Kalman Filtresi Hedge Oranı: Pairs Trading için Dinamik Regresyon

Sabit hedge oranı, oluşum örnekleminde tek bir katsayı tahmin eder ve sonra bunu sabit tutar. Dinamik hedge modeli ise sabit terimle eğimi zaman içinde değişebilen gizli büyüklükler olarak ele alır. Kalman filtresi önceki tahmini yeni gözlemin taşıdığı bilgiyle birleştirerek bu büyüklükleri yinelemeli biçimde tahmin eder.

Aday iki varlık için \(y_t\) birinin log fiyatı, \(x_t\) diğerinin log fiyatı olsun. Değişen uzun dönem regresyonu \(y_t=\alpha_t+\beta_t x_t+\epsilon_t\) biçiminde yazılabilir. \(\beta_t\) katsayısı \(t\) anında verilere uyan ilişkiyi tanımlar; kendiliğinden hisse adedine, dolar nötr pozisyona veya istikrarlı bir ekonomik yasaya dönüşmez.

Bu uygulama, doğrusal durum-uzayı modelinin genel tahmin ve güncelleme yinelemesini kullanır. Kalman yinelemeli filtreleme çerçevesini ortaya koymuş, daha sonraki ekonometri çalışmaları bunu zaman içinde değişen regresyon katsayılarını tahmin etmek için kullanmıştır. Stokastik spread kullanan pairs trading de uygulamalardan biridir; ancak işlem varsayımları filtre algoritmasından ayrı değerlendirilmelidir.

Durum vektörünü ve gözlem satırını şöyle tanımlayın:

\[ \theta_t= \begin{bmatrix}\alpha_t\\\beta_t\end{bmatrix}, \qquad H_t=\begin{bmatrix}1&x_t\end{bmatrix}. \]

Gözlem denklemi \(y_t=H_t\theta_t+\epsilon_t\) biçimindedir. Gözlenen log fiyatı, gizli sabit terim ve hedge katsayısı ile gözlem gürültüsüne bağlar. Yaygın bir başlangıç varsayımında iki katsayı da rassal yürüyüş izler:

\[ \theta_t=\theta_{t-1}+\eta_t,\qquad \eta_t\sim N(0,Q),\qquad \epsilon_t\sim N(0,R). \]

\(Q\), katsayı değişimlerinin kovaryansı; \(R\), gözlem gürültüsünün varyansıdır. \(Q=0\) olduğunda katsayılar bu modelde sabit kalır; pozitif \(Q\) katsayıların hareket etmesine izin verir. Başka durum geçişleri de kullanılabilir, ancak her biri ilişkinin nasıl geliştiğine dair farklı bir varsayım getirir.

Köşegen \(Q\) kullanmak, sabit terim ve eğim değişim şoklarının korelasyonsuz olduğu varsayımını ekler. Köşegen dışı elemanlar bu iki şokun birlikte hareket etmesine izin verir; ancak örneklem bu kovaryansı tahmin edecek kadar bilgi içermelidir. Geçerli bir kovaryans matrisi simetrik ve pozitif yarı tanımlı olmalıdır.

Bu basit belirtim, süreç ve gözlem bozucularının ortalamasının sıfır, seri korelasyonsuz ve birbirinden bağımsız olduğunu varsayar. Bunlar model varsayımlarıdır; fiyat gözlemleri bunları kendiliğinden sağlamaz.

\(t-1\) dönemi sonunda filtrede \(\hat\theta_{t-1|t-1}\) tahmini ve \(P_{t-1|t-1}\) kovaryansı bulunur. Rassal yürüyüş durum denklemi şu tahminleri verir:

\[ \hat\theta_{t|t-1}=\hat\theta_{t-1|t-1}, \qquad P_{t|t-1}=P_{t-1|t-1}+Q. \]

Tahmin bir sonraki döneme taşınırken belirsizlik, izin verilen katsayı değişim kovaryansı kadar artar. \(P\), belirlenen model altında gizli regresyon durumuna ilişkin belirsizliği gösterir. Çift işlemindeki zararın tahmini veya portföy riskinin tamamını ölçen bir değer değildir.

Tek adım ileri gözlem tahmini \(H_t\hat\theta_{t|t-1}\) olur. Önsel durumu kullanmak önemlidir; çünkü yeni \(y_t\) görülmeden hesaplanmıştır. Aynı gözlemle katsayılar güncellendikten sonra artık hesaplanırsa güncelleme artığı zaten sıfıra doğru çekmiştir.

