Teste da razão de variâncias: random walk, horizontes e trading

Seja \(P_t\) um preço observado e \(x_t=\ln(P_t)\) seu logaritmo. O retorno logarítmico de um período é \(r_t=x_t-x_{t-1}\). O retorno logarítmico de \(q\) períodos soma \(q\) retornos consecutivos de um período. Se esses incrementos não forem correlacionados e tiverem variância estável, a variância da soma cresce proporcionalmente a \(q\).

A razão de variâncias populacional é

\[ \operatorname{VR}(q)=\frac{\operatorname{Var}(r_t+r_{t-1}+\cdots+r_{t-q+1})}{q\operatorname{Var}(r_t)}. \]

Sob essa condição de escala da variância, \(\operatorname{VR}(q)=1\). O procedimento de Lo–MacKinlay transforma essa relação em uma estatística amostral e em um teste da restrição de random walk. Um é o valor de referência implicado por incrementos não correlacionados; não significa que os preços sejam suaves ou previsíveis. Na aplicação original, os autores rejeitaram a especificação de random walk em dados históricos de ações dos EUA, mas alertaram explicitamente que a rejeição, por si só, não estabelecia um modelo de preços com reversão à média.

Para retornos estacionários de um período com autocorrelação \(\rho_j\) na defasagem \(j\), a mesma razão populacional pode ser escrita como

\[ \operatorname{VR}(q)=1+2\sum_{j=1}^{q-1}\left(1-\frac{j}{q}\right)\rho_j. \]

Cada autocorrelação recebe um peso menor à medida que sua defasagem aumenta. Portanto, a razão resume um conjunto ponderado de correlações seriais até o horizonte \(q-1\); ela não equivale à autocorrelação de uma defasagem específica.

Para \(q=4\), suponha que um processo hipotético de retornos tenha \(\rho_1=0.10\), \(\rho_2=0.04\) e \(\rho_3=0\). Então,

\[ \operatorname{VR}(4)=1+2\left(\frac{3}{4}\times0.10+\frac{2}{4}\times0.04\right)=1.17. \]

O valor acima de um reflete dependência ponderada positiva nesses horizontes. Se as duas primeiras autocorrelações fossem \(-0.10\) e \(-0.04\), e a terceira continuasse zero, a razão seria \(0.83\). São cálculos populacionais hipotéticos. Uma estimativa amostral observada pode diferir por causa da variação amostral, de mudanças na volatilidade e das correções do estimador para amostras finitas.

Padrões diferentes de autocorrelação podem produzir a mesma razão em um horizonte. Contribuições positivas e negativas podem se compensar, então uma razão exatamente igual a um não exige que toda autocorrelação incluída seja zero. Examinar vários horizontes predefinidos pode revelar outro padrão, mas, se os resultados forem testados em conjunto, também é necessária uma inferência conjunta.

O teste costuma ser aplicado a logaritmos de preços observados em intervalos iguais ou às primeiras diferenças desses logaritmos. Se as observações forem fechamentos diários, \(q=5\) corresponde a um retorno de cinco pregões, não a uma semana de calendário com outro número de sessões de negociação. Pregões ausentes, saltos entre sessões e marcações de tempo irregulares mudam o significado de “um período”. Informe o calendário do mercado e se os preços incluem distribuições ou outras ações corporativas.

Usar retornos simples em vez de retornos logarítmicos é uma escolha de modelagem, não uma simples mudança de nome válida para qualquer horizonte. Retornos logarítmicos se somam exatamente ao longo do tempo; retornos simples se compõem. Para pequenas variações, podem ser numericamente próximos, mas a definição deve corresponder à pergunta e ser consistente no exemplo, na estimação e no backtest. Não aplique a fórmula a um nível de preço como se fosse uma série de retornos.

A maioria das implementações constrói retornos sobrepostos de \(q\) períodos para que cada observação disponível contribua para a estimativa. Isso aumenta o número de observações agregadas, mas janelas adjacentes compartilham muitos retornos de um período e não são independentes. Sob as premissas adotadas, o erro-padrão do teste considera essa construção; tratar retornos sobrepostos como independentes subestimaria a incerteza.

Suponha que a variância do retorno de um pregão de um ativo hipotético seja \(0.0001\), equivalente a um desvio-padrão de 1% por pregão. Com incrementos não correlacionados, a variância do retorno de quatro pregões é \(4\times0.0001=0.0004\), o desvio-padrão é 2% e a razão é \(0.0004/(4\times0.0001)=1\).

