Varyans Oranı Testi: Rassal Yürüyüş, Ufuklar ve İşlem

\(P_t\) gözlenen fiyat, \(x_t=\ln(P_t)\) ise log fiyat olsun. Tek dönemlik log getiri \(r_t=x_t-x_{t-1}\) olarak tanımlanır. \(q\) dönemlik log getiri, art arda gelen \(q\) tek dönem getirisinin toplamıdır. Artışlar korelasyonsuz ve varyansları sabitse toplamın varyansı \(q\) ile orantılı büyür.

Popülasyon varyans oranı şöyledir:

\[ \operatorname{VR}(q)=\frac{\operatorname{Var}(r_t+r_{t-1}+\cdots+r_{t-q+1})}{q\operatorname{Var}(r_t)}. \]

Bu varyans ölçekleme koşulunda \(\operatorname{VR}(q)=1\) olur. Lo–MacKinlay yöntemi bu ilişkiyi örneklem istatistiğine ve rassal yürüyüş kısıtının testine dönüştürür. Bir değeri, korelasyonsuz artışların ima ettiği karşılaştırma noktasıdır; fiyatların düzgün ya da öngörülebilir hareket ettiği anlamına gelmez. İlk uygulamalarında yazarlar tarihsel ABD hisse senedi verilerinde rassal yürüyüş belirtimini reddetmiş, ancak tek başına bu reddin fiyatların ortalamaya döndüğü bir modeli kanıtlamadığını özellikle belirtmiştir.

Durağan tek dönem getirilerinde \(j\) gecikmesindeki otokorelasyon \(\rho_j\) ise aynı popülasyon oranı şöyle yazılabilir:

\[ \operatorname{VR}(q)=1+2\sum_{j=1}^{q-1}\left(1-\frac{j}{q}\right)\rho_j. \]

Her otokorelasyon, gecikme uzadıkça azalan bir ağırlık alır. Dolayısıyla oran, \(q-1\) ufkuna kadar olan seri korelasyonları ağırlıklı biçimde özetler; tek bir gecikmedeki otokorelasyona eşit değildir.

\(q=4\) için varsayımsal bir getiri sürecinde \(\rho_1=0.10\), \(\rho_2=0.04\), \(\rho_3=0\) olsun. Bu durumda:

\[ \operatorname{VR}(4)=1+2\left(\frac{3}{4}\times0.10+\frac{2}{4}\times0.04\right)=1.17. \]

Birin üzerindeki değer, bu ufuklarda pozitif ağırlıklı bağımlılığı yansıtır. İlk iki otokorelasyon \(-0.10\) ve \(-0.04\), üçüncüsü yine sıfır olsaydı oran \(0.83\) olurdu. Bunlar varsayımsal popülasyon hesaplarıdır. Gözlenen örneklem tahmini; örnekleme değişkenliği, değişen oynaklık ve tahmin edicinin sonlu örneklem düzeltmeleri nedeniyle farklı çıkabilir.

Farklı otokorelasyon örüntüleri tek bir ufukta aynı oranı üretebilir. Pozitif ve negatif katkılar birbirini götürebilir; bu nedenle oranın tam bir olması, kapsanan tüm otokorelasyonların sıfır olmasını gerektirmez. Önceden belirlenmiş birkaç ufku incelemek başka bir örüntüyü gösterebilir; sonuçlar birlikte sınanıyorsa ortak çıkarım da gerekir.

Test çoğunlukla eşit aralıklarla gözlenen log fiyatlara veya bunların birinci farklarına uygulanır. Gözlemler günlük kapanışlarsa \(q=5\), işlem seansı sayısı farklı olabilen takvim haftasını değil, beş seanslık getiriyi ifade eder. Eksik seanslar, gece boşlukları ve düzensiz zaman damgaları “tek dönem”in anlamını değiştirir. Piyasa takvimini ve fiyatların temettüleri ya da diğer şirket işlemlerini içerip içermediğini belirtin.

