Teste KPSS de Estacionariedade: Hipótese Nula, Estatística e Banda

O teste de Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin costuma ser chamado de KPSS. Sua hipótese nula é oposta à dos conhecidos testes de Dickey–Fuller: a série é estacionária em torno dos termos determinísticos especificados no teste. Na formulação original, a alternativa permite um componente de passeio aleatório com variância de inovação positiva.

Uma estatística KPSS suficientemente alta é evidência contra a hipótese nula selecionada de estacionariedade em nível ou em torno de tendência. Uma estatística baixa significa que, nessa amostra e configuração, não houve evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula. Isso não prova que o processo será sempre estacionário, que sua média permanecerá estável ou que o preço voltará a um nível útil para negociar.

O guia de estacionariedade e raiz unitária apresenta os conceitos relacionados. A comparação entre ADF e Phillips–Perron explica dois testes que, por sua vez, colocam a raiz unitária na hipótese nula. São perguntas complementares, e não versões intercambiáveis de um mesmo teste.

O KPSS representa uma série observada da seguinte forma:

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

Aqui, \(d_t\) é o componente determinístico, \(r_t\) é o componente de passeio aleatório e \(\epsilon_t\) é um erro estacionário. No teste de estacionariedade em nível, \(d_t\) contém um intercepto. No teste em torno de tendência, contém um intercepto e uma tendência temporal linear.

A hipótese nula define como zero a variância da inovação do passeio aleatório: \(\sigma_u^2=0\). Sem esse componente, a série oscila em torno da constante ou tendência determinística especificada. A alternativa permite \(\sigma_u^2>0\), de modo que choques podem se acumular em uma tendência estocástica em vez de desaparecerem em torno do caminho escolhido.

Esse é o modelo mantido pelo teste, não uma afirmação de que toda alternativa seja um passeio aleatório de livro-texto. Quebras estruturais, persistência fracionária, dinâmica não linear, variância variável e termos determinísticos mal escolhidos também podem fazer o modelo nulo se ajustar mal à amostra. O teste identifica tensão com a hipótese de estacionariedade, mas não aponta um único modelo substituto.

Primeiro, regrida as observações nos termos determinísticos selecionados para o teste e chame os resíduos de \(\hat e_t\). As somas parciais acumuladas são

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

A estatística KPSS costuma ser escrita como

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

em que \(n\) é o tamanho da amostra e \(\hat{\omega}^{\,2}\) estima a variância de longo prazo dos resíduos. Resíduos com o mesmo sinal por vários períodos afastam \(S_t\) de zero. Como as somas parciais são elevadas ao quadrado, desvios persistentes pesam mais do que mudanças isoladas de sinal.

A estatística não pode ser negativa. Quanto maiores os desvios acumulados em relação à variância de longo prazo estimada, mais difícil é sustentar a hipótese nula de estacionariedade. O denominador é essencial: a dependência serial dos resíduos também afeta a variação das somas parciais, mesmo quando o processo subjacente é estacionário.

A versão em nível pergunta se a série é estacionária em torno de uma constante. A versão em torno de tendência remove primeiro um intercepto e uma tendência temporal linear e, então, testa se o componente restante é estacionário. Implementações comuns identificam esses casos como mu e tau, mas os nomes e a convenção de saída variam conforme o software.

A escolha altera tanto os resíduos quanto a distribuição de referência. Deixar de remover uma tendência de uma série estacionária em torno de tendência pode manter um padrão longo nos resíduos e elevar a estatística. Incluir uma tendência sem justificativa muda o modelo testado e pode reduzir o poder para detectar algumas alternativas. Decida com base na definição dos dados e na pergunta econômica, e informe a escolha em vez de alternar especificações até obter o resultado preferido.

Os valores críticos do KPSS vêm de distribuições assintóticas não padronizadas, com valores diferentes para os casos em nível e em torno de tendência. Não compare a estatística com limites usuais de t ou qui-quadrado nem aplique um único valor decorado a todas as especificações. Use a tabela ou a saída de software correspondente e informe o nível de significância.

Algumas implementações informam apenas um intervalo de valores-p porque comparam a estatística com uma tabela finita de valores críticos. Nesse caso, reporte o intervalo sustentado pela saída em vez de inventar casas decimais. Informe também se o teste é em nível ou em torno de tendência e a fonte dos valores críticos para que outra pessoa possa reproduzir a decisão.

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Um estimador comum da variância de longo prazo usa autocovariâncias residuais ponderadas:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

Aqui, \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) define a autocovariância amostral na defasagem \(j\), com denominador \(n\); as convenções para amostras finitas podem variar entre implementações.

Com pesos de Bartlett, \(w_j=1-j/(\ell+1)\). A banda de truncamento \(\ell\) determina quantas autocovariâncias residuais entram no cálculo e com que rapidez seus pesos diminuem. Kernels, regras de escolha da banda e convenções para amostras finitas podem variar entre implementações; informe esses detalhes para que o resultado possa ser reproduzido.

Essa banda não é o número de defasagens de diferenças acrescentadas à regressão ADF. No KPSS, ela controla a faixa de autocovariâncias incluída na estimativa da variância de longo prazo; no ADF, as diferenças defasadas entram na própria regressão. O software pode chamar as duas configurações de “lags”, então dizer apenas “lag 4” não descreve o método de forma reproduzível.

