ADF ve Phillips–Perron: Birim kök testleri nasıl farklılaşır?

Otoregresif düzey denkleminde birim kök, şokun düzeyden sönmesinin gerekmediği anlamına gelir. Birinci farkı gecikmeli düzeye göre regresyon biçiminde yazmak hipotezi görünür kılar: Gecikmeli düzeyin katsayısı sıfırsa, tanımlanan model altında düzey sürecinin kökü birdir. Negatif katsayı, seçilen deterministik terimler ve diğer varsayımlar koşuluyla durağan alternatif yönünde kanıt sunar.

Bu nedenle yaygın ADF ve PP uygulamalarındaki sıfır hipotezi “seri durağandır” değildir. Sıfır hipotezi birim kök bulunduğunu, alternatif ise seçilen deterministik bileşen çevresinde durağanlığı söyler. İstatistik yeterince negatif olmadığı için sıfır hipotezini reddedememek, birim kökü kanıtlamaz. Örneklem, birim kökü otoregresif kökü bire yakın, çok kalıcı bir durağan süreçten ayıracak kadar bilgi içermiyor olabilir.

Bu, KPSS gibi sıfır hipotezi durağanlık olan testlerden ve doğrudan eşbütünleşme testinden farklıdır. Durağanlık ve birim kök rehberi daha geniş kavramları ele alır; Engle–Granger rehberi durağan olmayan serilerin doğrusal birleşiminin durağan olduğu özel durumu inceler.

Birim kök regresyonuna hiç deterministik terim eklenmeyebilir, sabit eklenebilir veya sabit ile doğrusal zaman trendi birlikte eklenebilir. Bunlar kozmetik seçenekler değildir. Sabit, birim kök sıfır hipotezi altında drift’e ve durağan alternatif altında sıfırdan farklı ortalamaya izin verir. Zaman trendi, durağan alternatifin deterministik trend çevresinde dalgalanmasına olanak tanır. Bu terimler model ve sıfır dağılımını değiştirir.

Gereksiz bir trend eklemek, fazladan parametre tahmin ettirdiği için test gücünü azaltabilir. Gerçek bir drift’i veya trendi dışarıda bırakmak testin boyutunu ve yorumunu bozabilir. Spesifikasyonu veri üretme sürecine ilişkin soruya ve serinin grafiğine göre seçin, açıkça belirtin ve buna uygun kritik değerleri kullanın. İstenen reddi veren seçeneği sonuçları gördükten sonra seçmeyin.

Aynı ilke log fiyat, spread, faiz oranı ve getiriler için de geçerlidir. Fiyat düzeyindeki yükseliş trendi getiriler için uygun olmayabilir. Hangi ekonomik değişkenin incelendiğine test sizin yerinize karar vermez. Deterministik bileşenler hipotezin parçasıdır; gizli bir ön işleme ayrıntısı değildir.

Genişletilmiş Dickey–Fuller regresyonu şöyle yazılabilir:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

Burada dₜ seçilen deterministik terimleri içerir ve sıfır hipotezi H₀: γ = 0’dır. Eklenen gecikmeli farklar, kalan hatanın test yaklaşımı için yeterince uygun davranmasını amaçlar. Regresyon içinde kısa dönem dinamiklerini parametrik biçimde modellerler; yeni bir birim kök kısıtı eklemezler.

Gecikme derecesi p önemlidir. Çok az gecikme εₜ içinde serisel korelasyon bırakıp amaçlanan yaklaşımı zayıflatabilir. Çok fazla gecikme serbestlik derecelerini tüketir ve özellikle kısa örneklemde gücü azaltabilir. Belirtilmiş bir azami gecikmeyle başlayın, savunulabilir bir bilgi ölçütünü artık tanılarıyla karşılaştırın ve yakın gecikme seçimlerinin sonucu değiştirip değiştirmediğini açıklayın. Küçük seçilmiş bir gecikme, kalan bağımlılığın zararsız olduğunu kanıtlamaz. Harris (1992)90022-Q), ADF gecikme yapısı, test boyutu ve gücüyle ilgili uygulama tercihlerini inceler.

Bazı süreçlerde gecikme seçimi zordur. Ng ve Perron, hareketli ortalama kökü −1’e yakın olduğunda, inceledikleri birim kök prosedürlerinde geleneksel AIC veya BIC’nin gerekenden az artırma gecikmesi seçebildiğini gösterir. Düzeltilmiş bilgi ölçütleri GLS detrending kullanan birim kök prosedürleri ve ilişkili testler için tasarlanmıştır. Bu, belirli dinamiklere yönelik bir uyarıdır; tek bir ölçütün veya daha uzun gecikmenin her zaman üstün olduğuna dair genel bir kural değildir.