Log getiri yerine basit getiri kullanmak modelleme tercihidir; her ufukta zararsız bir ad değişikliği değildir. Log getiriler zaman içinde tam olarak toplanır, basit getiriler bileşikleşir. Küçük hareketlerde sayısal olarak yakın olabilirler, ancak seçilen tanım soruyla uyumlu olmalı ve örnekte, tahminde ve geriye dönük testte tutarlı kalmalıdır. Formülü bir fiyat düzeyine getiri serisiymiş gibi uygulamayın.

Çoğu uygulama, eldeki her gözlem tahmine katkı versin diye örtüşen \(q\) dönemlik getiriler oluşturur. Bu, toplulaştırılmış gözlem sayısını artırır; ancak komşu pencereler birçok tek dönem getirisini paylaşır ve bağımsız değildir. Testin standart hatası, korunan varsayımlar altında bu yapıyı hesaba katar. Örtüşen getirileri bağımsız saymak belirsizliği olduğundan küçük gösterir.

Varsayımsal bir varlığın tek seanslık getiri varyansı \(0.0001\), yani standart sapması %1 olsun. Artışlar korelasyonsuzsa dört seanslık getirinin varyansı \(4\times0.0001=0.0004\), standart sapması %2 ve oranı \(0.0004/(4\times0.0001)=1\) olur.

Şimdi dört seanslık varyans tahmininin \(0.000468\), tek seanslık tahminin ise yine \(0.0001\) olduğunu varsayalım. Örneklem oranı \(0.000468/(4\times0.0001)=1.17\) olur. Bu hesap, seçilen ufuklardaki dağılımların nasıl karşılaştırıldığını gösterir. Beklenen getirinin %17 daha yüksek olduğu, yarınki getirinin pozitif olma olasılığının %17 arttığı veya dört seanslık pozisyonun beklenen getirisinin %17 olduğu anlamına gelmez.

İstatistiksel bir sonuca varmak için tahmin edilen oranı test dağılımı ve belirsizlik tahminiyle karşılaştırın. Fiyat sürecinin başka yönleri tam bir rassal yürüyüş modelini ihlal etse bile oran bire yakın çıkabilir. Tersine, kısa veya gürültülü bir örneklemde birden uzak görünen oran istatistiksel olarak birden farklı olmayabilir. Tahmini, test istatistiğini, p-değerini ve ekonomik yorumu ayrı ayrı bildirin.

Klasik eşvaryanslı Lo–MacKinlay istatistiği, \(\widehat{\operatorname{VR}}(q)-1\) değerini artışların varyansının sabit olduğu varsayımıyla türetilen asimptotik varyansa göre standartlaştırır. Getirilerin koşullu oynaklığı değişiyorsa bu standart hata test boyutunu yanlış ölçebilir. Lo ve MacKinlay, varyans oranı istatistiği için değişen varyansa tutarlı bir varyans tahmini de geliştirmiştir.

“Değişen varyansa tutarlı” ifadesinin belirli bir kapsamı vardır: Test varsayımları altında, getiri varyansındaki daha geniş değişim örüntüsüne göre çıkarımı düzeltir. Yanlış fiyat serisini, her olası ufuktaki bağımlılığı, yapısal kırılmaları, güncelliğini yitirmiş kotasyonları veya çok kısa örneklemi düzeltmez. Yazılım \(Z\) ve \(Z^*\) gibi simgeler gösteriyorsa hangi sıfır hipotezini ve standart hata formülünü uyguladığını belgelerinden kontrol edin.

1989 tarihli sonlu örneklem çalışması, performansın ele alınan sıfır ve alternatif hipotezlere bağlı olduğunu buldu. İncelenen simülasyonlarda, değişen varyanslı rassal yürüyüş sıfır hipotezi altında bazı rakip testlere göre daha güvenilir sonuç bildirdi. Bu her örneklem ve uygulama için evrensel bir garanti değildir. Küçük örneklemde bootstrap veya başka bir sonlu örneklem yöntemi yararlı olabilir; ancak yeniden örnekleme tasarımı da soruyla ilgili bağımlılık ve oynaklık özelliklerini korumalıdır.