Uma banda curta demais pode deixar de fora dependência de curto prazo relevante. Uma banda muito longa pode adicionar autocovariâncias amostrais ruidosas. Qualquer escolha pode alterar a estatística, o tamanho ou o poder do teste, mas a direção do efeito depende do padrão dos resíduos. Informe o kernel e a regra de seleção e avalie se uma alternativa razoável, definida previamente, muda a interpretação.

Esse ajuste de variância de longo prazo está relacionado à estimação de covariância consistente com heterocedasticidade e autocorrelação (HAC). Isso não torna o KPSS robusto a toda forma de dependência, quebra estrutural ou especificação determinística inadequada. O guia sobre covariância de Newey–West explica melhor o papel e os limites dos estimadores HAC.

Suponha que uma regressão com tendência, aplicada a seis observações sintéticas, produza resíduos \(1,-1,0,0,-1,1\). A soma deles é zero, assim como o produto interno com uma tendência temporal linear, como se espera dos resíduos de uma regressão com tendência. As somas parciais são \(1,0,0,0,-1,0\), portanto a soma de seus quadrados é \(2\).

Para ilustrar a aritmética, use a convenção de autocovariância amostral com denominador \(n\) e uma banda de Bartlett igual a um. O termo de variância residual é \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\). A autocovariância de primeira ordem é \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\), com peso de Bartlett \(1/2\). Assim,

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

Esse cálculo com seis pontos serve apenas para demonstrar a mecânica. A amostra é pequena demais para a decisão assintótica usual do KPSS; não compare o resultado com um valor crítico publicado como se fosse uma descoberta empírica.

Executar o KPSS ao lado de um teste do tipo ADF mostra quanto a conclusão depende da hipótese nula. Leia o par como evidência sob dois modelos distintos:

Os testes podem diferir nos ajustes de defasagens, termos determinísticos, amostras e aproximações para amostras finitas. Alinhe essas escolhas quando fizer sentido e registre diferenças inevitáveis. Não transforme as quatro combinações em uma regra automática de diferenciação. Não rejeitar uma hipótese nula não significa que ela seja verdadeira.

Uma mudança única na média, uma tendência variável ou uma quebra de variância podem fazer um processo estacionário dentro de cada regime parecer não estacionário na amostra completa. Por outro lado, uma raiz próxima de um pode ser difícil de distinguir de uma raiz unitária com dados limitados. Amostras curtas, valores atípicos, caudas pesadas, ajustes não lineares e integração fracionária também podem prejudicar a aproximação de referência.

Antes de apresentar o teste, plote o nível, o ajuste determinístico escolhido e os resíduos. Se uma quebra for plausível, use um desenho que considere quebras e declare a hipótese nula, como elas são tratadas e quais valores críticos se aplicam. Informe se você pesquisou várias datas de quebra ou bandas; o menor valor-p dessa busca não é o resultado de um teste sem seleção.

Para um par ou spread proposto, o KPSS não testa se dois ativos são cointegrados. O guia de Engle–Granger apresenta um procedimento de cointegração baseado em resíduos e seu problema específico de valores críticos. O guia sobre posto de cointegração de Johansen cobre uma abordagem de sistema. O resultado do KPSS para uma série de preços não substitui nenhuma dessas análises.

Se você aplicar o KPSS a resíduos de uma razão de hedge estimada, de um modelo ARMA ou de uma data de quebra escolhida, esses resíduos vêm de uma etapa de ajuste anterior. A estimação de parâmetros e a seleção do modelo podem alterar a distribuição nula. Não presuma que os valores críticos usuais continuam válidos para todo o processo; use um teste residual calibrado para o modelo estimado ou um bootstrap que repita as etapas de estimação.

Informe a variável e a transformação, o número de observações, a hipótese nula em nível ou em torno de tendência, os termos determinísticos, o kernel da variância de longo prazo, a regra da banda, a estatística, os valores críticos ou o valor-p correspondente e o nível de significância. Só apresente uma análise de sensibilidade se justificar e reportar as alternativas com transparência; não teste muitas janelas e versões para depois escolher o resultado mais conveniente.

Para dados de mercado, informe datas da amostra, frequência, alinhamento de sessões, tratamento de valores ausentes e se a série é de preços, retornos, resíduos ou spread. Não rejeitar a hipótese nula do KPSS não mostra que um spread vai convergir em breve. Uma estratégia de reversão à média ainda exige um equilíbrio definido, avaliação fora da amostra, sinal disponível no momento da operação e custos realistas de spread, funding, empréstimo e execução.

Um teste no nível do log-preço responde a uma pergunta diferente de um teste nos retornos, que são a primeira diferença do log-preço. Diferenciar pode remover uma tendência estocástica em alguns modelos, mas também muda a variável analisada e não demonstra uma relação de longo prazo entre dois ativos. Escolha a transformação de acordo com o estimando e o modelo, e informe-a explicitamente.

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt e Shin apresentam o teste como um teste LM para saber se a variância do componente de passeio aleatório é zero em seu artigo de 199290104-Y). O artigo de Newey e West de 1987 é uma referência primária para estimação de covariância HAC semidefinida positiva. Para comparação com uma hipótese nula de raiz unitária, consulte o artigo de Dickey e Fuller de 1979.