Паритетная, спот- и форвардная ставки: что показывает кривая

Кривая облигаций строится по ценам или доходностям бумаг с разными сроками и графиками выплат. Рыночная доходность купонной облигации сводит несколько будущих денежных потоков к единому показателю доходности к погашению. Бескупонная спот-ставка оценивает один платёж в заданную дату. Форвардная ставка описывает ставку для интервала, который начнётся позднее. Показатели связаны общими отношениями дисконтирования, но суммируют ответы на разные вопросы о денежных потоках.

Обозначение «доходность двухлетних бумаг» на экране может означать доходность конкретной двухлетней Treasury Note, точку постоянного срока на аппроксимированной паритетной кривой, бескупонную спот-ставку или форвард, начинающийся в будущем. Одного срока недостаточно. Проверьте источник кривой, инструмент, способ начисления сложных процентов и то, является ли значение текущей доходностью конкретной бумаги, паритетной ставкой, нулевой ставкой или ставкой будущего периода.

Три практических вопроса помогают различать термины: какая ставка дисконтирует один платёж к конкретной дате? Какой купон поставит облигацию по номиналу? Какая ставка для более позднего интервала уравняет итог двух инвестиционных траекторий с одинаковыми начальной и конечной датами? Это соответственно вопросы о спот-, паритетной и форвардной ставках.

Спот-ставка, или бескупонная ставка для соответствующего срока, дисконтирует один платёж к этой дате. Если условное двухлетнее бескупонное требование выплатит 100 долларов в конце второго года, а его эффективная годовая спот-ставка составляет 4%, то при упрощённой конвенции сегодняшняя стоимость равна 100 долларам ÷ (1,04)², то есть примерно 92,46 доллара. Промежуточных купонов в этом денежном потоке нет.

Коэффициент дисконтирования выражает ту же связь без приведения доходности к годовой. Обозначим через DF(T) текущую стоимость 1 доллара, получаемого в момент T. При ежегодном начислении DF(T) = 1 ÷ (1 + z(T))^T, где z(T) — спот-ставка для срока T в годах. Денежный поток C в момент T стоит C × DF(T) до поправок на другие риски или конвенции. В расчёте цены коэффициент часто удобнее напрямую применять отдельно к каждому датированному платежу.

Купонная облигация предусматривает платежи в несколько дат и обычно требует коэффициентов дисконтирования для каждой из них. Дисконтирование всех купонов одной доходностью к погашению — полезное упрощение только при заданных конвенциях YTM; это не то же самое, что дисконтировать каждый поток по спот-кривой. Различие важно при наклонной кривой, нерегулярных датах выплат или близких сроках погашения облигаций с разными купонами.

Паритетная доходность — это купон, при котором цена условной купонной облигации равна её номиналу с учётом коэффициентов дисконтирования кривой и принятых дат платежей. Для облигации номиналом 100 долларов с ежегодными выплатами в годы с 1-го по T паритетный купон c решает уравнение: $100 = c × DF(1) + c × DF(2) + … + ($100 + c) × DF(T). При полугодовых или нерегулярных выплатах учитываются также прошедшая доля каждого купонного периода и соответствующие даты дисконтирования.

По определению паритетная доходность отличается от купона и доходности к погашению реальной облигации. Купон выпущенной бумаги закреплён в её условиях, а рыночная доходность меняется вслед за ценой. Паритетная доходность — купон, выведенный из кривой для теоретической новой облигации по номиналу. Министерство финансов США описывает опубликованную кривую как аппроксимированную кривую паритетной доходности на основе индикативных котировок покупки, а не как список сделок с теоретическими облигациями по номиналу. Метод переводит рыночные цены в доходности, строит форвардные ставки бутстрэппингом в узловых сроках и интерполирует кривую с малой ошибкой воспроизведения цен. Построение описано в методологии кривой доходности Treasury.

Паритетная доходность полезна для сравнения условных купонных облигаций выбранного срока при единой конвенции кривой. Она не означает, что существующая бумага с таким же сроком платит этот купон, и не учитывает её ликвидность, налоги, встроенные опционы или условия расчётов. Для конкретной облигации нужны её рыночная цена, даты купонов, условия погашения и принятая рынком методика расчёта доходности.