Agora suponha que a variância estimada para quatro pregões seja \(0.000468\), enquanto a estimativa de um pregão continue em \(0.0001\). A razão amostral é \(0.000468/(4\times0.0001)=1.17\). Essa conta descreve como a dispersão se compara entre os horizontes escolhidos. Não significa que o retorno esperado seja 17% maior, que o próximo retorno tenha 17% mais chance de ser positivo ou que uma posição de quatro pregões tenha ganho esperado de 17%.

Para fazer uma afirmação inferencial, compare a razão estimada com sua distribuição de teste e sua medida de incerteza. A razão pode estar próxima de um mesmo quando outros aspectos do processo de preços contradizem um modelo completo de random walk. Em sentido inverso, uma razão diferente de um pode ser estatisticamente indistinguível de um em uma amostra curta ou ruidosa. Mantenha separados a estimativa, a estatística de teste, o valor p e a interpretação econômica.

A estatística clássica homocedástica de Lo–MacKinlay padroniza \(\widehat{\operatorname{VR}}(q)-1\) usando uma variância assintótica derivada sob incrementos de variância constante. Se a volatilidade condicional dos retornos mudar, esse erro-padrão pode distorcer o tamanho do teste. Lo e MacKinlay também desenvolvem um estimador de variância consistente sob heterocedasticidade para a estatística da razão de variâncias.

“Consistente sob heterocedasticidade” tem um escopo específico: sob as premissas do teste, ajusta a inferência a um padrão mais amplo de mudança na variância dos retornos. Não corrige uma série de preços errada, dependência em todos os horizontes possíveis, quebras estruturais, cotações desatualizadas ou uma amostra curta demais. Alguns softwares distinguem as opções por símbolos como \(Z\) e \(Z^*\); consulte a documentação para saber qual hipótese nula e qual fórmula de erro-padrão são implementadas.

O estudo de 1989 sobre amostras finitas constatou que o desempenho depende da hipótese nula e da alternativa analisadas e relatou, nas simulações examinadas, maior confiabilidade sob uma hipótese nula de random walk heterocedástico do que em alguns testes concorrentes. Isso não é uma garantia universal para toda amostra ou implementação. Em uma amostra pequena, um bootstrap ou outro procedimento para amostras finitas pode ajudar, mas o desenho da reamostragem também precisa preservar as características de dependência e volatilidade relevantes para a pergunta.

Um teste com um único \(q\) pergunta se a restrição de escala da variância se mantém em um horizonte escolhido. Se \(q\) tiver sido escolhido depois de inspecionar muitos horizontes, o valor p informado não considera essa busca. Testar \(q=2,4,8,16\) e destacar apenas o resultado mais significativo aumenta a chance de um falso positivo.

Um procedimento conjunto de razões de variância testa simultaneamente um conjunto predefinido de horizontes e ajusta a decisão para comparações múltiplas. Chow e Denning desenvolveram um teste múltiplo desse tipo porque tratar muitas razões individuais como decisões independentes e sem ajuste pode elevar bastante a taxa global de erro do tipo I. O resultado conjunto diz respeito à família de horizontes testada; não explica qual defasagem, mecanismo ou participante do mercado produziu o desvio.

Escolha os horizontes com base na frequência de amostragem e na pergunta de pesquisa. Comparar um dia, uma semana e um mês pode ser útil, mas cada um tem um conjunto de informações e uma estrutura de sobreposição diferentes. Informe todo o conjunto testado, não apenas o horizonte mais favorável, e diferencie uma busca exploratória de um teste confirmatório.

Uma estimativa acima de um é compatível com dependência serial ponderada positiva nas defasagens selecionadas. Uma estimativa abaixo de um é compatível com dependência ponderada negativa nessas defasagens. Nenhum dos sinais identifica unicamente momentum, reversão à média, ajuste de preços atrasado, efeitos de estoque, bounce bid-ask, negociação assíncrona ou um processo de volatilidade.

Em particular, \(\operatorname{VR}(q)<1\) não prova que o nível de preços seja estacionário. Uma série pode ter uma razão abaixo de um em determinado horizonte e ainda conter uma tendência estocástica. Por outro lado, rejeitar uma restrição de random walk não prova, por si só, uma alternativa estacionária de reversão à média. Lo e MacKinlay afirmaram explicitamente que a rejeição nos dados de ações estudados não sustentava essa conclusão.