\(H_t\), \(x_t\) değerini içerdiğinden mevcut açıklayıcı fiyat \(S_t\) ve kazancı etkiler. Eğim belirsizliği önemliyse, farklı \(x_t\) seviyelerindeki gözlemler \(\beta_t\) hakkında farklı bilgi sağlayabilir; sabit terim ile eğim arasındaki kovaryans da önemlidir. \(x_t\)'yi merkezlemek veya ölçeklemek sabit terimin anlamını ve katsayı birimlerini değiştirir; bu nedenle \(Q\)'nun ilgili elemanları ve başlangıç \(P\)'si aynen kopyalanmamalı, dönüştürülmeli veya yeniden tahmin edilmelidir.

Yeni gözlem geldiğinde tek adımlı tahmin hatası, yani yenilik, şöyledir:

\[ v_t=y_t-H_t\hat\theta_{t|t-1}, \qquad S_t=H_tP_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}+R. \]

Yenilik varyansı \(S_t\), tahmin edilen durum belirsizliğini ve gözlem gürültüsünü birleştirir. Kalman kazancı ve durum güncellemesi şöyledir:

\[ K_t=P_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}S_t^{-1}, \qquad \hat\theta_{t|t}=\hat\theta_{t|t-1}+K_tv_t. \]

Kazanç, yeni sürprizin ne kadarının tahmin edilen ilişkiyi değiştireceğini, ne kadarının gürültü sayılacağını belirler. Daha yüksek kazanç filtrenin bu gözleme daha fazla uyum sağlaması demektir; ilişkinin daha güvenilir olduğu anlamına gelmez.

Varsayımsal bir filtre \(x_t=50\) iken \(\hat\alpha=2.0\), \(\hat\beta=1.20\) tahmin etsin; bu durumda \(\hat y=62.0\) olur. Gözlenen \(y_t=62.8\) ise yenilik \(0.8\)'dir. Model kazancı \([0.08,0.006]^{\mathsf T}\) ise güncellenen sabit terim \(2.064\), eğim \(1.2048\) olur. Bu uydurma değerler yalnızca hesabı gösterir; ampirik hedge oranı veya sapmanın tersine döneceğinin kanıtı değildir.

Süreç gürültüsü matrisi \(Q\), regresyon katsayılarının bir gözlemden diğerine ne kadar değişebileceğini belirler. \(Q\)'nun yükselmesi genellikle kazancı artırır ve tahmini daha duyarlı kılar. Böylece gerçek bir değişimi daha çabuk izleyebilir; fakat geçici gürültüyü de takip edip hedge ağırlıklarını hızla değiştirebilir. Çok küçük \(Q\), daha düzgün bir tahmin üretir ama gerçek bir kırılmanın gerisinde kalabilir.

Ölçüm gürültüsü varyansı \(R\), ilişkinin açıklamadığı \(y_t\) değişimini gösterir. Diğer her şey sabitken \(R\)'nin yükselmesi, filtrenin her yeni gözleme daha az güvenmesine yol açar. \(Q\) ve \(R\) evrensel ayar sabitleri değildir. Ölçekleri, modelin fiyat mı, log fiyat mı, normalize seri mi kullandığına ve örnekleme aralığına bağlıdır.

Gürültü parametreleri olabilirlik yöntemiyle tahmin edilebilir veya eğitim penceresinden önceden belirlenebilir; ancak bunları nihai işlem döneminin sonuçlarına göre ayarlamak sonuç bilgisini modele sızdırır. Başlangıç durumu \(\hat\theta_{0|0}\) ve kovaryansı \(P_{0|0}\) da önemlidir: belirsiz bir başlangıç ilk dönemde hızlı düzeltmelere yol açabilir. Başlangıç değerlerini, parametre tahmin örneklemini ve makul alternatiflere duyarlılığı raporlayın.

Filtrelenmiş \(\hat\theta_{t|t}\) tahmini \(t\) zamanına kadarki gözlemleri kullanır. \(t\) anındaki yumuşatılmış tahmin ise \(t\)'den sonra gelen gözlemlerden yararlanabilir. Yumuşatma geçmişteki gizli durumları betimlemeye yardımcı olur, ancak tarihsel karar anında yatırımcının erişebildiği bilgi değildir.

Aynı zamanlama sorunu \(Q\), \(R\), çift seçimi ve sinyal eşiklerinin tahmini için de geçerlidir. Bunlar tüm örneklem kullanılarak bir kez ayarlanırsa, katsayı yinelemesi tek yönlü olsa bile erken dönem tahminleri sonraki gözlemlerden yararlanır. Gerçek zamanlı bir simülasyonda hiperparametreleri yalnızca oluşum döneminde tahmin edin; sabitleyin veya önceden açıklanmış walk-forward takvimiyle güncelleyin. Her pozisyon kararını, uygulamadan önce mevcut bilgilerle verin.

