ADF vs. Phillips–Perron: diferenças entre os testes de raiz unitária

Em uma equação autorregressiva em níveis, uma raiz unitária significa que um choque não precisa desaparecer do nível. Ao escrever a primeira diferença como regressão em relação ao nível defasado, a hipótese fica explícita: se o coeficiente do nível defasado for zero, o processo em nível tem uma raiz igual a um no modelo especificado. Um coeficiente negativo aponta para uma alternativa estacionária, desde que os termos determinísticos e as demais hipóteses sejam adequados.

Assim, nas implementações usuais de ADF e PP, a hipótese nula não é “a série é estacionária”. A nula afirma que há raiz unitária; a alternativa é a estacionariedade em torno do componente determinístico escolhido. Não rejeitar a nula porque a estatística não é suficientemente negativa não prova a existência da raiz. A amostra pode simplesmente não conter informação suficiente para distingui-la de um processo estacionário muito persistente, com raiz autorregressiva próxima de um.

Isso difere de um teste cuja nula é a estacionariedade, como KPSS, e de um teste direto de cointegração. O guia sobre estacionariedade e raiz unitária apresenta os conceitos mais amplos; o guia de Engle–Granger aborda o caso especial em que uma combinação linear de séries não estacionárias é estacionária.

Uma regressão de raiz unitária pode não incluir termos determinísticos, incluir uma constante, ou incluir uma constante e uma tendência temporal linear. Essas opções não são meramente cosméticas. A constante permite drift sob a nula de raiz unitária e uma média diferente de zero sob a alternativa estacionária. A tendência temporal permite que a alternativa estacionária oscile em torno de uma tendência determinística. A escolha dos termos altera o modelo e a distribuição sob a nula.

Incluir uma tendência desnecessária pode reduzir o poder, pois mais parâmetros precisam ser estimados. Omitir um drift ou uma tendência que realmente exista pode distorcer o tamanho e a interpretação do teste. Escolha a especificação com base na pergunta sobre o processo gerador dos dados e no gráfico da série, declare-a explicitamente e use os valores críticos correspondentes. Não escolha depois a opção que produz a rejeição desejada.

O mesmo vale para preços em log, spreads, taxas de juros e retornos. Uma tendência crescente pode ser plausível para o nível do preço, mas não para os retornos. O teste não escolhe qual variável econômica deve ser analisada. Os componentes determinísticos fazem parte da hipótese; não são um detalhe de pré-processamento a esconder.

A regressão Dickey–Fuller aumentada pode ser escrita assim:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

Aqui dₜ contém os termos determinísticos escolhidos, e a nula é H₀: γ = 0. As diferenças defasadas adicionais buscam deixar o erro restante suficientemente adequado à aproximação do teste. Elas modelam parametricamente a dinâmica de curto prazo dentro da regressão; não acrescentam outra restrição de raiz unitária.

A ordem de defasagem p importa. Poucas defasagens podem deixar correlação serial em εₜ e enfraquecer a aproximação pretendida. Muitas consomem graus de liberdade e podem reduzir o poder, sobretudo em amostras curtas. Comece com um máximo de defasagens declarado, compare um critério de informação defensável com diagnósticos dos resíduos e informe se escolhas próximas alteram o resultado. Uma defasagem pequena selecionada não prova que a dependência residual seja inofensiva. Harris (1992)90022-Q) estuda escolhas operacionais da estrutura de defasagens, do tamanho e do poder do ADF.

A seleção de defasagens pode ser difícil em alguns processos. Ng e Perron mostram que, quando uma raiz de média móvel está próxima de −1, AIC ou BIC convencionais podem selecionar poucas defasagens de aumento nos procedimentos de raiz unitária estudados. Os critérios de informação modificados deles foram concebidos para procedimentos com detrending GLS e testes relacionados. É um alerta para certas dinâmicas, não uma regra de que um critério ou uma defasagem maior sempre seja melhor.

O teste Phillips–Perron começa com uma regressão do tipo Dickey–Fuller, sem a soma de diferenças defasadas do ADF:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

Em seguida, corrige a estatística do teste usando estimativas da variância de curto prazo e da covariância de longo prazo. Uma forma comum da estimativa de variância de longo prazo é:

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

Aqui γ̂ⱼ são autocovariâncias dos resíduos, K é um peso de kernel e ℓ é uma escolha de largura de banda ou truncamento. A definição exata varia conforme a estatística PP e a convenção do software. A distinção conceitual permanece: ADF adiciona diferenças defasadas à regressão; PP aplica uma correção não paramétrica de dependência à estatística de uma regressão mais curta.

PP não é simplesmente “ADF com erros-padrão robustos”. Sua correção altera a estatística de raiz unitária e seu tratamento assintótico; a saída de uma regressão robusta genérica não torna válidos os valores críticos t comuns. Kernel e largura de banda determinam quanta dependência a correção captura. Uma largura de banda pequena demais pode deixar de fora correlações relevantes; uma grande demais pode tornar ruidosa a estimativa da variância de longo prazo.

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Sob a nula de raiz unitária, o nível defasado vem de uma tendência estocástica, não de um regressor estacionário. Por isso, as estatísticas da família DF têm distribuições-limite não convencionais. Mesmo em uma amostra grande, a tabela t convencional não é a referência adequada. Os valores críticos dependem da presença de constante e tendência, assim como da estatística e da implementação utilizadas.

As estatísticas PP são transformadas para considerar a dependência, mas a nula de raiz unitária ainda é avaliada em relação à lei de referência não convencional apropriada. Use valores críticos ou p-valores de uma implementação reconhecida que corresponda aos termos determinísticos e à estatística. Não compare uma estatística ADF de uma especificação com valores críticos PP de outra, nem interprete a razão t de um coeficiente exibido como uma estatística t de Student comum.

