Eigenvalues, Eigenvectors และปัจจัยความเสี่ยงทางการเงิน
ทำความเข้าใจ eigenvalues, eigenvectors, covariance eigendecomposition, การกระจุกตัวของความเสี่ยง effective dimension และความไม่เสถียรจาก sampling error
คำตอบโดยตรง
Eigenvector คือทิศทางที่ถูกเก็บไว้โดย linear transformation และ eigenvalue คือ scale ที่ใช้ตามทิศทางนั้น สำหรับ return covariance matrix, eigenvectors แทนทิศทางของการเคลื่อนไหวร่วมกัน และ eigenvalues วัด variance ตามทิศทางเหล่านั้น หาก eigenvalues ขนาดใหญ่เพียงไม่กี่ค่ารวม variance ส่วนใหญ่ไว้ portfolio อาจมี holdings จำนวนมาก แต่ความเสี่ยงยังคงกระจุกอยู่บนแกนร่วมไม่กี่แกน Eigenvectors ที่จับคู่กับ eigenvalues ใกล้เคียงกันอาจไวต่อ sample อย่างมาก ดังนั้นนักวิเคราะห์ควรประเมิน subspaces, explained variance และความเสถียรนอก sample แทนการตั้งชื่อแกนแต่ละแกนมากเกินกว่าหลักฐาน
บางทิศทางยังคงอยู่หลัง transformation
โดยทั่วไป matrix จะเปลี่ยนทั้งความยาวและทิศทางของ vector Eigenvector เป็นทิศทางพิเศษที่หลัง transformation แล้วยังอยู่บนเส้นเดิม
Eigenvalue ระบุว่าทิศทางนั้นถูก scale มากน้อยเพียงใด ค่าลบยังกลับ orientation ด้วย แม้ eigenvalues ของ covariance จะเป็นลบไม่ได้
ความยาวของ eigenvector เป็นสิ่งกำหนดได้ตามใจ จึงมัก normalize ให้มีความยาวเป็นหนึ่ง Vector และ vector ที่เป็นค่าลบของมันแทนแกนเดียวกัน
Covariance matrix เก็บการเคลื่อนไหวร่วมกัน
ค่าแนวทแยงคือ variances รายตัวของ asset ส่วนค่านอกแนวทแยงคือ covariances ที่อธิบายการเคลื่อนไหวร่วมกันเป็นคู่
Covariance matrix มีสมมาตรและเป็น positive semidefinite จึงมี eigenvalues จริงและมีชุด eigenvectors ที่ตั้งฉากกัน
Sample covariance ถูกประมาณจาก observations ดังนั้น eigenvalues และ eigenvectors ของมันจึงมี sampling error ไม่ใช่ข้อเท็จจริงที่ตายตัว
Eigenvalue คือ variance ตามทิศทางหนึ่ง
เมื่อ project returns ลงบน unit covariance eigenvector ความแปรปรวนของ projected return ที่คำนวณจาก sample จะเท่ากับ eigenvalue ที่สอดคล้องกัน
ผลรวมของ eigenvalues เท่ากับ trace ของ matrix ซึ่งเท่ากับผลรวมของ individual variable variances เช่นกัน
การหาร eigenvalue หนึ่งค่าด้วยผลรวมทั้งหมดให้สัดส่วน explained variance ของค่านั้น การจัดอันดับค่าจะเรียงทิศทางความเสี่ยงที่ fit แล้วตามขนาด
Orthogonal decomposition สร้างความเสี่ยงกลับขึ้นมา
Spectral decomposition แสดง covariance เป็นผลรวมของทิศทาง eigenvector ที่ถ่วงน้ำหนักด้วย eigenvalues
เพราะแกนเหล่านั้นไม่สัมพันธ์กัน variance ของ portfolio จึงแยกเป็นแต่ละ squared axis exposure คูณด้วย eigenvalue ของแกนนั้น
นี่คือการเปลี่ยนพิกัด แกนที่ fit แล้วและไม่สัมพันธ์กันไม่ได้ยืนยันว่า economic shocks ที่อยู่เบื้องหลังเป็นอิสระต่อกัน
Eigenvalues ใกล้กันทำให้ทิศทางไม่เสถียร