Phillips–Perron testi, ADF’deki gecikmeli farklar toplamı olmadan Dickey–Fuller türü bir regresyonla başlar:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

Ardından test istatistiğini kısa dönem varyansı ve uzun dönem kovaryansı tahminleriyle düzeltir. Uzun dönem varyans tahmininin yaygın bir biçimi şöyledir:

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

Burada γ̂ⱼ artık otokovaryansları, K kernel ağırlığını, ℓ ise bant genişliği veya kesme tercihini gösterir. Kesin tanım PP istatistiğine ve yazılım geleneğine göre değişir. Kavramsal fark sabittir: ADF regresyona gecikmeli farklar ekler; PP daha kısa regresyonun istatistiğine parametrik olmayan bağımlılık düzeltmesi uygular.

PP yalnızca “robust standart hatalı ADF” değildir. Düzeltme, birim kök istatistiğini ve onun asimptotik ele alınışını değiştirir; genel robust regresyon çıktısı sıradan t kritik değerlerini geçerli kılmaz. Kernel ve bant genişliği, düzeltmenin ne kadar bağımlılığı yakalayacağını belirler. Çok dar bant genişliği önemli korelasyonu kaçırabilir; çok geniş bant uzun dönem varyans tahminini daha gürültülü hâle getirebilir.

<!-- learn:illustration -->

Birim kök sıfır hipotezi altında gecikmeli düzey, durağan bir regresörden değil stokastik trendden gelir. Bu nedenle DF ailesi istatistiklerinin limit dağılımları standart dışıdır. Büyük örneklemde bile sıradan t tablosu uygun referans değildir. Kritik değerler sabit ve zaman trendinin eklenip eklenmediğine, ayrıca kullanılan istatistik ve uygulamaya bağlıdır.

PP istatistikleri bağımlılığı hesaba katacak biçimde dönüştürülür, ancak birim kök sıfırı yine uygun standart dışı referans yasasına göre değerlendirilir. Deterministik terimler ve istatistikle eşleşen, kabul görmüş bir uygulamanın kritik değerlerini veya p-değerlerini kullanın. Bir spesifikasyondaki ADF istatistiğini başka bir spesifikasyondaki PP kritik değerleriyle karşılaştırmayın; gösterilen katsayı t-oranını sıradan Student t istatistiği gibi yorumlamayın.

Asimptotik kalibrasyon her sonlu örneklemde iyi davranış garantilemez. Schwert’ün Monte Carlo çalışması, birim kök prosedürlerinin model yanlış belirtimine duyarlı olduğunu ve yöntemlerin sonlu örneklem davranışlarının farklılaştığını bildirir. Bu nedenle p-değerini örneklem uzunluğu, verideki bağımlılık, gecikme veya bant genişliği ayarı ve regresyon spesifikasyonuyla birlikte değerlendirin.

Test boyutu, doğru birim kök sıfırını reddetme olasılığıdır; güç ise belirli bir durağan alternatif altında reddetme olasılığıdır. Test bir örneklemde ikna edici görünüp gerçek bağımlılık yapısında yanlış boyuta sahip olabilir. ADF gecikmeleri ile PP’nin uzun dönem kovaryans düzeltmesi ilişkili sorunları farklı yaklaşımlarla ele alır; birinin sonucu diğerinin dayanıklılığını garanti etmez.

ADF için gecikme ekledikten sonra artık otokorelasyon kalıp kalmadığını ve bir gecikme daha eklemenin çıkarımı belirgin biçimde değiştirip değiştirmediğini kontrol edin. PP için kernel ve bant genişliği kuralını raporlayın, makul alternatifleri inceleyin. Bunlar duyarlılık kontrolleridir; çok sayıda spesifikasyon deneyip en uygun p-değerini saklama izni değildir. Ng–Perron sonuçları da gecikme seçiminin hata süreci ve deterministik detrending ile etkileştiğini gösterir; mekanik bir bilgi ölçütü her tasarımı çözmez.

Her iki test de çok kalıcı durağan alternatiflere karşı düşük güce sahip olabilir. Reddedememek, fark almanın gerekli olduğuna dair olumlu kanıt değildir. Örneklem kısa, kök bire yakın veya sonuç model açısından merkeziyse ADF ve PP’yi birbirinden bağımsız oylar saymak yerine açık varsayımlara dayalı tamamlayıcı kanıt ve başka prosedürleri değerlendirin.

