อิเทโอไอโซเมทรีสำหรับอินทิกรัลสุ่มอธิบาย
เรียนรู้ว่าอิเทโอไอโซเมทรีเปลี่ยนความแปรปรวนของอินทิกรัลสุ่มแบบบราวเนียนให้เป็นอินทิกรัลเวลาธรรมดาได้อย่างไร และเหตุใดจึงสำคัญต่อการ hedge และการจำลอง
คำตอบโดยตรง
อิเทโอไอโซเมทรีกล่าวว่า ค่าคาดหมายของกำลังสองของอินทิกรัลสุ่มแบบบราวเนียนที่มีปริพันธ์กำลังสองได้ เท่ากับค่าคาดหมายของอินทิกรัลตามเวลาของอินทิกรันด์ที่ยกกำลังสอง มันเปลี่ยนความเสี่ยงจากเส้นทางสุ่มให้เป็นการคำนวณความแปรปรวนธรรมดา แต่ต้องระบุ predictability และ integrability ก่อน
ไอโซเมทรีวัดความไม่แน่นอนกำลังสอง
สำหรับกระบวนการ H ที่คาดการณ์ได้ อัตลักษณ์หลักคือ E[(∫₀ᵀ H_t dW_t)²] = E[∫₀ᵀ H_t² dt]
อินทิกรัลมีค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขเป็นศูนย์เมื่อสมมติฐานเป็นจริง ดังนั้นทั้งสองข้างจึงอธิบายความแปรปรวนของมันได้เช่นกัน
นี่ไม่ใช่กฎสำหรับการคูณดิฟเฟอเรนเชียล แต่เป็นอัตลักษณ์ใน L² ที่นิยามผ่านลิมิตของการประมาณเวลาซื้อขายแบบง่าย
กระบวนการแบบขั้นแสดงให้เห็นว่าเหตุใดกำลังสองจึงบวกกัน
สมมติว่า H เท่ากับ 2 ตั้งแต่เวลา 0 ถึง 0.25 และเป็นศูนย์หลังจากนั้น ดังนั้นอินทิกรัลคือ 2(W_0.25 - W_0)
ความแปรปรวนคือ 4 × 0.25 = 1 ซึ่งตรงกับอินทิกรัลตามเวลาของ H² อย่างพอดี
สำหรับหลายช่วงที่ไม่ทับซ้อนกัน การเพิ่มของบราวเนียนที่เป็นอิสระทำให้พจน์ไขว้หายไปในค่าคาดหมาย ลิมิตจะรักษาบัญชีแบบนี้ไว้สำหรับ H ที่ยอมรับได้
ข้อผิดพลาดจากการ hedge ต้องใช้เส้นทางการเปิดรับความเสี่ยง
ในการ hedge diffusion การเปิดรับความเสี่ยง H_t ต่อแรงกระแทกแบบบราวเนียนที่เหลืออยู่สะสมเป็น ∫ H_t dW_t
อิเทโอไอโซเมทรีบอกว่าข้อผิดพลาดจากการ hedge กำลังสองเฉลี่ยตามแบบจำลองขึ้นกับเส้นทางการเปิดรับความเสี่ยงทั้งหมด ไม่ใช่เพียง delta สุดท้ายหรือความผันผวนเฉลี่ยค่าเดียว
การ hedge สองแบบอาจมีข้อผิดพลาดปลายทางเท่ากันบนเส้นทางจริงหนึ่งเส้น แต่มีข้อผิดพลาดกำลังสองที่คาดหมายต่างกันมาก เพราะการเปิดรับความเสี่ยงระหว่างวันต่างกัน [!TRYMARK] เปรียบเทียบเส้นทางการเปิดรับความเสี่ยง ก่อนวันที่เป้าหมายหรือจุดตรวจสอบผลประกอบการ ใช้ TryMark บันทึกระดับหุ้น สมมติฐาน IV ช่วงเวลา hedge และความเสี่ยงเป้าหมาย delta สิ้นวันต่ำไม่ได้พิสูจน์ว่าการเปิดรับความเสี่ยงสะสมระหว่างวันมีขนาดเล็ก
การจำลองใช้กรอบความแปรปรวนเดียวกัน
การเพิ่มแบบ Monte Carlo มักอยู่ในรูป H_t√Δt Z โดย Z มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนเป็นหนึ่ง
ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขคือ H_t²Δt การบวกพจน์เหล่านี้คือรูปแบบไม่ต่อเนื่องของไอโซเมทรี
หากการจำลองเปลี่ยนกริดเวลา ให้เปรียบเทียบงบประมาณ H² ที่อินทิเกรตแล้วและข้อผิดพลาดจากการสุ่มตัวอย่าง แทนการสมมติว่าจำนวนเส้นทางที่มากขึ้นเพียงอย่างเดียวจะยืนยันผลการ hedge
สหสัมพันธ์ jump และอินพุตที่ไม่ดีเป็นเรื่องแยกกัน
เมื่อมีตัวขับบราวเนียนหลายตัว ความแปรปรวนจะรวมเมทริกซ์ covariance และพจน์การเปิดรับความเสี่ยงไขว้
ความเสี่ยงจาก jump การปรับสมดุลแบบไม่ต่อเนื่อง ต้นทุนธุรกรรม ราคาเสนอเก่า และข้อผิดพลาดของพารามิเตอร์ไม่ได้ถูกลบโดยอัตลักษณ์นี้ ต้องมีพจน์แบบจำลองหรือกรณี stress ของตัวเอง
ทฤษฎีนี้ตรวจสอบองค์ประกอบ diffusion ที่มีอินทิกรัลกำลังสองได้ ไม่ได้พยากรณ์กำไร พิสูจน์ความครบถ้วนของตลาด หรือทำให้กฎการเทรดปลอดภัย
คำถามที่พบบ่อย
อิเทโอไอโซเมทรีกล่าวอย่างง่ายว่าอย่างไร
กล่าวว่า ความแปรปรวนที่เกิดจากแรงกระแทกแบบบราวเนียนเล็ก ๆ จำนวนมากคำนวณได้ด้วยการบวกขนาดกำลังสองของการเปิดรับความเสี่ยงตามเวลา
อิเทโอไอโซเมทรีหมายความว่าการ hedge ไม่มีความเสี่ยงเป็นศูนย์หรือไม่
ไม่ใช่ มันอธิบายเฉพาะส่วนบราวเนียนที่มีอินทิกรัลกำลังสองได้ภายใต้แบบจำลองที่ระบุ jump การ hedge แบบไม่ต่อเนื่อง ต้นทุน และอินพุตที่ผิดยังสร้างขาดทุนได้
ทำไมต้องมี predictability
อินทิกรันด์ต้องถูกเลือกจากข้อมูลที่มีอยู่ก่อนการเพิ่มของบราวเนียน มิฉะนั้นมันอาจใช้ noise ในอนาคต และอินทิกรัลสุ่มจะไม่แทนการเปิดรับความเสี่ยงที่ยอมรับได้