Kalman Filtresi: Tahmin, Yenilik ve Güncelleme
Kalman tahmin ve güncelleme döngüsünü, kazancın belirsizlikleri nasıl dengelediğini, filtrenin ne zaman optimal olduğunu ve finansal uygulamaların nerede başarısız olabileceğini öğrenin
Doğrudan yanıt
Kalman filtresi, doğrusal Gauss durum-uzay modelindeki gizli bir durumun koşullu ortalamasını ve belirsizliğini yinelemeli olarak tahmin eder. Önce geçiş denklemiyle durumu ve kovaryansı tahmin eder, ardından yeni gözlemi tahminiyle karşılaştırır. Bu tahmin hatası yeniliktir. Kalman kazancı, tahmin edilen durum belirsizliği ile ölçüm belirsizliğini dengeleyerek hatanın ne kadarının durumu güncelleyeceğine karar verir. Yineleme kendi modeli altında kesindir; ancak zayıf dinamikler, yanlış gürültü kovaryansı, doğrusal olmama, aykırı değerler veya gelecek verileriyle ayarlama, kesin görünen bir tahmini yanıltıcı kılabilir
Filtre bir olasılık ifadesiyle başlar
Filtre her tarihte yalnızca düzgün bir çizgi üzerindeki noktayı değil, bir durum tahminini ve hata kovaryansını taşır.
Doğrusallık, durumu ve gözlemi geçmiş durumların ve bozucu unsurların afin fonksiyonları hâline getirir. Gauss varsayımları koşullu dağılımları yine Gauss olarak tutar.
Bu model altında koşullu ortalama, minimum ortalama kare hata tahminidir. Modelin dışında yineleme yararlı kalabilir; ancak aynı optimalite iddiasını korumaz.
Tahmin hem ortalamayı hem belirsizliği taşır
Geçiş matrisi önceki durum tahminini ileriye taşır. Kontroller veya bilinen girdiler, tahmin edilen ortalamayı kaydırabilir.
Kovaryans da süreç gürültüsüyle birlikte ileriye taşınır ve büyür. Hızla değişmesine izin verilen bir durum, gözlemler arasında daha az kesin hâle gelir.
Bu ön tahmin güncel gözlemi kullanmaz. Onu güncellemeden ayırmak, gerçek zamanlı bilgi disiplininin denetlenmesini sağlar.
Yenilik yeni bilgiyi ölçer
Yenilik, gözlenen değer ile ölçüm denkleminin tahmini arasındaki farktır. Önceki durum tarafından öngörülmeyen kısımdır.
Varyansı, yansıtılan durum belirsizliği ile ölçüm gürültüsünü birleştirir. Bu varyans büyükse büyük bir ham sürpriz olağan olabilir.
Zaman boyunca doğru kurulmuş standartlaştırılmış yenilikler öngörülemez gürültüye benzemelidir. Seri içindeki örüntüler, modelin özümseyemediği bilgiyi gösterir.
Kalman kazancı sürprizi dağıtır
Kazanç, yeniliği bir durum düzeltmesine dönüştürür. Durum tahmini ölçüme kıyasla daha belirsiz olduğunda yükselir.
Gözlemler gürültülüyse kazanç daha küçüktür ve filtre daha az hareket eder. Ölçüm kesinse sürprizin daha büyük bölümü durum revizyonuna dönüşür.
Kazanç genel olarak sabit bir yumuşatma parametresi değildir. Kovaryanslarla, eksik verilerle ve zamanla değişen sistem matrisleriyle birlikte evrilir.
Kovaryans güncellemeleri yanıtın parçasıdır
Veriyi gözlemledikten sonra durum kovaryansı daralır; çünkü belirsizliğin bir kısmı çözülmüştür. Bir sonraki tahminde süreç gürültüsü onu yeniden genişletir.
Sayısal olarak kararlı kovaryans formülleri önemlidir; çünkü yuvarlama, simetrik olmayan veya pozitif yarı tanımlı olmayan bir matris oluşturabilir.
Yalnızca filtrelenmiş kovaryansa dayanan güven bantları parametre belirsizliğini dışarıda bırakabilir. Tahmin edilen geçiş ve gürültü parametreleri başka bir belirsizlik katmanı ekler.
Başlatma ve olabilirlik tüm yolu etkiler
Başlangıç durumu bilinen, durağan, tahmin edilmiş veya dağınık olabilir. İlk filtrelenmiş değerler bu seçimden güçlü biçimde etkilenebilir.
Tahmin hataları ve varyansları, bilinmeyen parametreleri tahmin etmekte kullanılan Gauss olabilirliğini oluşturur. Gürültü seviyeleri yalnızca görsel olarak düzgün bir çizgi elde etmek için ayarlanmamalıdır.
Alternatif başlatmaları, ayrılmış örnek tahminlerini ve sınır tahminlerini karşılaştırın. Sıfıra yaklaşan varyanslar veya bire yaklaşan kalıcılık, zayıf tanımlamaya işaret edebilir.
Uzantılar farklı sorunları çözer
Genişletilmiş Kalman filtresi doğrusal olmayan fonksiyonları yerel olarak doğrusallaştırır; unscented filtre seçilmiş noktaları taşır; parçacık filtreleri bir durum dağılımını simüle eder.
Bunlar otomatik olarak daha doğru değildir. Güçlü doğrusal olmayanlıklar, Gauss olmayan kuyruklar veya çok modlu durumlar yönteme özgü tanılama gerektirir.
Aykırı değerlere dayanıklı gözlem modelleri ve rejim değişiklikleri, her piyasa koşulunu tek bir doğrusal Gauss yinelemesine zorlamaktan daha uygun olabilir.
Finansal filtreleme bir kâhin değildir
Bir filtre gürültülü kotasyonlardan etkin fiyatı, zamanla değişen betayı, gizli getiri eğrisi faktörlerini veya değişen hedge oranını tahmin edebilir.
Tahmin modele ve parametrelere koşulludur. Sırf adına tahmin deniyor diye yarının getirisini ortaya çıkarmaz.
Her tarihte gerçekten mevcut olan bilgiyi kullanarak tek adımlı yenilikleri, hareketli tahminleri, durum revizyonlarını, devir hızını ve işlem maliyetlerini değerlendirin.
Sık sorulan sorular
Kalman filtresi yalnızca hareketli ortalama mıdır?
Hayır. Ağırlıkları geçmiş gözlemlerden oluşan sabit bir pencereyi değil, durum-geçiş modelini ve değişen belirsizliği izler.
Yüksek Kalman kazancı ne anlama gelir?
Yeni ölçümün, tahmin edilen durumdaki belirsizliğe kıyasla görece bilgilendirici olduğu anlamına gelir.
Filtre gelecek gözlemleri kullanır mı?
Filtreleme kullanmaz; yumuşatma kullanır. Tarihsel bir uygulama bu çıktıları birbirinden ayrı tutmalıdır.
Kalman filtresi her zaman optimal midir?
Kesin koşullu-ortalama optimalitesi, belirtilen doğrusal Gauss durum-uzay modelinin doğru olmasını gerektirir.