Johansen Eşbütünleşme Testi: Rank, Trace ve Maksimum Özdeğer

Belirtilen veri üretim düzeninde her biri \(I(1)\) kabul edilen \(k\) değişkenli bir \(y_t\) vektörü düşünelim. Eşbütünleşme rankı \(r\), bu değişkenlerin düzeylerinden oluşan doğrusal bağımsız ve durağan kombinasyonların sayısıdır. \(r=0\) ise model, seçilen belirtim altında böyle bir kombinasyon bulmaz. \(0<r<k\) ise \(r\) bağımsız uzun dönem ilişkisi vardır ve olağan \(I(1)\) sistem koşullarında \(k-r\) ortak stokastik trend kalır. Bir rank, sistemin tamamına yayılan tek bir ilişki demektir; mutlaka belirgin bir varlık çifti anlamına gelmez.

Bu, sistemin bütününe ilişkin bir sorudur. İki aşamalı Engle–Granger prosedürü normalize edilmiş tek bir uzun dönem denklemi tahmin eder ve bu denklemin tahmin edilen artığını sınar. Johansen'in olabilirlik yöntemi ise bir vektör otoregresyonu içinde eşbütünleşme uzayının boyutunu tahmin edip sınar; bu nedenle birden fazla bağımsız ilişkiyi temsil edebilir. Yöntemler bağlantılı ama farklı soruları yanıtlar ve sonlu örneklemlerde ya da gecikme ve deterministik terim seçimleri değiştiğinde sonuçları farklılaşabilir.

Düzeylerdeki VAR, burada deterministik terimler çıkarılarak basitleştirilmiş bir vektör hata düzeltme biçiminde yeniden yazılabilir:

\[ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\Gamma_j\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

Burada \(p\), düzey VAR'ın gecikme derecesidir. \(\beta\)'nın sütunları uzun dönem kombinasyonlarını, \(\alpha\) ise önceki dengesizliği mevcut değişimlere bağlayan uyum yüklerini gösterir. \(\Pi\)'nin rankı \(r\) olduğunda matris, \(k\times r\) boyutlu \(\alpha\) ve \(\beta\) matrislerine ayrılabilir. Sisteme kaç hata düzeltme teriminin gireceğini yalnızca değişken sayısı değil, rank belirler.

\(k\) serinin tümü gerçekten \(I(1)\) ise olağan eşbütünleşme durumlarında \(r<k\) olur. Tam rank sonucu, tahmin edilen belirtimde izin verilen deterministik terimler çevresinde düzeylerin durağan olduğuna işaret eder ve ilk entegrasyon derecesi varsayımının yeniden kontrol edilmesini gerektirir. Sıfır rank, değişkenlerin hiçbir tür bağlantısı olmadığını kanıtlamaz; seçilen modelin test edilen rankta durağan bir düzey kombinasyonu bulamadığı anlamına gelir.

Tahmin edilen özdeğerleri \(1>\hat\lambda_1\ge\hat\lambda_2\ge\cdots\ge\hat\lambda_k\ge0\) biçiminde sıralayalım. Bunlar olabilirlik prosedürünün indirgenmiş rank probleminden gelir; açıklanan varyansın sıradan yüzdeleri değildir. Aday rank \(r\) için trace istatistiği şöyledir:

\[ \operatorname{LR}_{\mathrm{trace}}(r)=-T\sum_{i=r+1}^{k}\ln(1-\hat\lambda_i), \]

ve \(H_0:\operatorname{rank}(\Pi)\le r\) hipotezini \(H_A:\operatorname{rank}(\Pi)>r\) alternatifine karşı sınar. Kalan özdeğerlerden gelen kanıtı toplar. Maksimum özdeğer istatistiği ise

\[ \operatorname{LR}_{\max}(r,r+1)=-T\ln(1-\hat\lambda_{r+1}), \]

şeklindedir ve \(r\) rankını bir sonraki rank olan \(r+1\)'e karşı sınar. Dolayısıyla trace testi, toplam ilişki sayısının \(r\)'den fazla olup olmadığını; maksimum özdeğer testi ise verinin bir sonraki ilişkiyi eklemeyi destekleyip desteklemediğini sorar. Rank sıfır hipotezi altında iki istatistik de olağan ki-kare referans dağılımına sahip değildir.

Kullanılabilir 200 gözlemi ve sıralı tahmin özdeğerleri \(0.16\), \(0.05\) ve \(0.01\) olan üç değişkenli bir sistemi düşünelim. Bunlar piyasa tahmini değil, öğretici amaçlı uydurulmuş değerlerdir. \(r=0\) için trace istatistiği üç terimi de toplar ve yaklaşık \(47.14\) olur; maksimum özdeğer istatistiği yalnızca ilk terimi kullanır ve yaklaşık \(34.87\) çıkar. \(r=1\) için karşılık gelen değerler yaklaşık \(12.27\) ve \(10.26\); \(r=2\) için ikisi de son özdeğeri kullanıp yaklaşık \(2.01\) olur.