Düzey sıçraması, trend değişimi, politika rejimi, kur sabiti değişimi veya piyasa yapısındaki değişim seriyi çok kalıcı gösterebilir; oysa değişen deterministik bir yol çevresindeki durağan parçalar daha uygun olabilir. Perron’un büyük tarihsel değişimler üzerine analizi, birim kök sonucunun kırılmaya izin verilip verilmemesine bağlı olabileceğini gösterir. Standart ADF ve PP her kırılmayı otomatik olarak bulmaz.

Seriyi grafiğe dökün, bilinen kurumsal değişiklikleri belgeleyin ve kırılmayı hesaba katan bir testin ya da parçalı modelin soruyu yanıtlayıp yanıtlamadığını değerlendirin. Aynı örneklemi gördükten sonra kırılma aramak çıkarımı etkileyebilir; bu aramaya uygun kritik değerleri olan bir yöntem kullanın veya analizin keşifsel olduğunu belirtin. Bai–Perron rehberi regresyonda kırılma tahminini ele alır; değiştirilmemiş ADF veya PP için doğrudan bir düzeltme değildir.

Dönüşüm de önemlidir. Fiyat düzeyi, log fiyat, fiyat spread’i ve getiri ekonomik açıdan farklı değişkenlerdir. Birim kök benzeri düzeyin farkını almak daha istikrarlı bir seri verebilir; durağan düzeyin farkını almak bilgi kaybettirebilir ve gereksiz yere gürültülü bir spesifikasyon yaratabilir. İkili işlem araştırmalarında eşbütünleşme analizi ayrı stokastik trendleri olası durağan bir spread’den ayırmaya yardımcı olur. Bu tanıların hiçbiri tek başına stratejinin kârlı olduğunu kanıtlamaz.

Varsayımsal bir düzeyin şu şekilde ilerlediğini düşünelim:

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

μ sabit drift’tir ve εₜ yenilikleri serisel bağımlı olabilir. yₜ₋₁ çıkarıldığında Δyₜ = μ + εₜ elde edilir; karşılık gelen fark regresyonunda gecikmeli düzeyin γ katsayısı sıfırdır. Birim kök sıfırının cebirsel ifadesi budur. Bu cebir p-değeri vermez: referans yasası standart dışı kalır ve deterministik terimlerle bağımlılığın ele alınışına bağlıdır.

ADF uygulanırsa gecikmeli farklar, regresyondaki kısa dönem bağımlılığını temsil etmeye çalışır. PP’de temel denklem daha kısadır ve istatistik tahmin edilmiş uzun dönem kovaryans düzeltmesi alır. Veride deterministik trend kırılması varsa, yazılım kesin görünen bir istatistik gösterse bile iki standart uygulama da yanlış belirtilmiş olabilir.

Karşılaştırmanın üç katmanı vardır: içerik bakımından sıfır hipotezi, regresyon ve deterministik spesifikasyon, kalan bağımlılığın düzeltilmesi. İlk iki katman sabit tutulduğunda ADF ve PP yararlı alternatif tanılardır; biri reddedene kadar üçünü de değiştirmek dayanıklılık testi değildir. Farklı sonuçlar varsayımları ve ayarları inceleme nedenidir; kazananın modeli otomatik belirlediği bir yarış değildir.

Değişkeni ve dönüşümünü, örneklem tarihlerini ve sıklığını, deterministik terimleri, ADF gecikme kuralını ve seçilen sırayı ya da PP istatistiğini, kernel’i ve bant genişliğini bildirin. Sıfır ve alternatif hipotezi, istatistiği, eşleşen kritik değeri veya p-değerini, artık otokorelasyonu ve kırılma kontrollerini açıklayın. Sonuç makul ayarlara duyarlıysa bunu belirtin; yalnızca tercih ettiğiniz yorumu destekleyen spesifikasyonu göstermeyin.

Yararlı bir iş akışı önce hedefi ve ekonomik modeli tanımlar, deterministik terimleri seçer, doğru belirtilmiş ADF veya PP çalıştırır, bağımlılığı ve olası kırılmaları inceler, ardından tamamlayıcı kanıtlarla karşılaştırır. Varyans oranı testi rehberi rassal yürüyüş davranışının başka bir sonucunu inceler. Aynı sıfır hipotezine sahip değildir ve birim kök testinin yerini tutmaz.

Bir p-değeri eşiği aştığında ADF de PP de fark alma emri vermez. Fark alma, seri ve soruya ilişkin modelleme kararıdır: değişimleri tahmin etmek, uzun dönem ilişkisi tahmin etmek, işlem spread’ini test etmek veya düzey bilgisini korumak farklı tercihlere yol açabilir. Test bu kararı destekler; son dönüşüm veri üretim sürecini, istikrarı, tahmin hedefini ve varsa eşbütünleşme yapısını da dikkate almalıdır.