Tek bir \(q\) testi, varyans ölçekleme kısıtının seçilen bir ufukta geçerli olup olmadığını sorar. \(q\) birçok ufuk incelendikten sonra seçildiyse bildirilen p-değeri bu aramayı hesaba katmaz. \(q=2,4,8,16\) değerlerini deneyip yalnızca en anlamlı sonucu öne çıkarmak yanlış pozitif olasılığını artırır.

Birleşik varyans oranı prosedürü önceden belirlenmiş ufuk kümesini birlikte sınar ve kararı çoklu karşılaştırmalar için düzeltir. Chow ve Denning, çok sayıda oranı ayrı ve düzeltmesiz kararlar gibi test etmenin genel Tip I hata oranını büyük ölçüde artırabilmesi nedeniyle böyle bir çoklu test geliştirmiştir. Birleşik sonuç test edilen ufuk ailesiyle ilgilidir; sapmaya hangi gecikmenin, mekanizmanın veya piyasa katılımcısının yol açtığını açıklamaz.

Örnekleme sıklığına ve araştırma sorusuna bağlı gerekçelerle ufuk seçin. Bir günlük, bir haftalık ve bir aylık karşılaştırmaların her biri yararlı olabilir; ancak bilgi kümeleri ve örtüşen getiri yapıları farklıdır. Yalnızca en elverişli ufku değil, test edilen kümenin tamamını bildirin; keşif amaçlı taramayı doğrulayıcı testten ayırın.

Birden büyük tahmin, seçilen gecikmelerde pozitif ağırlıklı seri bağımlılıkla; birden küçük tahmin ise negatif ağırlıklı bağımlılıkla tutarlıdır. Bu işaretlerin hiçbiri tek başına momentumu, ortalamaya dönüşü, gecikmeli fiyat ayarlamasını, stok etkilerini, alış-satış farkı sıçramasını, eşzamanlı olmayan işlemleri veya oynaklık sürecini benzersiz biçimde tanımlamaz.

Özellikle \(\operatorname{VR}(q)<1\), fiyat düzeyinin durağan olduğunu kanıtlamaz. Bir seri belirli bir ufukta birin altında oran gösterebilir ve yine de stokastik trend içerebilir. Benzer şekilde rassal yürüyüş kısıtını reddetmek, durağan ve ortalamaya dönen alternatifi kendi başına kanıtlamaz. Lo ve MacKinlay, inceledikleri hisse senedi verilerindeki reddin bu sonucu desteklemediğini açıkça belirtmiştir.

Çıkarım; test edilen nesnenin getiri, log fiyat, fazla getiri veya başka bir dönüşümden geçirilmiş seri olup olmadığına da bağlıdır. Günlük kapanıştan kapanışa getiri sonucu, gün içi kotasyonlara veya başka bir varlık evrenine otomatik olarak uygulanamaz. Test edilen nesneyi ve yorumun kapsamını açıkça belirtin.

Alış-satış farkı sıçraması, daha yavaş işleyen ekonomik değer süreci tersine dönmese bile işlem fiyatı getirilerinde kısa ufuklu negatif bağımlılık yaratabilir. Likit olmayan menkul kıymetlerin fiyatları eşzamanlı güncellenmeyebilir; farklı platformlardaki kapanış fiyatları da farklı bilgi pencerelerini yansıtabilir. Bu özellikler en çok kısa ufukları etkileyebilir. Örüntüyü piyasa anomalisi olarak adlandırmadan önce kotasyon kalitesini, işlem etkinliğini, zaman damgalarının eşleşmesini ve daha seyrek örnekleme aralığına duyarlılığı kontrol edin.

