Distribuição normal vs. Student-t em finanças
Compare as distribuições normal e Student-t por decaimento das caudas, graus de liberdade, escala e variância, verossimilhança, dependência multivariada e seus limites como modelos de retornos financeiros
Resposta direta
Uma distribuição normal tem caudas que decaem exponencialmente, determinadas por sua média e variância. Uma distribuição Student-t acrescenta graus de liberdade ν e tem caudas que decaem segundo uma lei de potência, atribuindo mais probabilidade a observações extremas. Ela pode ajustar melhor os retornos financeiros, mas uma única distribuição simétrica e estática não consegue explicar todos os regimes, assimetrias ou agrupamentos de volatilidade
Ambos os modelos são famílias simétricas de localização e escala
Uma variável normal pode ser escrita como X=μ+σZ, com Z normal padrão e σ igual ao seu desvio padrão
Uma variável Student-t de localização e escala pode ser escrita como X=μ+sT_ν, em que s é um parâmetro de escala e ν controla a espessura das caudas
Ambas são simétricas em torno de μ, então nenhuma produz assimetria de retornos a menos que o modelo seja estendido ou transformado
A Student-t surge da incerteza sobre a variância
A estatística clássica T=Z/√(V/ν), com Z∼N(0,1) e V∼χ²_ν independentes, tem uma distribuição Student-t padrão
O denominador aleatório torna valores padronizados grandes mais prováveis do que sob uma lei normal de variância fixa
À medida que ν tende ao infinito, a incerteza do denominador desaparece e a distribuição Student-t se aproxima da distribuição normal
Os graus de liberdade determinam os momentos
As caudas da Student-t decaem como uma lei de potência controlada por ν, enquanto as caudas normais decaem exponencialmente no quadrado da distância
Sua média existe para ν>1, a variância para ν>2 e o quarto momento para ν>4; valores menores de ν eliminam o momento populacional correspondente
Para ν>4, a curtose excedente é 6/(ν−4), tornando explícita a transição em direção às caudas normais
Escala nem sempre é desvio padrão
Para uma distribuição t de localização e escala com ν>2, Var(X)=s²ν/(ν−2), portanto s é menor que o desvio padrão
Comparar um σ normal com uma escala s da t como se ambos fossem volatilidade pode criar uma comparação falsa de cauda ou verossimilhança
Pacotes de software usam nomes diferentes para os parâmetros e, às vezes, versões padronizadas com variância um, então registre a convenção exata da densidade
A verossimilhança equilibra centro e caudas
A máxima verossimilhança normal faz os resíduos ao quadrado dominarem e pode deixar algumas observações extremas inflarem a estimativa de variância
A verossimilhança Student-t reduz o peso de resíduos padronizados grandes por meio de ν, produzindo um ajuste de aparência robusta sem declarar que eles são impossíveis
Estimar ν próximo ao limite de existência de um momento pode tornar variância, curtose e medidas de risco instáveis mesmo quando o otimizador converge
Modelos multivariados mudam os extremos conjuntos
Uma distribuição normal multivariada implica uma cópula gaussiana, que tem dependência de cauda assintótica zero abaixo da correlação perfeita
Uma distribuição t multivariada compartilha uma escala aleatória e produz dependência de cauda positiva e simétrica para ν finito
Essa simetria ainda pode estar errada para ações se crashes conjuntos diferirem de altas conjuntas ou se a dependência mudar entre regimes
A escolha do modelo exige verificações fora da amostra nas caudas
Compare gráficos de probabilidade e quantis, excedentes de limiar, verossimilhança preditiva, cobertura de intervalos e backtests de VaR ou ES
Reajuste em janelas móveis e teste alternativas t assimétricas, misturas, volatilidade estocástica e resíduos filtrados quando a estrutura persistir
Um ajuste t melhor significa que ele é uma aproximação mais útil para a tarefa escolhida, não que os retornos sigam literalmente uma única lei t imutável
Perguntas frequentes
Por que a Student-t tem caudas mais pesadas que a normal?
Sua mistura de escalas aleatórias produz decaimento polinomial das caudas, enquanto as probabilidades normais decaem exponencialmente com o quadrado da distância
O que significam os graus de liberdade?
O parâmetro ν controla a espessura das caudas e a existência dos momentos; valores positivos menores criam caudas mais pesadas
A escala da Student-t é igual à volatilidade?
Em geral, não. Para ν>2, seu desvio padrão é s√[ν/(ν−2)] sob a convenção comum de localização e escala
A Student-t é sempre melhor para retornos financeiros?
Não. Ela captura caudas pesadas simétricas, mas pode não representar assimetria, dinâmica de volatilidade, saltos e dependência que varia com o regime