Арифметическая и геометрическая доходности: почему 10% в среднем — это не 10% роста

Используйте последовательные периоды одинаковой длительности для одного и того же инвестиционного актива или портфеля. Работайте в одной валюте с положительным начальным значением и без внешних денежных потоков. Укажите, реинвестируется ли доход, и включены ли расходы в доходность.

Запишите доходность каждого периода в виде десятичной дроби r: 40% превращается в 0,40, а убыток 20% — в −0,20. Коэффициент роста равен 1 + r, а не самому числу r.

Арифметическая средняя = (r₁ + r₂ + … + rₙ) ÷ n. Этот показатель описывает среднюю наблюдаемую однопериодную доходность. Он не восстанавливает конечный баланс постоянно инвестированного счёта.

Для последовательных периодов перемножьте коэффициенты роста: совокупная доходность = (1 + r₁) × (1 + r₂) × … × (1 + rₙ) − 1.

Сохраняйте согласованность между ценовой и общей доходностью. Переключение между ними в середине ряда создаёт иную задачу, отличную от выбора среднего показателя.

Рассмотрим два полных года и 10 000 условных единиц неизменной валюты. Гипотетические доходности: +40% в первый год и −20% во второй год. Комиссии, выплаты, пополнения и снятия отсутствуют.

Применение арифметической средней со сложным процентом дало бы вместо этого 10 000 × 1,10 × 1,10 = 12 100. Эти дополнительные 900 никогда не появлялись на данном счёте; они принадлежат другому пути доходности.

Пример является оригинальной арифметикой, а не бэктестом, результатом реальных инвестиций или прогнозом. Валютная единица не изменила бы процентные значения.

• Начало: 10 000.
• После первого года: 10 000 × 1,40 = 14 000.
• После второго года: 14 000 × 0,80 = 11 200.
• Арифметическая средняя: (40% − 20%) ÷ 2 = 10% в год.
• Совокупная доходность: 11 200 ÷ 10 000 − 1 = 12% за два года.

Геометрическая доходность — это постоянная ставка за период g, которая воспроизводит фактический коэффициент роста: (1 + g)ⁿ = (1 + r₁) × … × (1 + rₙ).

Таким образом g = [(1 + r₁) × … × (1 + rₙ)]^(1/n) − 1. Извлекайте корень n-й степени из произведения коэффициентов роста, а не из самих процентов. Для последовательности с коэффициентом 12 и исходной базой 2 коэффициент нормализации равен 0.975 в соответствующем расчётном примере.

Для двухлетнего примера g = (1,12)^(1/2) − 1 ≈ 5,8301% в год. Использование незаокруглённого значения даёт 10 000 × (1 + g)² = 11 200. В этой записи сохраняются значения 2.

Когда периоды являются годами, геометрическая доходность равна совокупному годовому темпу роста, или CAGR. При отсутствии внешних потоков CAGR = (конечная стоимость ÷ начальная стоимость)^(1/t) − 1, где t — прошедших лет.

Отдельный пример: 10 000 вырастают до 15 000 за пять лет. Общий прирост составляет 50%, но CAGR равен (1,5)^(1/5) − 1 ≈ 8,45%, а не 50% ÷ 5 = 10%.

[Пояснение FINRA об ежегодной доходности](https://syndication.finra.org/content/how-are-your-investments-doing-returns-explained) также отличает ежегодное сложное процентное начисление от деления общего прироста на количество лет.

Два года по +10% и +10% имеют ту же арифметическую среднюю, что и +40% и −20%. Тем не менее 10 000 вырастает до 12 100 в первом случае и до 11 200 — во втором.

Для положительных коэффициентов роста геометрическое среднее не превышает арифметическое среднее. Они равны, когда доходность каждого периода одинакова. Применяйте это утверждение к одним и тем же наблюдениям, а не к несвязанным фондам.

Разрыв между ними — это не дополнительная комиссия, вычитаемая из баланса. Конечная стоимость со сложным процентом уже отражает доходности. Кроме того, данное сравнение не доказывает, что менее волатильная инвестиция обязана превосходить другую.