Hesaplama test istatistikleri üretir, rank kararı vermez. Karar için her istatistiği, tam deterministik duruma ve test sırasına uygun kritik değerlerle veya p-değerleriyle karşılaştırın. Örneğin yazılım tablosundaki “\(r=0\)'da reddet” ifadesi, yalnızca tablonun varsayımları ve seçilen anlamlılık düzeyi altında sıfır ranka karşı kanıttır; belirli bir varlık spread'inin durağan olma olasılığını doğrudan vermez. Eşiğin üzerindeki p-değeri, o rank sıfır hipotezini reddedemediğiniz anlamına gelir; hipotezin doğru olduğunu kanıtlamaz.

Rankı yorumlamadan önce savunulabilir bir VAR gecikme derecesi seçin. Düzeylerde \(p\) dereceli VAR, VECM'de \(p-1\) gecikmeli farka karşılık gelir. Çok az gecikme artıklarda seri korelasyon bırakabilir; çok fazla gecikme serbestlik derecesini tüketir ve sonlu örneklem çıkarımını kararsızlaştırabilir. Bilgi kriterleri aday dereceleri düzenlemeye yardım eder; ancak artık tanıları, örneklem büyüklüğü ve ekonomik zamanlama da önemlidir. Dereceyi nasıl seçtiğinizi bildirin ve makul alternatifleri kontrol edin.

Sabitlerin ve trendlerin nerede yer alacağına karar verin: eşbütünleşme ilişkisinin dışında mı, kısıtlarla içinde mi, yoksa varsayılan modelde hiç mi olacaklar? Bu seçenekler farklı uzun dönem davranışlar ve rank test dağılımları anlamına gelir. En elverişli p-değerini aramak yerine soruya ve veriye uygun belirtimi seçin. Tam deterministik durum, değişken sayısı ve uygulamayla eşleşen kritik değerleri kullanın. Johansen rank istatistiklerinin dağılımları standart değildir. MacKinnon, Haug ve Michelis, dışsal \(I(1)\) değişkenlere izin veren bir genişletme dahil olmak üzere, belirtilmiş Johansen tipi olabilirlik oranı testleri için response-surface dağılımları hesaplamıştır. Bu değerler her rank testi düzenine taşınamaz.

Deterministik terimin konumu yazılımda kozmetik bir seçenek değildir. Yaygın parametreleştirmelerde eşbütünleşme ilişkisi içindeki kısıtlı bir sabit, denge bileşiminin sıfırdan farklı bir ortalamaya sahip olmasına izin verir; ilişkinin dışındaki kısıtsız bir sabit ise düzeylerde farklı bir deterministik sürüklenmeye izin verebilir. Trend kısıtları da varsayılan uzun dönem yolunu değiştirir. Yalnızca “sabit eklendi” diyen bir tablo, sabitin nereye girdiğini belirtmiyorsa eksiktir. Model denklemini okuyun ve her kısıtı raporlayın.

Temel tahmin nesnesi eşbütünleşme uzayıdır. Rankı bir olan modelde \(\beta\) vektörünü sıfır olmayan bir sabitle çarpmak hangi düzey kombinasyonunun durağan olduğunu değiştirmez; bu nedenle analist örneğin bir katsayıyı bire eşitleyerek normalizasyon seçer. Daha yüksek rankta aynı uzayı birçok baz gerebilir; yazılımın gösterdiği vektörler otomatik olarak benzersiz ekonomik ilişkiler değildir. Belirli bir vektörü yorumlamak için kısıtlar veya ek teori gerekir ve normalizasyon raporlanmalıdır.

Uyum matrisi \(\alpha\), tahmin edilen sistemde hangi değişkenlerin dengesizliğe tepki verdiğini gösterir. Katsayı işareti seçilen normalizasyona bağlıdır; matrisin elemanları tek başına nedensel etkiler değil, sistem içindeki koşullu katsayılardır. Küçük ya da sıfır bir uyum yükü zayıf dışsallık hipotezini gündeme getirebilir; ancak bu sonuca varmak için uygun biçimsel kısıtlar ve varsayılan model gerekir. Eşbütünleşme rankı tek başına hangi değişkenin “öncü” olduğunu, hangi ilişkinin ekonomik olarak anlamlı olduğunu veya bir şokun gelecekteki fiyatları nasıl etkileyeceğini söylemez.

Tekillik olmaması, yalnızca gösterim biçiminin değil, çarpanlara ayırmanın bir özelliğidir. Tekil olmayan \(H\) için \(\beta H\) ve \(\alpha(H^{-1})^{\mathsf T}\) aynı uzun dönem \(\Pi\) matrisini verir. Bu nedenle, gösterilen belirli vektör kümesi tekil olmasa bile tahmin edilen uzay tanımlanabilir. Bir vektörü işlem yapılabilir bir spread olarak seçmek açık bir normalizasyon veya ekonomik kısıt gerektirir; birimi ve riski ayrıca incelenmelidir.

