อธิบายราคา State ของ Arrow–Debreu
ทำความเข้าใจหลักทรัพย์ที่ขึ้นกับสถานะ เหตุใดราคา state จึงต่างจากความน่าจะเป็น และความโค้งของราคาออปชันเผย density แบบ risk-neutral อย่างไร
คำตอบโดยตรง
หลักทรัพย์ Arrow–Debreu จ่ายหนึ่งหน่วยในสถานะอนาคตที่ระบุไว้หนึ่งสถานะ และจ่ายศูนย์ในสถานะอื่น ราคา state ปัจจุบันรวมการคิดลดตามเวลา ความน่าจะเป็นเชิงกายภาพ และคุณค่าของความมั่งคั่งในสถานะนั้น จึงไม่ใช่ความน่าจะเป็นดิบ
สิทธิเรียกร้องพื้นฐานแยกสถานะอนาคตหนึ่งสถานะ
สมมติว่าความไม่แน่นอนในอนาคตแบ่งเป็นสถานะที่ไม่เกิดร่วมกัน หลักทรัพย์ s จ่ายหนึ่งหน่วยเฉพาะเมื่อเกิดสถานะ s
ผลตอบแทนที่ขึ้นกับสถานะ X ใด ๆ จึงเขียนเป็นชุดของปริมาณตามสถานะ X_s ได้
หากสิทธิเรียกร้องพื้นฐานทั้งหมดซื้อขายได้หรือจำลองได้ สิทธิเรียกร้องเหล่านั้นจะเป็นฐานสำหรับกำหนดราคาผลตอบแทนทุกแบบใน state space จำกัดนั้น
ราคา state ประเมินเวกเตอร์ผลตอบแทนที่สมบูรณ์
ให้ q_s เป็นราคาวันนี้ของหนึ่งหน่วยในสถานะ s ราคาของผลตอบแทน X คือผลรวมของ q_s X_s ในทุกสถานะ
ความเป็นเชิงเส้นเกิดจากการรวมพอร์ต ขณะที่ราคา state ที่เป็นบวกป้องกันผลตอบแทนไม่ติดลบในสถานะที่เป็นไปได้โดยไม่ต้องจ่ายเงิน
ราคาของหน่วยปลอดความเสี่ยงที่จ่ายในทุกสถานะคือผลรวมของ q_s ซึ่งเท่ากับราคาพันธบัตร zero-coupon ที่เกี่ยวข้อง
ราคา state ไม่ใช่ความน่าจะเป็นเชิงกายภาพ
ถ้า p_s คือความน่าจะเป็นเชิงกายภาพและ m_s คือ stochastic discount factor จะได้ q_s = p_s m_s
สถานะภัยพิบัติที่เกิดได้ยากอาจมีราคาต่อหนึ่งหน่วยความน่าจะเป็นสูง เพราะความมั่งคั่งที่ส่งมอบในสถานะนั้นมีคุณค่าเป็นพิเศษ
การหาร q_s ด้วยราคาพันธบัตรให้ความน่าจะเป็นแบบ risk-neutral ซึ่งแยกการทำ normalization ออกจากราคา state ปัจจุบันเดิม
Option spread ประมาณสิทธิเรียกร้องตามสถานะ
Butterfly spread ที่แคบจ่ายหลัก ๆ เมื่อสินทรัพย์อ้างอิงจบใกล้ strike ตรงกลาง จึงประมาณสิทธิเรียกร้องตามสถานะที่แคบได้
เมื่อระยะห่างของ strike ลดลง อนุพันธ์อันดับสองของเส้นราคา call แบบยุโรปที่เรียบจะกู้คืน density แบบ risk-neutral ที่คิดลดแล้วภายใต้สมมติฐานมาตรฐาน
ผลของ Breeden–Litzenberger เชื่อมความโค้งข้าม strike ที่สังเกตได้กับราคา state ไม่ใช่ความเชื่อเชิงกายภาพโดยตรง
No-arbitrage กำหนดข้อจำกัดด้านรูปทรง
ราคา call ควรลดลงตาม strike และยังคง convex เพราะสิทธิเรียกร้องแบบ digital และ butterfly ไม่ควรมีราคาติดลบ
ต้องมีความสอดคล้องตามปฏิทิน รวมถึงการจัดการ forward, discount, dividend และ settlement ที่ถูกต้อง ก่อนตีความ surface
การฝ่าฝืนอาจสะท้อนราคาเก่า noise จาก bid-ask strike ที่ไม่ต่อเนื่อง การใช้สิทธิ์ก่อนกำหนด หรือ input ที่ไม่สอดคล้องจริง ไม่ใช่ arbitrage ที่ซื้อขายได้เสมอไป
ตลาดไม่สมบูรณ์ทำให้ราคา state ยังระบุไม่ได้แน่นอน
หากผลตอบแทนที่ซื้อขายไม่ครอบคลุมทุกสถานะ เวกเตอร์ราคา state หลายแบบอาจสร้างราคาที่สังเกตได้ชุดเดียวกัน
ขอบเขตของสิทธิเรียกร้องที่ไม่ซื้อขายได้มาจากพอร์ตที่จำลองผลตอบแทนได้ต่ำกว่าหรือสูงกว่า แต่การได้ราคาเดียวต้องใช้เกณฑ์เพิ่มเติม
การเพิ่มออปชันหลาย strike ช่วยขยาย payoff space ที่แทนได้ แต่สัญญาที่จำกัดและมี noise ไม่ได้สร้าง continuum ในอุดมคติโดยอัตโนมัติ
การดึงราคาเป็นปัญหา inverse เชิงสถิติ
Option chain จริงมี strike เบาบาง มี noise ไม่พร้อมกัน และมีช่วง strike จำกัด อนุพันธ์อันดับสองขยายความไม่สมบูรณ์เหล่านั้น
Interpolation, smoothing, การ extrapolate หาง, การใช้สิทธิ์แบบ American อัตราดอกเบี้ย และสมมติฐานเงินปันผลอาจเปลี่ยน density ที่อนุมานได้อย่างมาก
ตรวจสอบการ repricing ความเป็นบวก การรวมได้เท่าราคาพันธบัตร ความสอดคล้องของ forward และความไวต่อ smoothing ก่อนใช้ราคา state
คำถามที่พบบ่อย
หลักทรัพย์ Arrow–Debreu คืออะไร?
สิทธิเรียกร้องที่จ่ายหนึ่งหน่วยหากเกิดสถานะอนาคตที่ระบุไว้หนึ่งสถานะ และจ่ายศูนย์ในทุกสถานะอื่น
ราคา state เหมือนความน่าจะเป็นหรือไม่?
ไม่ เพราะรวมทั้งโอกาสเกิดและคุณค่าของความมั่งคั่งในแต่ละสถานะ รวมถึงการคิดลดตามเวลา
ออปชันเผยราคา state ได้อย่างไร?
อนุพันธ์อันดับสองของเส้นราคา call แบบยุโรปที่เรียบตาม strike สอดคล้องกับ density แบบ risk-neutral ที่คิดลดแล้ว
เหตุใดราคา state ที่ประมาณได้จึงไม่เสถียร?
เพราะต้องหาอนุพันธ์จากราคาที่เบาบางและมี noise จึงขึ้นกับ interpolation หาง carry และการจัดการการใช้สิทธิ์อย่างมาก