonlu örneklem kuralları uygulamaya göre değişebilir.

Bartlett ağırlıklarıyla \(w_j=1-j/(\ell+1)\) olur. Kesme bandwidth'i \(\ell\), kaç kalıntı otokovaryansının katkı vereceğini ve ağırlıkların ne hızla azalacağını belirler. Uygulamalar farklı kernel, bandwidth kuralı ve sonlu örneklem konvansiyonu kullanabilir; tekrarlanabilir sonuç için bunları yazın.

Bu bandwidth, ADF regresyonuna eklenen fark gecikmelerinin sayısı değildir. KPSS'de uzun dönem varyansı tahminini kontrol eder; ADF'de fark gecikmeleri regresyonun içinde yer alır. Yazılım her iki ayara da “lag” diyebilir; bu nedenle yalnızca “lag 4” yazmak yeterli değildir.

Çok kısa bandwidth anlamlı kısa dönem bağımlılığını dışarıda bırakabilir; çok uzun olanı gürültülü örneklem otokovaryansları ekleyebilir. İki seçim de istatistiği, test boyutunu veya gücünü değiştirebilir; her kalıntı örüntüsü için tek yön geçerli değildir. Kernel'i ve gecikme seçim kuralını raporlayın, önceden belirlenmiş makul bir alternatif yorumunuzu değiştiriyor mu kontrol edin.

Uzun dönem varyans düzeltmesi heteroskedastisite ve otokorelasyona tutarlı kovaryans tahminiyle ilişkilidir. Ancak KPSS'yi her türlü bağımlılığa, yapısal kırılmaya veya kötü deterministik belirtime dayanıklı yapmaz. Newey–West kovaryans rehberi HAC tahminlerinin genel rolünü ve sınırlarını anlatır.

Altı sentetik gözlemde trend regresyonunun kalıntıları \(1,-1,0,0,-1,1\) olsun. Toplamları sıfırdır ve trend regresyonu kalıntılarında olması gerektiği gibi doğrusal zaman trendine diktir. Kısmi toplamları \(1,0,0,0,-1,0\), kareleri toplamı \(2\)'dir.

Aritmetik örneğinde paydası \(n\) olan örneklem otokovaryansını ve bandwidth'i bir olan Bartlett ağırlıklarını kullanın. Kalıntı varyansı terimi \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\). Birinci gecikme otokovaryansı \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\), Bartlett ağırlığı \(1/2\)'dir. Dolayısıyla

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

Bu altı noktalı hesap yalnızca formülün işleyişini gösterir. Olağan asimptotik KPSS kararı için örneklem çok küçüktür; istatistiği yayımlanmış kritik değerle ampirik bulguymuş gibi yargılamayın.

KPSS'yi ADF türü bir testin yanında çalıştırmak, sonucun sıfır hipotezine ne kadar bağlı olduğunu gösterir. İki farklı model altındaki kanıtları şöyle okuyun:

Testler gecikme düzeltmesi, deterministik terim, örneklem ve sonlu örneklem yaklaşımı bakımından ayrışabilir. Uygunsa seçimleri hizalayın ve kaçınılmaz farkları kaydedin; dört sonucu otomatik fark alma kuralına çevirmeyin. Reddetmeme sıfır hipotezinin doğru olduğu anlamına gelmez.

Ortalamadaki tek seferlik sıçrama, değişen trend veya varyans kırılması, her rejim içinde durağan bir süreci tüm örneklemde durağan değilmiş gibi gösterebilir. Tersine, bire yakın bir kök sonlu veride birim kökten ayırmayı zorlaştırır. Kısa örneklem, aykırı değer, kalın kuyruk, doğrusal olmayan düzeltme ve kesirli bütünleşme de referans yaklaşımını yanıltabilir.

Testi raporlamadan önce seviye serisini, seçilen deterministik uyumu ve kalıntıları çizin. Kırılma olasıysa sıfır hipotezini, kırılma yöntemini ve kritik değerleri açıklayan kırılmaya duyarlı tasarım kullanın. Birden fazla kırılma tarihi veya bandwidth aradıysanız seçimi açıklayın; aramada bulunan en küçük p-değeri seçilmemiş bir test sonucu değildir.

KPSS iki varlık arasındaki spread'in eşbütünleşmesini test etmez. Engle–Granger rehberi kalıntı temelli eşbütünleşme yöntemini ve kendine özgü kritik değer sorununu açıklar. Johansen rank rehberi sistem yaklaşımını anlatır. Tek bir fiyat serisinde KPSS sonucu bu analizlerin yerine geçmez.

Tahmin edilmiş hedge oranı, ARMA modeli veya seçilmiş kırılma tarihinden kalanlara KPSS uyguluyorsanız kalıntılar önceki bir uyarlama adımından gelir. Parametre tahmini ve model seçimi sıfır dağılımını değiştirebilir. Sıradan kritik değerlerin tüm pipeline için geçerli olduğunu varsaymayın; modele göre kalibre edilmiş kalıntı testi veya tahmin adımlarını tekrarlayan bootstrap kullanın.

Değişkeni ve dönüşümünü, gözlem sayısını, düzey/trend sıfır hipotezini, deterministik terimleri, uzun dönem varyans kernel'ini, bandwidth kuralını, istatistiği, uygun kritik değer veya p-değerini ve anlamlılık düzeyini belirtin. Duyarlılık sonuçlarını yalnızca alternatifler gerekçelendirildiyse ve şeffafça raporlandıysa ekleyin; çok sayıda pencere ve sürüm denedikten sonra pazarlanabilir sonucu seçmeyin.

Piyasa verilerinde örneklem tarihlerini, frekansı, seans hizalamasını, eksik değer yaklaşımını ve serinin fiyat, getiri, kalıntı ya da spread olduğunu yazın. KPSS sıfırını reddedememek spread'in yakında yakınsayacağına kanıt değildir. Mean-reversion stratejisi ayrıca tanımlı denge, örneklem dışı değerlendirme, işlem anında kullanılabilir sinyal zamanı ve gerçekçi spread, fonlama, borçlanma, gerçekleşme maliyetleri gerektirir.

Log fiyat düzeyine uygulanan test, log fiyatın birinci farkı olan getiri üzerindeki testten farklı bir soru sorar. Fark alma bazı modellerde stokastik trendi kaldırabilir; ancak incelenen değişkeni de değiştirir ve iki varlık arasında uzun dönem ilişkisi olduğunu kanıtlamaz. Dönüşümü hedeflenen niceliğe göre seçip açıkça raporlayın.

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt ve Shin'in 1992 tarihli makalesi90104-Y), rassal yürüyüş bileşeninin varyansının sıfır olduğu LM hipotezini kurar. Newey ve West'in 1987 makalesi pozitif yarı tanımlı HAC kovaryans tahmininin temel kaynağıdır. Birim kök sıfır hipotezi karşılaştırması için Dickey ve Fuller'ın 1979 makalesine bakın.