Rank genellikle aday değerler sıfırdan başlayıp, reddedilmeyen ilk sıfır hipotezine kadar yükseltilerek ardışık biçimde değerlendirilir. Seçilen rank, belirlenen anlamlılık düzeyi ve belirtim altındaki bir model tercihidir. Trace ile maksimum özdeğer sonuçları farklıysa uyuşmazlığı gizlemek yerine iki sonucu da bildirin; gecikme uzunluğunu, deterministik terimleri, düşük test gücünü, yapısal kırılmaları ve örneklem duyarlılığını inceleyin.

Olabilirlik oranı kritik değerleri standart değildir ve sistem belirtimine bağlıdır. Birim köke yakın davranış, kısa örneklem, aykırı değerler, rejim değişiklikleri, \(I(2)\) değişkenler veya dışsal bütünleşik regresörler basit \(I(1)\) çerçevesini uygunsuz kılabilir. Standart rank tablosu bu durumları otomatik olarak kapsamaz. Johansen'ın ilk çalışması Gaussian VAR varsayımları altında olabilirlik çıkarımını geliştirir; daha sonraki response-surface hesapları belirli test düzenleri için referans dağılımlar sağlar, olası her veri sorunu için değil.

Örneğin trace testi \(r=0\) ve \(r=1\) hipotezlerini reddediyor, ancak \(r=2\)'yi reddetmiyorsa, geleneksel sıra bu belirtim ve anlamlılık düzeyi altında rank iki sonucunu seçer. Bu, rank ikinin doğru olma olasılığının bire eşit olduğu anlamına gelmez. Maksimum özdeğer testinin sırası komşu rank sıfır hipotezlerini karşılaştırır; bu nedenle onun kararları da gösterilmelidir. Bir testin kritik değerini diğer test istatistiğine uygulamayın.

Seçilen rank aynı zamanda örneklem dönemine bağlıdır. Ekonomik ilişkideki, piyasa yapısındaki veya değişken tanımlarındaki bir kırılma, örneklemin erken ve geç dönem tahminlerini farklılaştırabilir. Duyarlılık analizi bu istikrarsızlığı ortaya çıkarabilir; ancak çok sayıda bitiş noktası aramak ek bir çoklu test sorunu yaratır. Önceden planlanan pencereleri açıklayın ve planlanmamış bölünmeleri keşifsel kanıt olarak değerlendirin.

Bir trading çalışmasında tahmin edilen \(\beta\) vektörü spread tanımı için aday olabilir, ancak rank giriş ve çıkış seviyeleri, pozisyon büyüklükleri veya beklenen getiri vermez. Birden fazla eşbütünleşme vektörü varsa tek bir kombinasyon seçmek normalizasyon, kısıtlar ve veri seçimi gerektirebilir. İstatistiksel bir ilişki tahmin edilmiş olsa bile ağırlıklar kısa pozisyon, kaldıraç veya düşük likidite anlamına gelebilir.

Sistemi her karar tarihinde mevcut olan bilgilerle tahmin edin ve tüm seçim ile yeniden tahmin sürecini kronolojik sırayla sınayın. İlişkinin örneklem dışında istikrarlı kalıp kalmadığını kontrol edin; gerektiğinde temettüleri, kontrat geçişlerini, döviz dönüşümünü, finansmanı, ödünç alınabilirliği, alış-satış farklarını, piyasa etkisini ve uygulama zamanlamasını ekleyin. Rankın reddedilmesi belirtilen bir model hakkında kanıttır, kârlılık iddiası değildir. Engle–Granger testi ve hata düzeltme rehberi tek denklemli alternatifi ele alır; pairs trading'de eşbütünleşme ile korelasyon korelasyonun neden aynı özellik olmadığını açıklar.

\(k\) değişkeni, dönüşümleri, gözlem sıklığını, örneklem tarihlerini ve entegrasyon derecesine ilişkin kanıtı belirtin. Düzey VAR gecikme derecesini, deterministik terimlerin konumunu, etkin örneklem büyüklüğünü, trace ve maksimum özdeğer istatistiklerini, eşleşen kritik değerleri veya p-değerlerini, anlamlılık düzeyini ve ardışık rank kararlarını raporlayın. İki testin uyuşup uyuşmadığını, hangi rankın sonraki aşamaya taşındığını ve hangi duyarlılık kontrollerinin sonucu değiştirdiğini açıklayın.

Vektörleri sunarken normalizasyonu, kısıtları ve karşılık gelen uyum yüklerini verin. Trading uygulamasında her yeniden dengelemede mevcut olan bilgiyi, vektör seçim kuralını, örneklem dışı tasarımı, maliyetleri ve başarısızlıkların nasıl ele alındığını açıklayın. Johansen'ın 1988 tarihli eşbütünleşme vektörleri analizi90041-3), eşbütünleşme uzayı ve rank için olabilirlik yaklaşımını geliştirir. 1991 tarihli Gaussian VAR çalışması rank çıkarımını ve vektörlere ilişkin hipotezleri ele alır. MacKinnon, Haug ve Michelis eşbütünleşme olabilirlik-oranı testleri için response-surface dağılımları sunar. İlgili rehber durağanlığı ve birim kökleri açıklar.