อธิบาย Principal Component Analysis (PCA)
เรียนรู้การจัดให้อยู่กึ่งกลาง การปรับสเกล covariance คะแนนและ loading ขององค์ประกอบ explained variance การเลือกองค์ประกอบ และข้อจำกัดของ PCA ในการเงิน
คำตอบโดยตรง
Principal component analysis (PCA) แปลงตัวแปรที่มีความสัมพันธ์กันให้เป็นแกนตั้งฉากชุดเล็กลง โดยรักษาความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างไว้ให้มากที่สุด องค์ประกอบแรกจับความแปรปรวนได้มากที่สุด และแต่ละองค์ประกอบถัดไปจับความแปรปรวนที่เหลือได้มากที่สุดโดยยังตั้งฉากกับแกนก่อนหน้า PCA สามารถสรุปความเสี่ยงและสร้างตัวทำนายได้ แต่ไม่ได้ค้นพบปัจจัยทางเศรษฐกิจโดยอัตโนมัติ ผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับหน่วย วันที่ของกลุ่มตัวอย่าง การประมาณ covariance และการเลือกองค์ประกอบ ดังนั้นคะแนน loading explained variance และเสถียรภาพนอกกลุ่มตัวอย่างจึงควรอยู่ในการวิเคราะห์เดียวกัน
วางข้อมูลบนฐานที่ตั้งใจเลือก
PCA ใช้กับข้อมูลที่จัดให้อยู่กึ่งกลางหลังลบค่าเฉลี่ยตัวอย่างของแต่ละตัวแปรแล้ว มิฉะนั้นระดับค่าเฉลี่ยอาจครอบงำสิ่งที่ควรเป็นทิศทางของความแปรปรวน
เลือกการแปลงที่มีความหมายก่อนคำนวณ แนวโน้มร่วมในระดับราคาที่ไม่ stationary อาจปลอมตัวเป็นสัญญาณความเสี่ยงร่วมที่ดูมีประโยชน์
ค่าที่หายไป ค่าผิดปกติ ความถี่ และช่วงเวลาของกลุ่มตัวอย่างล้วนเปลี่ยน covariance การออกแบบข้อมูลก่อนทำ PCA สำคัญกว่าชื่อที่ตั้งให้ในภายหลัง
Covariance และ correlation ตอบคำถามต่างกัน
PCA จาก covariance matrix รักษาหน่วยเดิมไว้ ดังนั้นตัวแปรที่มีความผันผวนสูงกว่าอาจมีอิทธิพลมากกว่าในทิศทางนำ
PCA จาก correlation matrix จะปรับสเกลตัวแปรทุกตัวให้มีความแปรปรวนเป็นหน่วยหนึ่งก่อน วิธีนี้จำกัดผลของหน่วย แต่ก็อาจตัดความแตกต่างของขนาดที่มีความหมายทางเศรษฐกิจออกไป
วัตถุประสงค์เป็นตัวกำหนดทางเลือก การเปลี่ยนแปลงของอัตราผลตอบแทนที่ใช้หน่วยคล้ายกันกับชุดตัวชี้วัดที่ผสมกันไม่จำเป็นต้องใช้เมทริกซ์เดียวกัน
องค์ประกอบเพิ่มความแปรปรวนตามลำดับ
องค์ประกอบหลักตัวแรกคือทิศทางหน่วยที่เมื่อฉายข้อมูลลงไปแล้วมีความแปรปรวนตัวอย่างมากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้
องค์ประกอบถัดไปทุกตัวจะเพิ่มความแปรปรวนของข้อมูลที่ฉายลงไปซึ่งยังเหลืออยู่ให้มากที่สุด โดยมีเงื่อนไขว่าต้องตั้งฉากกับทุกองค์ประกอบที่เลือกก่อนหน้า
ความตั้งฉากทำให้คะแนนองค์ประกอบไม่สัมพันธ์กันในกลุ่มตัวอย่างที่ฟิต ไม่ได้พิสูจน์ว่าแรงกระแทกทางเศรษฐกิจเบื้องหลังเป็นอิสระต่อกัน
Loading และคะแนนทำหน้าที่ต่างกัน
Loading คือค่าน้ำหนักที่รวมตัวแปรเดิมให้เป็นองค์ประกอบ จะแสดงว่าตัวแปรใดชี้ไปในทิศเดียวกันหรือตรงข้ามกับแกนนั้น
คะแนนคือพิกัดที่ได้จากการฉายแต่ละข้อสังเกตลงบนแกนนั้น Loading กำหนดทิศทาง ส่วนคะแนนเคลื่อนผ่านกาลเวลาตามทิศทางนั้น