Gözlem zamanı, emrin gerçekleştiği zaman değildir. \(v_t\)'yi hesaplamak için \(t\) kapanış fiyatı gerekiyorsa, uygulama süreci bunu mümkün kılmadıkça backtest aynı kapanıştan işlem gerçekleştiğini varsayamaz. Sonraki uygulanabilir kotasyonu veya savunulabilir bir gerçekleşme modelini kullanın; spread, piyasa etkisi, komisyon, ödünç alma ve finansmanı hesaba katın.

Çift çalışmasında güncelleme öncesi yenilik \(v_t\), önceki tahmin edilen ilişkiye göre sürprizdir. \(\sqrt{S_t}\)'ye bölmek model altında standartlaştırılmış yeniliği verir. Farklı tahmin belirsizliğine sahip dönemlerde sürprizleri karşılaştırmaya yarar; ancak her iki varlığın ne kadar alınıp satılacağını ya da büyük bir sapmanın tersine dönüp dönmeyeceğini söylemez.

Güncelleme sonrası artık \(y_t-H_t\hat\theta_{t|t}\) farklı bir büyüklüktür, çünkü katsayıları düzeltmek için mevcut gözlemi kullanır. Bu artığı güncelleme öncesi bir eşikle karıştırmak sinyalin anlamını değiştirir. Spreadi, hesaplama zamanını ve eşiği açıkça tanımlayın; kullanılan katsayının önsel, filtrelenmiş veya yumuşatılmış olup olmadığını belirtin.

\(\beta_t\) log fiyatlardan tahmin edilse bile bunu emirlere dönüştürmek ayrı bir pozisyon kuralı gerektirir. Log fiyat ağırlıkları doğrudan hisse veya kontrat adedini belirlemez. Fiyatlar, kontrat çarpanları, para birimleri ve hesap kısıtları dolar cinsinden maruziyeti belirler; sabit terim alınıp satılan bir varlık değildir. Katsayı güncellemeleri arasındaki yeniden dengeleme maliyetleri ve maruziyet değişimi de önemlidir.

Yavaşça kayan bir katsayı kademeli değişimi temsil etmek için yararlı olabilir; ancak bozulmuş bir ilişkiyi de içine alabilir. Esnek durumlara sahip bir model, istikrarlı bir uzun dönem dengesi bulunmasa bile tahmin artıklarını görsel olarak küçük tutabilir. Filtre kointegrasyon testi yapmaz ve artığın durağan olmasını garanti etmez.

Çift seçimi de önemlidir. Çok sayıda varlığı tarayıp örneklem içi artığı en düzgün olan çifti seçmek, istikrar iddiası için kullanılan verilerle seçim yapmak anlamına gelir. Şirket işlemleri, güncelliğini yitirmiş fiyatlar, eşzamanlı olmayan kapanışlar, açığa satış kısıtları, likidite değişimi ve rejim geçişleri tahmin edilen durumları değiştirebilir ya da kuramsal hedge'in uygulanmasını zorlaştırabilir.

Tahmin çizgisinin yanı sıra artık davranışını, durum belirsizliğini, devir hızını ve katsayı yollarını inceleyin. Kronolojik örneklem dışı dönemler kullanın ve sabit oranlı bir ölçütle karşılaştırın. Daha uyarlanabilir tahmin, gerçekçi maliyetlerden sonra ek devir hızını ve tahmin riskini karşılamalıdır; yalnızca düzgün görünmesi performans sonucu değildir.

Hangi fiyat veya getiri serilerinin modellendiğini, dönüşümlerini, gözlem sıklığını, örneklem tarihlerini ve regresyonun sol tarafında hangi varlığın olduğunu belirtin. Gözlem ve durum denklemlerini, geçiş matrisini, \(Q\), \(R\), başlangıç yöntemini, tahmin yöntemini ve raporlanan durumların filtrelenmiş mi yumuşatılmış mı olduğunu verin.

İşlem sonucu için sinyalde kullanılan yeniliği veya spreadi, normalizasyonu, karar zaman damgasını, emir gecikmesini, pozisyon büyüklüğünü, yeniden dengeleme kuralını ve tüm uygulama maliyetlerini tanımlayın. Çift taramasını, eğitim ve test pencerelerini, gürültü parametrelerinin nasıl yeniden ayarlandığını ve kırılma ya da eksik gözlem sonrası stratejinin nasıl davrandığını açıklayın. Sabit ve dinamik katsayıları aynı kronolojik bölmelerde karşılaştırın.

Kalman'ın doğrusal filtreleme makalesi yinelemeli çerçeveyi geliştirir. Hatanaka bazı katsayıları zamanla değişen regresyonları inceler. Elliott, van der Hoek ve Malcolm pairs trading için stokastik bir model sunar. İlgili konular için Kalman tahmin ve güncelleme, pairs trading'de kointegrasyon ve korelasyon, Johansen rank testi ve varyans oranı testi rehberlerine bakın.