Análise de componentes principais (PCA) explicada
Aprenda sobre centralização, escalonamento, covariância, escores e cargas dos componentes, variância explicada, seleção de componentes e os limites da PCA em finanças
Resposta direta
A análise de componentes principais (PCA) transforma variáveis correlacionadas em um conjunto menor de eixos ortogonais que preserva o máximo possível da variância amostral. O primeiro componente captura a maior variância, e cada componente posterior captura a maior variância restante enquanto permanece ortogonal aos eixos anteriores. A PCA pode resumir risco e criar preditores, mas não descobre automaticamente fatores econômicos. Os resultados dependem de unidades, datas da amostra, estimação da covariância e seleção de componentes, então escores, cargas, variância explicada e estabilidade fora da amostra pertencem à mesma análise
Coloque os dados em uma base deliberada
A PCA é aplicada a dados centralizados depois de subtrair a média amostral de cada variável. Caso contrário, níveis médios podem dominar o que deveria ser uma direção de variação
Escolha transformações significativas antes do cálculo. Uma tendência comum em níveis de preços não estacionários pode se passar por um sinal útil de risco compartilhado
Valores ausentes, outliers, frequência e janela da amostra alteram a covariância. O desenho dos dados antes da PCA importa mais que o nome atribuído depois
Covariância e correlação respondem a perguntas diferentes
A PCA da matriz de covariância preserva as unidades originais, então uma variável com maior volatilidade pode exercer mais influência nas direções principais
A PCA da matriz de correlação primeiro escala cada variável para variância unitária. Ela limita os efeitos das unidades, mas pode descartar diferenças de magnitude economicamente relevantes
O objetivo determina a escolha. Mudanças de rendimento em unidades semelhantes e uma coleção mista de indicadores não necessariamente exigem a mesma matriz
Os componentes maximizam a variância em sequência
O primeiro componente principal é a direção unitária cujas observações projetadas têm a maior variância amostral possível
Cada componente posterior maximiza a variância projetada restante, condicionado a ser ortogonal a todos os componentes selecionados antes dele
A ortogonalidade torna os escores dos componentes não correlacionados na amostra ajustada. Ela não prova que os choques econômicos subjacentes sejam independentes
Cargas e escores têm funções diferentes
Cargas são os pesos que combinam as variáveis originais em um componente. Elas mostram quais variáveis apontam a favor ou contra um determinado eixo
Escores são as coordenadas obtidas ao projetar cada observação nesse eixo. Cargas definem uma direção; escores se movem ao longo dela no tempo
Um autovetor pode ser multiplicado por menos um sem alterar seu eixo. Uma simples inversão de sinal não é evidência de que uma relação econômica se reverteu
A variância explicada é um objetivo incompleto
O autovalor de um componente é igual à sua variância amostral. Dividi-lo pela soma de todos os autovalores produz sua razão de variância explicada
Um gráfico de sedimentação e a variância explicada acumulada são pontos de partida para escolher a dimensão. Um limite fixo, como 80%, não é universalmente ideal
Uma direção de baixa variância ainda pode conter informação preditiva ou uma relação de hedge vinculante. Variância explicada não é igual a capacidade de prever retorno
Selecione a dimensão fora da amostra ajustada
Poucos componentes omitem estrutura, enquanto componentes demais preservam ruído amostral junto com o movimento comum persistente
Compare erro de reconstrução, validação cruzada específica da tarefa, lacunas entre autovalores e estabilidade por bootstrap de acordo com o uso pretendido
Reestime cargas e variância explicada em amostras móveis. Usar eixos da amostra completa em uma previsão histórica introduz informação futura
As finanças usam PCA para resumir movimentos comuns
Mudanças na curva de juros podem ser comprimidas em eixos semelhantes a nível, inclinação e curvatura, enquanto retornos de ações podem revelar direções amplas e específicas de grupos
Para carteiras, os eixos principais mostram se o risco está concentrado apesar de um grande número nominal de posições
Chamar um eixo estatístico de “crescimento” ou “liquidez” exige variáveis externas, raciocínio econômico e validação em outra amostra
Relate escolhas que tornam o resultado reproduzível
Divulgue variáveis, transformações, moedas, unidades, centralização, escalonamento, tratamento de valores ausentes, outliers e janela de estimação
Informe a matriz, os autovalores, a variância explicada, as cargas, a regra de pontuação e o critério de dimensão para que outro analista possa reconstruir o resultado
Mostre o desempenho fora da amostra e a estabilidade móvel. A PCA é um sistema de coordenadas estimado para os dados escolhidos, não um mapa fixo da realidade
Perguntas frequentes
PCA e análise fatorial são a mesma coisa?
Não. A PCA reexpressa a variância total, enquanto um modelo de fatores comuns separa a covariância comum da variância específica de cada variável
Toda variável deve sempre ser padronizada?
Não. A padronização controla diferenças de unidade, mas também remove diferenças potencialmente relevantes na magnitude da volatilidade
Uma inversão do sinal de uma carga significa que a estrutura mudou?
Não necessariamente. Um autovetor e seu negativo definem o mesmo eixo, então os sinais precisam ser alinhados antes de comparar janelas
Um componente com alta variância explicada é um bom sinal de negociação?
Não. A variância explicada mede movimento contemporâneo; o poder preditivo exige um teste separado fora da amostra