Autovalores, autovetores e fatores de risco financeiro
Entenda autovalores, autovetores, decomposição espectral da covariância, concentração de risco, dimensão efetiva e instabilidade causada por erro amostral
Resposta direta
Um autovetor é uma direção preservada por uma transformação linear, e seu autovalor é a escala aplicada nessa direção. Para uma matriz de covariância de retornos, os autovetores representam direções de movimento conjunto e seus autovalores medem a variância nessas direções. Se poucos autovalores grandes contêm a maior parte do total, uma carteira pode ter muitos ativos enquanto seu risco continua concentrado em alguns eixos comuns. Autovetores associados a autovalores semelhantes podem ser muito sensíveis à amostra, então os analistas devem avaliar subespaços, variância explicada e estabilidade fora da amostra, em vez de atribuir nomes excessivos a eixos individuais
Algumas direções sobrevivem a uma transformação
Uma matriz geralmente altera tanto o comprimento quanto a direção de um vetor. Um autovetor é uma direção especial que permanece na mesma reta depois da transformação
Seu autovalor informa quanto essa direção é escalada. Um valor negativo também inverte a orientação, embora os autovalores de uma covariância não possam ser negativos
O comprimento de um autovetor é arbitrário, então ele normalmente é normalizado para um. O vetor e seu negativo representam o mesmo eixo
Uma matriz de covariância armazena movimentos conjuntos
Os elementos diagonais são as variâncias individuais dos ativos, enquanto os elementos fora da diagonal são covariâncias que descrevem o movimento conjunto entre pares
Uma matriz de covariância é simétrica e semidefinida positiva, portanto admite autovalores reais e um conjunto ortogonal de autovetores
A covariância amostral é estimada a partir de observações. Seus autovalores e autovetores, portanto, carregam erro amostral em vez de serem fatos fixos
Um autovalor é a variância em uma direção
Projete os retornos em um autovetor unitário da covariância, e a variância amostral desse retorno projetado será igual ao autovalor correspondente
A soma de todos os autovalores é igual ao traço da matriz, que também é a soma das variâncias das variáveis individuais
Dividir um autovalor por esse total dá sua participação na variância explicada. Ordenar os valores organiza as direções de risco ajustadas pelo tamanho
A decomposição ortogonal reconstrói o risco
A decomposição espectral expressa a covariância como uma soma de direções de autovetores ponderadas por seus autovalores
Como esses eixos não são correlacionados, a variância da carteira se separa em cada exposição ao eixo ao quadrado multiplicada pelo autovalor do eixo
Isso é uma mudança de coordenadas. Eixos ajustados não correlacionados não provam que os choques econômicos subjacentes sejam independentes
Autovalores próximos tornam as direções instáveis
Quando os autovalores estão próximos, uma pequena mudança nos dados pode girar substancialmente os autovetores correspondentes
Se os autovalores forem exatamente iguais, qualquer base ortogonal dentro de seu subespaço compartilhado produz a mesma covariância. Os vetores individuais não são únicos
Alinhamento de sinais, ângulos entre vetores, distância entre subespaços e resultados de bootstrap oferecem verificações de estabilidade melhores do que a comparação visual isolada
Autovalores grandes revelam concentração de risco
Um primeiro autovalor dominante significa que muitos ativos compartilham uma direção forte, então a diversificação efetiva pode ficar atrás da quantidade nominal de ativos
A dimensão efetiva resume quão uniformemente a variância se distribui entre os autovalores. Carteiras com o mesmo número de ativos podem ter dimensões muito diferentes
As correlações podem subir em períodos de estresse e aumentar a participação dominante. Uma estimativa de covariância de um período calmo pode superestimar a diversificação em uma crise
Conecte PCA e risco de fatores com cuidado
As cargas da PCA são os autovetores de uma matriz de covariância ou correlação, e a variância explicada vem dos autovalores correspondentes
Poucos autovalores grandes podem sustentar uma estrutura aproximada de fatores estatísticos sem identificar a origem econômica desses fatores
Modelos de fatores especificam estrutura comum e resíduos; a decomposição espectral descreve a geometria da covariância. Seus usos se sobrepõem, mas as premissas diferem
Divulgue a estimação e a incerteza
Informe a definição do retorno, a frequência, a janela, os valores ausentes, os outliers, a escolha de escala e o estimador de covariância
Mostre o espectro completo de autovalores, as participações acumuladas, os vetores principais e a regra de alinhamento de sinais sem atribuir mais identidade do que as evidências sustentam
Compare janelas móveis, covariância com shrinkage e previsões de risco fora da amostra. Um gráfico nítido do espectro não elimina o erro de estimação
Perguntas frequentes
Por que os autovalores da covariância não são negativos?
A variância não pode ser negativa em nenhuma direção de carteira, o que torna a matriz de covariância semidefinida positiva
O maior autovetor é sempre o fator de mercado?
Ele pode se parecer com um, mas essa identidade exige validação contra a composição, o desenho da amostra e um retorno de mercado externo
Como o sinal de um autovetor deve ser interpretado?
O vetor e seu negativo definem o mesmo eixo. Alinhe os sinais a um ativo de referência ou à janela anterior antes de comparar
Uma direção com autovalor pequeno é irrelevante?
Não necessariamente. Ela pode importar para restrições de hedge, relações de valor relativo ou previsão apesar de carregar pouca variância contemporânea