Форвардная ставка — это ставка для заимствования или инвестирования в будущем интервале, подразумеваемая сегодняшними ценами. Можно спросить, какая ставка за этот интервал уравняет конечные суммы двух стратегий с одинаковыми начальными и конечными датами. При упрощённых предположениях ежегодного начисления и отсутствия арбитража годовая ставка, начинающаяся через год, равна:

Форвардная ставка с 1-го по 2-й год = [(1 + двухлетняя спот-ставка)² ÷ (1 + годовая спот-ставка)] − 1.

Если вложение на два года по двухлетней спот-ставке приносит другую сумму, чем вложение на год по годовой спот-ставке с последующим реинвестированием на второй год по форвардной ставке, теоретически инвестор выбрал бы более выгодный путь. В реальных рынках различия между ставками по займам и депозитам, транзакционные издержки, обеспечение, налоги, кредитное качество и конвенции инструментов мешают точно воспроизвести учебную стратегию для всех участников. Формула объясняет внутреннюю ценовую связь кривой, а не обещает доступную для сделки ставку при любом объёме.

Например, если эффективная годовая спот-ставка на один год равна 3%, а на два года — 4%, коэффициент двухлетнего вложения составляет (1,04)² = 1,0816. В альтернативном пути за первый год получается множитель 1,03. Подразумеваемый множитель роста за второй год — 1,0816 ÷ 1,03 = 1,050097, то есть годовая форвардная ставка для второго года около 5,01%. Двухлетняя спот-ставка равна 4%, а форвард на последний год — примерно 5,01%: это разные показатели одной кривой.

Продолжим с полностью условной бескупонной кривой эффективных годовых ставок: 3% для одного года и 4% для двух лет. Коэффициенты дисконтирования: DF(1) = 1 ÷ 1,03 = 0,970874 и DF(2) = 1 ÷ (1,04)² = 0,924556. Бескупонный платёж 100 долларов через год стоит сегодня около 97,09 доллара; тот же платёж через два года — около 92,46 доллара. Каждая спот-ставка дисконтирует один платёж к своему сроку.

Какой ежегодный купон сделает двухлетнюю облигацию номиналом 100 долларов стоимостью ровно 100 долларов, если купон выплачивается в конце каждого года? Уравнение: $100 = c × 0,970874 + ($100 + c) × 0,924556. Решение — c ≈ 3,9803 доллара, или паритетный купон около 3,98%. Он чуть ниже двухлетней бескупонной спот-ставки 4%, поскольку паритетная облигация выплачивает часть потока уже в первом году, а этот купон дисконтируется по более низкой годовой спот-ставке.

Подразумеваемая годовая форвардная ставка с первого по второй год равна примерно 5,01%, как рассчитано выше. Итак, три ставки отвечают на разные вопросы: 4% дисконтирует один платёж в конце второго года; 3,98% — купон условной двухлетней облигации по номиналу; 5,01% — ставка кривой для второго года при ежегодном начислении. Цифры округлены для показа, расчёт использует неокруглённые коэффициенты. Это условные входные данные, а не рыночное наблюдение или текущая котировка Treasury.

Форвардная ставка математически выводится из текущих цен инструментов при выбранных предположениях о кривой и начислении процентов. Она не равна краткосрочной ставке, которая фактически будет действовать в будущем интервале. Её можно понимать как рыночную ставку безубыточности или при дополнительных предположениях — как приблизительный сигнал ожидаемых краткосрочных ставок. В неё также может входить компенсация за процентный, инфляционный и другие риски.

Анализ Федеральной резервной системы рассматривает форвардную ставку как показатель ожидаемой будущей краткосрочной ставки плюс срочную премию. Эти компоненты нельзя напрямую наблюдать по одной кривой; разложение зависит от модели или дополнительных данных, например опросов и оценок срочной премии. В пояснении ФРС о форвардных спредах показано, почему форвард может отражать и ожидания денежно-кредитной политики, и премию за риск. Разные горизонты и методы оценки могут давать разные выводы.

Даже полезный рыночный сигнал может не совпасть с фактической ставкой. Могут измениться решения центрального банка, инфляция, рост, склонность к риску, спрос и предложение дюрации. Высокая подразумеваемая форвардная ставка не обещает, что краткосрочная стоимость заимствования достигнет этого уровня, и сама по себе не является торговой рекомендацией. Treasury отмечает, что его паритетные и постоянные сроки описывают наблюдаемые условия рынка, а не прогноз будущих ставок.