Eigenvector สามารถคูณด้วยลบหนึ่งได้โดยไม่เปลี่ยนแกน การกลับเครื่องหมายเพียงอย่างเดียวไม่ใช่หลักฐานว่าความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจกลับทิศ
Explained variance เป็นวัตถุประสงค์ที่ไม่ครบถ้วน
ค่า eigenvalue ขององค์ประกอบเท่ากับความแปรปรวนตัวอย่างขององค์ประกอบนั้น การหารด้วยผลรวม eigenvalue ทั้งหมดให้สัดส่วน explained variance
Scree plot และ explained variance สะสมเป็นจุดเริ่มต้นสำหรับเลือกมิติ เกณฑ์ตายตัวอย่าง 80% ไม่ได้เหมาะสมที่สุดเสมอไป
ทิศทางที่มีความแปรปรวนต่ำก็ยังอาจมีข้อมูลสำหรับการทำนายหรือความสัมพันธ์ของ hedge ที่จำเป็น ความแปรปรวนที่อธิบายได้ไม่เท่ากับความสามารถในการทำนายผลตอบแทน
เลือกมิตินอกกลุ่มตัวอย่างที่ใช้ฟิต
องค์ประกอบน้อยเกินไปจะตัดโครงสร้างออก ขณะที่องค์ประกอบมากเกินไปจะรักษาสัญญาณรบกวนของกลุ่มตัวอย่างไว้พร้อมกับการเคลื่อนไหวร่วมที่คงอยู่
เปรียบเทียบ reconstruction error, cross-validation เฉพาะงาน, ช่องว่างของ eigenvalue และเสถียรภาพจาก bootstrap ตามการใช้งานที่ตั้งใจ
ประมาณ loading และ explained variance ใหม่ผ่านกลุ่มตัวอย่างแบบ rolling การใช้แกนจากกลุ่มตัวอย่างทั้งหมดในการพยากรณ์ย้อนหลังทำให้เกิดข้อมูลจากอนาคต
การเงินใช้ PCA เพื่อสรุปการเคลื่อนไหวร่วม
การเปลี่ยนแปลงของเส้นอัตราผลตอบแทนอาจบีบอัดเป็นแกนคล้าย level, slope และ curvature ส่วนผลตอบแทนหุ้นอาจเผยให้เห็นทิศทางกว้างและทิศทางเฉพาะกลุ่ม
สำหรับพอร์ต แกนนำจะแสดงว่าความเสี่ยงกระจุกตัวหรือไม่ แม้จะมีจำนวนการถือครองตามชื่อมากก็ตาม
การเรียกแกนทางสถิติว่า “growth” หรือ “liquidity” ต้องใช้ตัวแปรภายนอก เหตุผลทางเศรษฐกิจ และการตรวจสอบในกลุ่มตัวอย่างอื่น
รายงานตัวเลือกที่ทำให้ทำซ้ำผลลัพธ์ได้
เปิดเผยตัวแปร การแปลง สกุลเงิน หน่วย การจัดให้อยู่กึ่งกลาง การปรับสเกล การจัดการค่าที่หายไป ค่าผิดปกติ และช่วงเวลาประมาณค่า
ระบุเมทริกซ์ eigenvalue explained variance loading กฎการให้คะแนน และเกณฑ์มิติ เพื่อให้นักวิเคราะห์คนอื่นสร้างผลลัพธ์ขึ้นใหม่ได้
แสดงผลนอกกลุ่มตัวอย่างและเสถียรภาพแบบ rolling PCA คือระบบพิกัดที่ประมาณจากข้อมูลที่เลือก ไม่ใช่แผนที่ความเป็นจริงที่ตายตัว
คำถามที่พบบ่อย
PCA กับ factor analysis เป็นสิ่งเดียวกันหรือไม่?
ไม่ใช่ PCA แสดงความแปรปรวนทั้งหมดในรูปใหม่ ขณะที่แบบจำลอง common-factor แยก covariance ร่วมออกจากความแปรปรวนเฉพาะตัวแปร
ควรทำให้ตัวแปรทุกตัวเป็นมาตรฐานเสมอหรือไม่?
ไม่ใช่ การทำให้เป็นมาตรฐานควบคุมความแตกต่างของหน่วย แต่ก็ลบความแตกต่างของขนาดความผันผวนที่อาจมีความหมายได้เช่นกัน
การกลับเครื่องหมายของ loading หมายความว่าโครงสร้างเปลี่ยนหรือไม่?
ไม่จำเป็น Eigenvector และค่าตรงข้ามกำหนดแกนเดียวกัน ดังนั้นต้องจัดแนวเครื่องหมายก่อนเปรียบเทียบช่วงเวลา
องค์ประกอบที่มี explained variance สูงเป็นสัญญาณเทรดที่ดีหรือไม่?
ไม่ใช่ Explained variance วัดการเคลื่อนไหวร่วมในช่วงเวลาเดียวกัน ส่วนความสามารถในการทำนายต้องใช้การทดสอบนอกกลุ่มตัวอย่างแยกต่างหาก