Нормальное распределение и распределение Стьюдента в финансах

Нормальную величину можно записать как X=μ+σZ, где Z — стандартная нормальная величина, а σ равно её стандартному отклонению

Величину Стьюдента со сдвигом и масштабом можно записать как X=μ+sT_ν, где s — параметр масштаба, а ν определяет толщину хвостов

Обе модели симметричны относительно μ, поэтому ни одна не создаёт асимметрию доходности без расширения или преобразования модели

Классическая статистика T=Z/√(V/ν), где независимые Z∼N(0,1) и V∼χ²_ν, имеет стандартное распределение Стьюдента

Случайный знаменатель делает большие стандартизированные значения более вероятными, чем при нормальном законе с фиксированной дисперсией

При стремлении ν к бесконечности неопределённость знаменателя исчезает, и распределение Стьюдента приближается к нормальному

Хвосты Стьюдента затухают по степенному закону, зависящему от ν, тогда как хвосты нормального распределения затухают экспоненциально от квадрата расстояния

Его среднее существует при ν>1, дисперсия — при ν>2, а четвёртый момент — при ν>4; при меньших ν соответствующий генеральный момент исчезает

При ν>4 эксцесс равен 6/(ν−4), что явно показывает переход к нормальным хвостам

Для распределения t со сдвигом и масштабом при ν>2 Var(X)=s²ν/(ν−2), поэтому s меньше стандартного отклонения

Сравнение нормального σ с t-масштабом s как будто оба являются волатильностью может создать ложное сравнение хвостов или правдоподобия

Пакеты используют разные названия параметров и иногда версии с дисперсией, стандартизированной к единице, поэтому фиксируйте точное соглашение о плотности

Метод максимального правдоподобия для нормальной модели делает квадрат остатков доминирующим, и несколько экстремальных наблюдений могут раздуть оценку дисперсии

Правдоподобие Стьюдента уменьшает вес больших стандартизированных остатков через ν, создавая устойчивую на вид подгонку без объявления этих наблюдений невозможными

Оценка ν рядом с границей существования момента может сделать дисперсию, эксцесс и меры риска нестабильными даже при сходимости оптимизатора

Многомерный нормальный закон задаёт гауссовскую копулу с нулевой асимптотической хвостовой зависимостью при корреляции ниже идеальной

Многомерный t-закон использует общий случайный масштаб и создаёт симметричную положительную хвостовую зависимость при конечном ν

Такая симметрия всё равно может быть неверной для акций, если совместные обвалы отличаются от совместных подъёмов или зависимость меняется по режимам

Сравнивайте графики вероятностей и квантилей, превышения порогов, прогнозное правдоподобие, покрытие интервалов и бэктесты VaR или ES

Переоценивайте модель на скользящих окнах и проверяйте асимметричный t-закон, смеси, стохастическую волатильность и альтернативы с отфильтрованными остатками, если структура сохраняется

Лучшая подгонка t-модели означает более полезное приближение для выбранной задачи, а не буквальное следование доходностей одному неизменному t-закону