[Обсуждение двух средних значений в CFA Institute](https://rpc.cfainstitute.org/blogs/enterprising-investor/2015/the-myth-of-volatility-drag-part-1) объясняет, почему сложной процент — это произведение, а не сумма.

Перестановка этой фиксированной пары доходностей не меняет произведения при отсутствии денежных потоков. Однако она может изменить траекторию и наблюдаемую максимальную просадку.

Геометрическое среднее из месячных наблюдений — это месячная ставка. Если двенадцать последовательных месяцев каждый дают ровно 1% доходности, годовой рост составит (1,01)¹² − 1 ≈ 12,68%, а не 12%. В этой записи сохраняются значения 12.

Данный пример определяет все двенадцать месяцев. Ежегодизация одного наблюдавшегося месяца в 1% описала бы гипотетическое повторение, а не реализованную годовую доходность или прогноз.

Для неравных интервалов наблюдений геометрическое среднее на одно наблюдение не является автоматически годовой ставкой. Используйте фактические прошедшие годы для корректного расчёта конечного CAGR и укажите договорённость о подсчёте дней для неполных лет.

Ежегодизированное число сглаживает крайние точки. Оно не утверждает, что счёт зарабатывал эту ставку каждый год, и не предотвращает крупные промежуточные убытки.

Предположим, 100 вложено в актив A, а 900 — в актив B за один и тот же период. A приносит 50% прибыли, а B теряет 10%. Их конечные стоимости: 150 и 810, итого 960.

Доходность портфеля = (960 − 1 000) ÷ 1 000 = −4%. Эквивалентно: начальные веса дают 0,10 × 50% + 0,90 × (−10%) = −4%.

Неусреднённая средняя из +50% и −10% составляет +20%, что игнорирует распределение весов. Перемножение 1,50 на 0,90 также неверно здесь: эти позиции сосуществуют и не представляют два периода одного и того же капитала.

Внешние пополнения и снятия создают отдельную границу. Баланс, выросший с 10 000 до 15 000 после пополнения на 5 000, необязательно отражает 50%-ную инвестиционную прибыль.

[Методология денежных потоков GIPS](https://www.gipsstandards.org/standards/gips-standards-for-firms/gips-standards-handbook-for-firms/) различает временновзвешенную доходность и доходности, отражающие время и размер денежных потоков.

Процентная прибыль от небольшой премии опциона — это не то же самое, что процентная прибыль всего счёта. Разные размеры сделок, перекрывающиеся позиции и свободные средства предотвращают произвольное перемножение доходностей по сделкам.

[Руководство OIC по кредитному плечу](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/leverage-risk) объясняет, почему премии опционов могут демонстрировать усиленные процентные доходности и убытки.

Для фьючерсов предоставленная маржа является залогом, а не ценой покупки экспозиции. Изменение этой знаменательной величины не создаёт новой доходности базового актива.

[Объяснение маржи CME](https://www.cmegroup.com/education/courses/introduction-to-futures/margin-know-what-is-needed) определяет, что представляют собой эти средства.

Используйте знаменатели доходности фьючерсов для сравнения сделок, и последовательные оценки всего счёта для портфельного сложного процента. Учитывайте открытые позиции и считайте каждую стоимость один раз.

Начните с постановленного вопроса: среднее наблюдение, рост одной инвестиции или доходность портфеля одновременных позиций? Для каждого из них требуется разный расчёт.

• Запишите даты, длительности периодов, валюту и начальные и конечные стоимости.
• Определите доход, реинвестирование, комиссии и внешние пополнения или снятия.
• Восстановите конечную стоимость из последовательных коэффициентов роста перед ежегодизацией.
• Разграничьте арифметическую среднюю, совокупную доходность, геометрическую периодную доходность и CAGR.

Формулы с положительными коэффициентами предполагают, что каждая доходность превышает −100%. При полной потере нет оставшегося капитала для сложного процента. Отрицательный собственный капитал требует анализа денежных потоков и обязательств, а не сравнения CAGR.