เมื่อ eigenvalues อยู่ใกล้กัน การเปลี่ยนแปลงข้อมูลเพียงเล็กน้อยอาจทำให้ eigenvectors ที่สอดคล้องกันหมุนไปอย่างมาก
ถ้า eigenvalues เท่ากันพอดี ฐาน orthogonal ใด ๆ ภายใน shared subspace เดียวกันจะให้ covariance เดียวกัน Individual vectors จึงไม่ได้มีคำตอบเดียว
Sign alignment, มุมระหว่าง vectors, ระยะห่างของ subspace และผล bootstrap ให้การตรวจสอบความเสถียรที่ดีกว่าการเปรียบเทียบด้วยภาพเพียงอย่างเดียว
Eigenvalues ขนาดใหญ่เผยให้เห็นการกระจุกตัวของความเสี่ยง
Eigenvalue แรกที่เด่นชัดหมายความว่า assets จำนวนมากมีทิศทางร่วมที่แข็งแรงหนึ่งทิศทาง ดังนั้น diversification ที่มีประสิทธิผลอาจต่ำกว่าจำนวน holdings ตามชื่อ
Effective dimension สรุปว่า variance ถูกกระจายเท่า ๆ กันมากน้อยเพียงใดในบรรดา eigenvalues Portfolios ที่มีจำนวน assets เท่ากันอาจมี dimensions ต่างกันมาก
Correlations อาจสูงขึ้นในช่วง stress และทำให้สัดส่วนของแกนนำใหญ่ขึ้น Covariance estimate จากช่วงสงบอาจประเมิน diversification ในวิกฤตสูงเกินจริง
เชื่อม PCA กับ factor risk อย่างระมัดระวัง
PCA loadings คือ eigenvectors ของ covariance หรือ correlation matrix และ explained variance มาจาก eigenvalues ที่สอดคล้องกัน
Eigenvalues ขนาดใหญ่ไม่กี่ค่าอาจสนับสนุน factor structure เชิงสถิติแบบประมาณได้ โดยไม่ได้ระบุแหล่งที่มาทางเศรษฐกิจของ factors เหล่านั้น
Factor models กำหนด common structure และ residuals ส่วน eigendecomposition อธิบาย geometry ของ covariance การใช้งานมีส่วนทับซ้อนกัน แต่สมมติฐานต่างกัน
เปิดเผยการประมาณและความไม่แน่นอน
รายงานนิยาม return, frequency, window, missing values, outliers, scaling choice และ covariance estimator
แสดง eigenvalue spectrum ทั้งหมด cumulative shares, เวกเตอร์อันดับต้น และกฎ sign-alignment โดยไม่ให้ identity มากเกินกว่าที่หลักฐานรองรับ
เปรียบเทียบ rolling windows, shrinkage covariance และ out-of-sample risk forecasts กราฟ spectrum ที่คมชัดไม่ได้ลบ estimation error ออกไป
คำถามที่พบบ่อย
เหตุใด covariance eigenvalues จึงไม่เป็นลบ?
Variance ไม่สามารถเป็นลบในทิศทางใด ๆ ของ portfolio ได้ จึงทำให้ covariance matrix เป็น positive semidefinite
Eigenvector ที่ใหญ่ที่สุดเป็น market factor เสมอหรือไม่?
อาจคล้ายกันได้ แต่ identity ดังกล่าวต้องตรวจสอบกับองค์ประกอบ การออกแบบ sample และ market return ภายนอก
ควรตีความเครื่องหมายของ eigenvector อย่างไร?
Vector และค่าลบของมันกำหนดแกนเดียวกัน ให้จัดแนวเครื่องหมายกับ reference asset หรือ window ก่อนหน้าเพื่อใช้เปรียบเทียบ
ทิศทางที่มี eigenvalue เล็กไม่มีความสำคัญหรือไม่?
ไม่เสมอไป ทิศทางนั้นอาจสำคัญต่อ hedge constraints, ความสัมพันธ์แบบ relative-value หรือการพยากรณ์ แม้จะมี contemporaneous variance น้อย