A inferência também depende de o objeto testado ser o retorno, o logaritmo do preço, o retorno excedente ou outra série transformada. Um resultado de retornos diários entre fechamentos não diz automaticamente algo sobre cotações intradiárias ou outro universo de ativos. Especifique o objeto e limite a interpretação de acordo com ele.

O bounce bid-ask pode gerar dependência negativa de curto prazo em retornos baseados em preços de transação mesmo quando um processo mais lento do valor econômico não se reverte. Ativos pouco líquidos podem atualizar preços de forma assíncrona, e fechamentos podem capturar janelas de informação diferentes entre mercados. Esses fatores podem afetar mais os horizontes curtos. Antes de chamar o padrão de anomalia de mercado, verifique a qualidade das cotações, a atividade de negociação, o alinhamento dos horários e a sensibilidade a um intervalo de amostragem mais lento.

O agrupamento de volatilidade afeta os erros-padrão mesmo quando os sinais ou níveis dos retornos não apresentam um padrão direcional estável. Uma mudança estrutural na média, na volatilidade, no horário de negociação ou na composição do mercado pode fazer uma única razão de toda a amostra misturar regimes distintos. Examine a estabilidade em subperíodos sem selecionar apenas a janela que favorece sua interpretação.

Buscar entre ativos, frequências, horizontes, filtros e datas finais da amostra cria outro problema: a seleção pelo ruído. Uma razão de variâncias estatisticamente incomum descoberta após uma busca ampla não é um teste de hipótese sem interferência dessa busca. Predefina um horizonte principal ou use um método conjunto ou de reamostragem adequado; depois, valide o padrão descoberto com dados cronológicos posteriores.

O teste da razão de variâncias resume a variabilidade dos retornos entre horizontes. Ele não especifica direção, entrada, saída, stop, tamanho da posição, período de manutenção ou se o sinal estava disponível antes da execução. Mesmo um padrão estável de dependência pode ser pequeno demais para superar taxas, spread, impacto de mercado, financiamento, empréstimo de ativos e giro.

Em um estudo de trading, defina o sinal e o momento da decisão antes de observar os retornos futuros. Estime os parâmetros em uma janela de formação, congele-os e avalie observações posteriores. Se o resultado foi descoberto após testar muitos ativos ou horizontes, reserve um período de teste realmente intocado ou use um método que considere a busca. Compare os resultados após custos com uma referência e inclua execuções realistas, não apenas uma previsão teórica de retorno.

Use a razão de variâncias como diagnóstico junto com gráficos, verificações de autocorrelação, testes de raiz unitária e análises de estabilidade. Um desvio do escalonamento de variância pode motivar um modelo mais específico, mas esse modelo exige premissas próprias e evidências fora da amostra. O teste descreve de forma compacta uma restrição de momentos; não prova que exista uma vantagem.

Informe a definição do preço, a transformação do retorno, a frequência de observação, as datas da amostra, o número de observações utilizáveis e se os retornos se sobrepõem. Relate cada horizonte \(q\) testado, a razão de variâncias amostral, a versão do erro-padrão, a estatística de teste, o valor p, o nível de significância e qualquer ajuste conjunto para vários horizontes.

Explique como foram tratados dados ausentes, ações corporativas, fechamentos de mercado e horários das observações. Registre se inferência robusta à volatilidade, bootstrap, subperíodos ou intervalos alternativos de amostragem mudaram o resultado. Em uma aplicação de trading, separe a amostra estatística do período de avaliação e informe custos, horário de execução, regras de seleção e todos os ativos e horizontes testados.

Lo e MacKinlay apresentam o teste de especificação da razão de variâncias e estudam seu tamanho e poder em amostras finitas. Chow e Denning explicam por que testar múltiplas razões de variância exige controle conjunto do nível do teste90051-6). Para conceitos relacionados, veja os guias sobre [estacionariedade e raízes unitárias](/pt-BR/learn/stationarity-unit-root-mean-reversion-finance-explained), [cointegração de Engle–Granger](/pt-BR/learn/engle-granger-cointegration-test-error-correction-explained) e o [teste de posto de cointegração de Johansen](/pt-BR/learn/johansen-cointegration-rank-trace-max-eigenvalue-explained).