Дневная ставка Constant Maturity Treasury (CMT) считывается с точки аппроксимированной паритетной кривой Treasury. Она не обязательно равна доходности конкретной казначейской бумаги, погашающейся точно в эту дату, и не является бескупонной спот-ставкой. По данным Treasury, дневная паритетная кривая использует индикативные котировки покупки недавно размещённых бумаг, собираемые примерно в 15:30 по восточному времени, и метод монотонно-выпуклой кривой. Точка CMT — построенное по рыночным данным значение кривой, а не идентификатор бумаги.

Treasury также указывает, что ставки CMT являются доходностями bond-equivalent для бумаг с полугодовыми купонами. Это простые годовые котировки, не эффективные годовые ставки и не APY. Согласно конвенции Treasury, доходность bond-equivalent 8,00% соответствует эффективной годовой доходности 8,16% после полугодового начисления процентов. В таблице CMT нет ежедневной бескупонной кривой. Отдельный раздел Treasury Coupon Issues содержит исторические данные спот-, паритетных и форвардных кривых с месячной, квартальной или помесячной частотой на конец месяца. Эти различия пояснены в FAQ Treasury по процентным ставкам.

Важен и метод построения. Текущая паритетная кривая Treasury интерполирует форвардные ставки, полученные бутстрэппингом; другой поставщик может использовать иные входные данные, сглаживание или интерполяцию и получить немного другую кривую. Поэтому производная спот- или форвардная ставка привязана к конкретной конструкции кривой и конвенции котирования. Она может быть внутренне согласованной и полезной, не являясь отдельно торгуемой казначейской бумагой.

Чтобы оценить обещанные денежные потоки, дисконтируйте каждый датированный платёж коэффициентами кривой, подходящей для бумаги и цели оценки. Бескупонная спот-кривая отражает временную стоимость каждого платежа; могут понадобиться отдельные поправки на кредитный риск, ликвидность, налоги и опционы. Не дисконтируйте каждый купон одной ставкой срока погашения, если только вы осознанно не используете метод YTM.

Для сравнения купона условного нового выпуска по номиналу используйте соответствующую паритетную доходность и частоту купонов. Описывая доходность базовой бумаги Treasury, укажите, относится ли она к конкретной Note или точке CMT. Для анализа подразумеваемой ставки будущего периода используйте форвард и указывайте начало, конец, начисление процентов и источник кривой. Чтобы разделить ожидания краткосрочных ставок и срочную премию, одной форвардной ставки недостаточно — нужна модель или опросные данные.

Эти различия объясняют, почему график кривой может отличаться от ценовой чувствительности облигации. О реакции портфеля на движения кривой в отдельных сроках читайте в статье дюрация ключевых ставок и риск кривой доходности. Роль оценок срочной премии в долгосрочной доходности разобрана в материале о срочной премии Treasury и модельных оценках. Купон, текущая доходность и YTM одной бумаги сравниваются в статье ставка купона, текущая доходность и YTM.

Сначала запишите вид и источник кривой. Это доходность к погашению одной бумаги, паритетная точка CMT, оценочная спот-ставка или форвард для будущего интервала? Затем проверьте, номинальные это или реальные ставки, эффективные годовые или bond-equivalent котировки, и предполагаются ли годовые, полугодовые или иные платежи. Несовпадение периодов или начисления процентов может перевернуть сравнение или ввести в заблуждение.

Затем сопоставьте денежные потоки и даты. Паритетный купон зависит от предполагаемых купонных дат; спот-коэффициент — от времени до каждого платежа; форвард — от точных начального и конечного периодов. В реальной кривой результат также зависит от подсчёта дней, выходных, задержки расчётов, накопленного купона и интерполяции между котируемыми сроками. Разница в несколько базисных пунктов может быть вызвана другой конвенцией или временем сбора данных, а не принципиально иной оценкой будущего.

Наконец, отделите расчёт кривой от вывода. Паритетные, спот- и форвардные ставки — связанные способы обобщить цены, а не взаимозаменяемые прогнозы. Кривая показывает дисконтирование, подразумеваемое текущими котировками, и относительную оценку сроков. Сама по себе она не определяет будущий курс денежно-кредитной политики, не доказывает дешевизну или дороговизну облигации и не показывает фактическую стоимость заимствования после кредитных спредов, комиссий и договорных условий.

Источники: U.S. Treasury, Treasury Yield Curve Methodology; U.S. Treasury, Interest Rates FAQs; U.S. Treasury, Treasury Coupon Issues curve datasets; Federal Reserve Board, The U.S. Treasury Yield Curve: 1961 to the Present; Federal Reserve Board, “(Don’t Fear) The Yield Curve”.