Getiri işaretlerinde veya seviyelerinde istikrarlı yönlü örüntü olmasa bile oynaklık kümelenmesi standart hataları etkiler. Ortalama, oynaklık, işlem saatleri ya da piyasa bileşimindeki yapısal değişiklikler, tüm örneklem için tek bir oranın farklı rejimleri karıştırmasına yol açabilir. Yalnızca tercih edilen yorumu destekleyen pencereyi seçmeden alt dönem kararlılığını inceleyin.

Varlıklar, sıklıklar, ufuklar, filtreler ve örneklem başlangıç-bitiş tarihleri arasında arama yapmak ek bir sorun yaratır: gürültüye göre seçim. Geniş bir aramadan sonra bulunan istatistiksel açıdan sıra dışı oran, seçilmemiş bir hipotez testi değildir. Birincil ufku önceden belirleyin veya uygun bir ortak test ya da yeniden örnekleme yöntemi kullanın; ardından bulunan örüntüyü daha sonraki kronolojik veride doğrulayın.

Varyans oranı testi, getirilerin farklı ufuklardaki değişkenliğini özetler. Yönü, giriş veya çıkışı, zarar durdurmayı, pozisyon büyüklüğünü, elde tutma süresini ya da sinyalin işlemden önce kullanılabilir olup olmadığını belirlemez. İstikrarlı bir bağımlılık örüntüsü bile komisyonları, spreadi, piyasa etkisini, finansmanı, ödünç alma maliyetini ve devir hızını karşılayamayacak kadar küçük olabilir.

Bir işlem çalışmasında sinyali ve karar zamanını gelecekteki getirileri görmeden önce tanımlayın. Parametreleri bir oluşum penceresinde tahmin edip sabitleyin ve sonraki gözlemlerde değerlendirin. Sonuç çok sayıda menkul kıymet veya ufuk denendikten sonra bulunduysa gerçekten dokunulmamış bir test dönemi ayırın ya da aramayı hesaba katan bir yöntem kullanın. Maliyet sonrası sonuçları bir temel ölçütle karşılaştırın ve yalnızca teorik getiri tahmini değil, gerçekçi gerçekleşmeleri de hesaba katın.

Varyans oranını grafikler, otokorelasyon kontrolleri, birim kök testleri ve kararlılık analizinin yanında bir tanı aracı olarak kullanın. Varyans ölçeklemesinden sapma daha özel bir modeli araştırmayı gerektirebilir, ancak o modelin kendi varsayımları ve örneklem dışı kanıtları olmalıdır. Test, bir moment kısıtının kısa özetidir; avantajın varlığının kanıtı değildir.

Fiyat tanımını, getiri dönüşümünü, gözlem sıklığını, örneklem tarihlerini, kullanılabilir gözlem sayısını ve getirilerin örtüşüp örtüşmediğini belirtin. Sınanan her \(q\) ufkunu, örneklem varyans oranını, standart hata türünü, test istatistiğini, p-değerini, anlamlılık düzeyini ve çoklu ufuklar için yapılan birleşik düzeltmeleri raporlayın.

Eksik gözlemlerin, şirket işlemlerinin, piyasa kapanışlarının ve zaman damgalarının nasıl ele alındığını açıklayın. Oynaklığa dayanıklı çıkarımın, bootstrap'in, alt dönemlerin veya farklı örnekleme aralıklarının sonucu değiştirip değiştirmediğini belirtin. İşlem uygulamasında istatistiksel örneklemi değerlendirme döneminden ayırın; maliyetleri, uygulama zamanını, seçim kurallarını ve denenen tüm varlıklarla ufukları açıklayın.

Lo ve MacKinlay varyans oranı belirtim testini sunar ve sonlu örneklem büyüklüğü ile gücünü inceler. Chow ve Denning, çoklu varyans oranı testlerinde ortak boyut kontrolünün90051-6) neden gerekli olduğunu açıklar. İlgili kavramlar için durağanlık ve birim kökler, Engle–Granger eşbütünleşmesi ve Johansen eşbütünleşme rankı testi rehberlerine bakın.