อธิบายเงื่อนไข Novikov และ Kazamaki
เรียนรู้ว่าเกณฑ์ของ Novikov และ Kazamaki เปลี่ยน stochastic exponential จาก local martingale ให้เป็น density ที่ใช้ได้สำหรับการเปลี่ยน measure ได้อย่างไร
คำตอบโดยตรง
Novikov และ Kazamaki เป็นการทดสอบแบบเพียงพอที่ทำให้ stochastic exponential ของ continuous local-martingale เป็น true martingale ที่มี expectation เท่ากับหนึ่งบนช่วงเวลาที่ระบุ คุณสมบัตินี้ทำให้เอ็กซ์โพเนนเชียลกำหนด density ของความน่าจะเป็นได้
Positive local martingale อาจสูญเสียมวล
สำหรับ continuous local martingale M, stochastic exponential ของมันคือ Z_t = exp(M_t - ½⟨M⟩_t)
Z เป็น positive local martingale และด้วยเหตุนี้จึงเป็น supermartingale ดังนั้น E[Z_t] อาจลดลงต่ำกว่าค่าเริ่มต้นหนึ่ง
หากมวลสูญหาย Z_T จะไม่สามารถทำหน้าที่เป็น density ของความน่าจะเป็นได้ หากไม่เปลี่ยนการสร้างที่ตั้งใจไว้
การเปลี่ยน measure ต้องใช้ true martingale
density บนช่วงเวลาจำกัดต้องมี Z_T ≥ 0 และ E[Z_T] = 1 โดยกระบวนการ density กำหนดผ่าน conditional expectations
Uniform integrability ควบคุมตระกูลตลอดช่วงเวลาและสนับสนุนการเปลี่ยน measure ที่สอดคล้องกัน ณ stopping times
การเขียนนิพจน์เอ็กซ์โพเนนเชียลไม่ได้พิสูจน์ว่ามัน normalize เป็นหนึ่งหรือกำหนด equivalent measure ได้
Novikov ควบคุม quadratic variation แบบเอ็กซ์โพเนนเชียล
เกณฑ์ Novikov ทั่วไปรูปแบบหนึ่งคือ E[exp(½⟨M⟩_T)] < ∞ สำหรับช่วงเวลาจำกัดคงที่ T
สำหรับ M = ∫θ_s dW_s, bracket คือ ∫₀ᵀθ_s²ds ดังนั้นการทดสอบนี้ถามถึง exponential integrability ของการสะสมกำลังสองของ drift shift
เกณฑ์นี้สะดวกเพราะใช้ quadratic variation แต่ก็อาจเข้มงวดเกินความจำเป็น
Kazamaki ตรวจสอบตัว martingale เอง
เกณฑ์แบบ Kazamaki ควบคุม exp(M/2) โดยทั่วไปผ่านเงื่อนไข submartingale หรือ uniform integrability บน stopping times
เกณฑ์เหล่านี้อาจพิสูจน์คุณสมบัติ true martingale ได้ในกรณีที่โมเมนต์ exponential bracket ของ Novikov เป็นอนันต์
ข้อความที่แน่นอนแตกต่างกันตามช่วงเวลาและเวอร์ชันของทฤษฎีบท ดังนั้นควรระบุเกณฑ์ที่อ้างและ convention ของเครื่องหมายให้ชัดเจน
การไม่ผ่านเกณฑ์ไม่ได้แปลว่า density ล้มเหลว
เงื่อนไขทั้งสองเป็นการทดสอบแบบเพียงพอ ไม่ใช่นิยาม และโดยทั่วไปไม่ใช่เงื่อนไขจำเป็น
หาก Novikov ไม่ผ่าน Kazamaki, bounded mean oscillation, การคำนวณ expectation โดยตรง หรือข้อโต้แย้งเฉพาะโมเดลอาจยังใช้ได้
หากการทดสอบที่สะดวกทุกแบบไม่ผ่าน ก็ไม่สามารถสมมติว่าเป็น martingale ได้ง่าย ๆ เพราะพฤติกรรม strict local-martingale ยังคงเป็นไปได้
การเงินพึ่งพาขั้นตอน expectation-one
การเปลี่ยน drift ของ Girsanov และ density แบบ risk-neutral มักใช้ stochastic exponential ที่สร้างจาก market price of risk
หาก density เป็น strict local แทนที่จะเป็น true martingale measure การกำหนดราคาที่เสนออาจมีข้อบกพร่องหรือไม่สอดคล้องกันข้ามช่วงเวลา
ปัญหานี้ยังปรากฏในตัวประมาณ likelihood-ratio, filtering, utility duality และโมเดลที่มีพฤติกรรมคล้ายฟองสบู่
ช่วงเวลา การกระโดด และ localization ทำให้การทดสอบเปลี่ยนไป
เงื่อนไขที่ใช้ได้สำหรับทุก T ที่มีค่าจำกัด อาจไม่ให้ uniform integrability บนช่วงเวลาอนันต์
Localization พิสูจน์อัตลักษณ์เฉพาะที่ แต่ไม่สามารถคืน expectation ที่หายไปได้ด้วยตัวมันเองเมื่อต้องหาค่าลิมิต
Exponential ที่มี jump ต้องใช้เกณฑ์ด้าน positivity และ integrability ที่คำนึงถึง jump; ไม่ควรคัดลอกสูตร Novikov แบบ continuous มาใช้โดยไม่เปลี่ยนแปลง
คำถามที่พบบ่อย
เงื่อนไขของ Novikov คืออะไร
สำหรับ continuous local martingale M บน [0,T] รูปแบบที่พบบ่อยต้องการให้ E[exp(½⟨M⟩_T)] มีค่าจำกัด
เงื่อนไขของ Novikov เป็นสิ่งจำเป็นหรือไม่
ไม่ มันเป็นเงื่อนไขเพียงพอ และ stochastic exponential อาจเป็น true martingale ได้แม้โมเมนต์ Novikov จะ diverge
Kazamaki อ่อนกว่า Novikov หรือไม่
Kazamaki อาจตรวจสอบกรณีที่ Novikov พลาดได้ แต่การเปรียบเทียบที่แน่นอนขึ้นอยู่กับเวอร์ชันและสมมติฐานที่ระบุ
ทำไมเงื่อนไขเหล่านี้จึงสำคัญต่อการกำหนดราคาออปชัน
เงื่อนไขเหล่านี้ช่วยพิสูจน์ว่าเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ใช้กับ Girsanov มี expectation เท่ากับหนึ่งและกำหนด measure สำหรับการกำหนดราคาที่ตั้งใจไว้