Дисперсия и волатильность: разница в квадратном корне, меняющая ценообразование
Узнайте, почему дисперсия равна квадрату волатильности, как каждая мера агрегируется во времени и почему VIX, свопы дисперсии и опционный риск нельзя сравнивать простыми средними
Короткий ответ
Дисперсия усредняет квадраты отклонений доходности, а волатильность — её квадратный корень, обычно приведённый к годовому масштабу. Волатильности 20% соответствует дисперсия 0.20², или 0.04, поэтому усреднение, масштабирование и торговля этими мерами не являются одним и тем же
Возведение в квадрат меняет единицы и акцент
Дисперсия измеряется в единицах квадрата доходности. Возведение в квадрат убирает знаки и придаёт большим движениям непропорционально большой вес. Стандартное отклонение возвращает меру к исходной единице доходности извлечением квадратного корня
Рыночная практика часто называет годовое стандартное отклонение «волатильностью». Поэтому волатильности 10% и 30% соответствуют дисперсии 0.01 и 0.09. Во втором случае волатильность втрое выше, а дисперсия — в девять раз
Агрегировать время проще в дисперсии
При независимых одинаково распределённых доходностях дисперсии складываются во времени. Поэтому волатильность масштабируется корнем из времени, а не самим временем. Дневную волатильность нельзя просто умножить на 252
Автокорреляция, смена режимов, внутридневная сезонность, скачки и перекрывающиеся окна ослабляют это приближение. Указывайте, использует ли расчёт торговые или календарные дни и какой интервал доходности он выбирает
Средняя волатильность не равна волатильности средней дисперсии
Квадратный корень нелинеен. Среднее нескольких значений волатильности обычно отличается от квадратного корня среднего значения их дисперсий. Это прямое следствие неравенства Йенсена
Для волатильностей 10% и 30% простое среднее равно 20%. Квадратный корень средней дисперсии равен √((0.01 + 0.09) ÷ 2), то есть примерно 22.36%. Выбор меняет экспозицию и сравнения
Для портфелей нужна ковариация, а не только волатильность компонентов
Дисперсия портфеля объединяет дисперсии каждого актива с ковариациями между активами. Два волатильных актива могут образовать менее волатильный портфель, если их доходности не движутся вместе; в стрессовых условиях корреляции также могут вырасти
Взвешивание отдельных волатильностей с последующим названием результата волатильностью портфеля игнорирует совместные движения. Сначала рассчитайте ковариационную структуру, затем извлеките квадратный корень
Опционные рынки часто торгуют дисперсией, хотя котируют волатильность
Опционная цепочка показывает IV как понятный процент волатильности. Однако полосы опционов могут реплицировать выплаты, связанные с дисперсией, а математика индексов Cboe использует веса, связанные с репликацией свопа дисперсии
Поэтому одинаковое изменение котируемой IV не обязательно имеет одинаковую экономическую ценность при разных исходных уровнях. Рост с 10% до 11% меняет дисперсию меньше, чем рост с 30% до 31%
VIX извлекает квадратный корень после агрегации цен опционов
Методика VIX объединяет допустимые котировки опционов SPX в оценку ожидаемой 30-дневной дисперсии, интерполирует целевой горизонт, а затем показывает квадратный корень в виде годового процента
Поэтому VIX — не простое среднее отображаемых IV контрактов. Важны перекос и веса страйков, так что две поверхности с похожей IV около денег могут дать разные значения индекса
Свопы дисперсии и экспозиция к волатильности не взаимозаменяемы
Выплата свопа дисперсии линейна по реализованной дисперсии относительно страйка дисперсии. Своп волатильности платит по реализованной волатильности. Извлечение квадратного корня вводит выпуклость, поэтому справедливые страйки и хеджи различаются
Опционная позиция добавляет дельту, гамму, перекос, траекторию и эффекты исполнения. Фраза «длинная волатильность» не показывает, напоминает ли её P&L экспозицию к дисперсии, волатильности или другому зависящему от состояния риску
Зафиксируйте реализованную меру до сравнения
Укажите простые или логарифмические доходности, цены от закрытия до закрытия или внутридневную выборку, количество наблюдений, коэффициент годового пересчёта, обработку среднего, праздники и пропуски. Разные соглашения дают разную реализованную дисперсию
Сравнивайте подразумеваемые и реализованные величины с совпадающими горизонтами и единицами. Никогда не вычитайте дисперсию 0.04 напрямую из котировки волатильности 20%
Частые вопросы
В чём разница между дисперсией и волатильностью?
Дисперсия усредняет квадраты отклонений доходности. Волатильность — её квадратный корень, обычно представленный как годовой процент, возвращающий результат к единицам доходности
Если волатильность равна 20%, чему равна дисперсия?
В годовых десятичных единицах это 0.20² = 0.04. Называть это «4%» может быть непонятно, поскольку дисперсия использует квадратные единицы; явно сохраняйте соглашение и единицы
Почему волатильность масштабируется корнем из времени?
Если приращения доходности независимы и имеют стабильную дисперсию, дисперсия складывается со временем. Извлечение квадратного корня заставляет волатильность расти как √времени. Реальные рынки могут нарушать эти предположения
VIX — это среднее IV SPX?
Нет. Он использует заданную полосу котировок опционов SPX и веса страйков для оценки дисперсии постоянного горизонта, а затем переводит результат в годовой индекс волатильности