A calibração assintótica não garante bom comportamento em toda amostra finita. O estudo de Monte Carlo de Schwert relata sensibilidade dos procedimentos de raiz unitária à má especificação do modelo e diferenças no comportamento em amostras finitas. Leia o p-valor considerando a duração da amostra, a dependência dos dados, a escolha de defasagem ou largura de banda e a especificação da regressão.

O tamanho é a probabilidade de rejeitar uma nula verdadeira de raiz unitária; o poder é a probabilidade de rejeitar sob uma alternativa estacionária especificada. Um teste pode parecer conclusivo em uma amostra, mas ter tamanho incorreto sob a estrutura de dependência real. As defasagens do ADF e a correção de covariância de longo prazo do PP tratam problemas relacionados por aproximações diferentes; o resultado de um não garante a robustez do outro.

No ADF, verifique se sobra autocorrelação nos resíduos após adicionar defasagens e se mais uma defasagem altera a inferência de modo relevante. No PP, informe o kernel e a regra da largura de banda e examine alternativas razoáveis. São análises de sensibilidade, não uma autorização para testar muitas especificações e manter apenas o p-valor mais favorável. Os resultados de Ng–Perron também mostram que a escolha de defasagens interage com o processo de erro e com a remoção de tendência determinística; um critério de informação mecânico não resolve todo desenho.

Os dois testes podem ter baixo poder contra alternativas estacionárias muito persistentes. Não rejeitar não é evidência positiva de que diferenciar seja necessário. Se a amostra for curta, a raiz estiver perto de um ou a conclusão for central para o modelo, considere evidências complementares e outros procedimentos com hipóteses explícitas, em vez de tratar ADF e PP como votos independentes.

Uma mudança de nível, de tendência, de regime de política, de paridade cambial ou de estrutura de mercado pode fazer a série parecer muito persistente, embora segmentos estacionários em torno de uma trajetória determinística variável sejam mais adequados. A análise de Perron sobre grandes mudanças históricas mostra que a conclusão de raiz unitária pode depender de permitir uma quebra. ADF e PP padrão não detectam automaticamente todas as quebras.

Faça o gráfico da série, documente mudanças institucionais conhecidas e avalie se um teste que permita quebras ou um modelo segmentado responde à pergunta. Procurar uma quebra depois de observar a mesma amostra pode afetar a inferência; use um método com valores críticos apropriados para essa busca ou identifique a análise como exploratória. O guia Bai–Perron trata da estimação de quebras em regressões, não de uma correção direta para ADF ou PP sem alterações.

A transformação também importa. Nível do preço, log do preço, spread e retorno são variáveis econômicas diferentes. Diferenciar um nível que provavelmente tem raiz unitária pode produzir uma série mais estável; diferenciar um nível estacionário pode descartar informação e criar uma especificação ruidosa sem necessidade. Em estudos de pares, a análise de cointegração ajuda a distinguir tendências estocásticas separadas de um spread possivelmente estacionário. Nenhum desses diagnósticos, por si só, comprova que uma estratégia seja lucrativa.

Suponha que um nível hipotético siga:

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

μ é um drift constante, e as inovações εₜ podem ter dependência serial. Subtraindo yₜ₋₁, obtemos Δyₜ = μ + εₜ; o coeficiente γ do nível defasado é zero na regressão em diferenças correspondente. Essa é a forma algébrica da nula de raiz unitária. A álgebra não produz um p-valor: a lei de referência continua não convencional e depende dos termos determinísticos e do tratamento da dependência.

Com ADF, as diferenças defasadas tentam representar a dependência de curto prazo na regressão. Com PP, a equação-base é mais curta e a estatística recebe uma correção estimada de covariância de longo prazo. Se os dados tiverem uma quebra na tendência determinística, as duas implementações padrão podem estar mal especificadas mesmo que o software mostre uma estatística aparentemente precisa.

A comparação tem três camadas: a nula substantiva, a especificação da regressão e dos termos determinísticos, e a correção da dependência residual. Mantidas as duas primeiras, ADF e PP são diagnósticos alternativos úteis; alterar as três até um teste rejeitar não é um teste de robustez. Resultados diferentes são um motivo para examinar hipóteses e ajustes, não uma competição cujo vencedor determina o modelo automaticamente.

Informe a variável e sua transformação, período e frequência da amostra, termos determinísticos, regra e ordem selecionada de defasagens ADF, ou estatística PP, kernel e largura de banda. Declare nula e alternativa, estatística, valor crítico ou p-valor correspondente e verificações de autocorrelação residual e quebras. Se o resultado for sensível a escolhas razoáveis, diga isso; não mostre só a especificação que sustenta a interpretação preferida.

Um fluxo de trabalho útil começa definindo o alvo e o modelo econômico, escolhe os termos determinísticos, executa ADF ou PP com especificação adequada, verifica dependência e possíveis quebras e compara com evidências complementares. O guia do teste de razão de variâncias analisa outra implicação do passeio aleatório. Ele não compartilha a mesma nula nem substitui um teste de raiz unitária.

Nem ADF nem PP ordena diferenciar quando um p-valor cruza determinado limite. Diferenciar é uma decisão de modelagem sobre a série e a pergunta: prever mudanças, estimar relação de longo prazo, testar spread de negociação ou preservar informação dos níveis pode levar a escolhas distintas. O teste ajuda nessa decisão, mas a transformação final também deve respeitar o processo gerador dos dados, a estabilidade, o objetivo de previsão e uma possível estrutura de cointegração.