Realized GARCH: wspólne modelowanie stóp zwrotu i miar zmienności zrealizowanej

Modele ARCH i GARCH wyznaczają zmiany wariancji na podstawie szeregu stóp zwrotu. Engle wprowadził ARCH, a Bollerslev rozwinął jego uogólnienie (Engle, 1982; Bollerslev, 198690063-1)). Pojedyncza stopa zwrotu jest zaszumioną wskazówką o skali ruchu w danym okresie: niewielka zmiana między zamknięciami nie oznacza, że sesja była spokojna, a duża stopa zwrotu nie pokazuje ścieżki, która do niej doprowadziła. Ceny intraday mogą dostarczyć odrębnej miary zrealizowanej, takiej jak wariancja zrealizowana, zawierającej więcej informacji o ruchach w trakcie sesji.

Realized GARCH włącza tę miarę do dynamiki wariancji. W podstawowej specyfikacji zarówno wariancja warunkowa, jak i miara zrealizowana z poprzedniego okresu pomagają aktualizować bieżącą wariancję warunkową. Model zawiera też równanie opisujące samą miarę zrealizowaną. To kluczowy element: równanie przedstawia jej związek z wariancją ukrytą i szokiem stóp zwrotu, zamiast pozostawiać ją jako niewyjaśnione wejście zewnętrzne.

Oryginalna praca wykazuje lepsze dopasowanie empiryczne niż GARCH wykorzystujący wyłącznie dzienne stopy zwrotu w próbie spółek Dow Jones i jednego funduszu giełdowego. To wynik dla konkretnej próby, a nie gwarancja lepszych prognoz dla każdego aktywa lub okresu. Podstawowy model oparty tylko na stopach zwrotu opisuje przewodnik po GARCH.

Niech \(r_t\) oznacza stopę zwrotu w okresie \(t\), po odjęciu średniej warunkowej, jeśli model ją uwzględnia. Niech \(h_t = \operatorname{Var}(r_t \mid \mathcal{F}_{t-1})\) będzie wariancją warunkową znaną na początku tego okresu, a \(x_t\) dodatnią miarą zrealizowaną obserwowaną w trakcie lub na końcu okresu \(t\). Przykładem \(x_t\) może być suma kwadratów intradayowych stóp zwrotu wyrażona w tych samych jednostkach kwadratu stopy zwrotu co \(h_t\).

Kolejność w czasie ma znaczenie. Prognoza \(h_t\) wykorzystuje informacje dostępne przed okresem \(t\). Po zaobserwowaniu \(r_t\) i \(x_t\) model aktualizuje prognozę kolejnej wariancji, \(h_{t+1}\). Nie używaj \(x_t\), aby twierdzić, że prognoza \(h_t\) była dostępna przed rozpoczęciem okresu \(t\).

Realized GARCH wspólnie modeluje dynamikę stóp zwrotu i mierzonego wskaźnika zmienności. Nie jest tym samym co regresja MIDAS, która wykorzystuje ustrukturyzowaną funkcję wag opóźnień do łączenia danych o różnej częstotliwości. Oba podejścia mogą używać danych intraday, ale przed porównaniem należy wskazać ich równania, cel prognozy i moment dostępności informacji.

Typowy model Realized GARCH\(1,1\) składa się z równania stóp zwrotu, równania wariancji i równania pomiarowego:

rₜ = √hₜ zₜ log hₜ = ω + β log hₜ₋₁ + γ log xₜ₋₁ log xₜ = ξ + φ log hₜ + τ(zₜ) + uₜ

Tutaj \(z_t\) jest standaryzowaną innowacją stóp zwrotu, \(u_t\) błędem pomiaru, a \(\tau(z_t)\) pozwala, by obserwowana miara zależała od szoku stóp zwrotu. Pierwsze równanie skaluje szok o wariancji równej jeden przez warunkowe odchylenie standardowe. Drugie aktualizuje logarytm wariancji na podstawie poprzednich logarytmów wariancji i miary zrealizowanej. Trzecie łączy logarytm obserwowanej miary z bieżącym logarytmem wariancji ukrytej, szokiem stóp zwrotu i innowacją pomiarową.

Postać logarytmiczna pozwala przedstawiać dodatnie \(h_t\) i \(x_t\) na nieograniczonej skali logarytmicznej; eksponenta prognozy wariancji daje wartość dodatnią. Wyraz wolny \(\omega\) jest więc wyrazem wolnym równania log-wariancji, a nie samą wariancją długookresową. W podstawowym modelu parametry szacuje się łącznie, zamiast interpretować je osobno jako miary trwałości.

Podstawiając równanie pomiarowe z chwili \(t−1\) do aktualizacji wariancji, widać, jak miara zrealizowana sprzęga się zwrotnie z logarytmem wariancji:

log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ) log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁

W tej specyfikacji \(1,1\) trwałość log-wariancji opisuje \(β + γφ\), a nie samo \(β\). Relacja pomiarowa wnosi sprzężenie zwrotne, ponieważ wyższa wariancja z poprzedniego okresu wiąże się z wyższą miarą zrealizowaną, która trafia do następnej aktualizacji. Ta zależność algebraiczna pomaga interpretować oszacowane współczynniki, ale nie stanowi dowodu stacjonarności każdej odmiany Realized GARCH; wnioskowanie musi uwzględniać ograniczenia właściwe dla faktycznie estymowanej specyfikacji.

Hansen, Huang i Shek przedstawiają liniową i log-liniową postać tego modelu łącznego oraz jego trzy równania (2012). Dokładne opóźnienia, miara zrealizowana, średnia warunkowa i założenia dotyczące innowacji powinny odpowiadać estymowanej specyfikacji.

Równanie pomiarowe pomaga wyjaśnić, dlaczego miara zrealizowana może zmieniać się wraz z wariancją ukrytą i szokiem stóp zwrotu. Często stosowana funkcja efektu dźwigni ma postać

τ(zₜ) = τ₁ zₜ + τ₂ (zₜ² − 1)

Składnik liniowy i scentrowany składnik kwadratowy mogą opisywać asymetryczny związek między szokami stóp zwrotu a miarą zrealizowaną. Kształt zależy od współczynników; sam wzór nie dowodzi, że ujemne stopy zwrotu powodują przyszłą zmienność.

W podstawowej wersji z pracy \(z_t\) i \(u_t\) są osobnymi innowacjami, \(z_t\) jest standaryzowane, a innowacje zakłada się jako wzajemnie niezależne. To wygodne statystycznie założenie, a nie dowód, że stopy zwrotu lub błędy pomiarowe w każdej próbie mają określony rozkład. Do estymacji można użyć gaussowskiej funkcji quasi-wiarygodności bez uznawania normalności za fakt.

To równanie odróżnia też Realized GARCH od GARCH-X. GARCH-X może uwzględniać obserwowaną miarę w aktualizacji wariancji, ale nie określać jej własnej dynamiki. Realized GARCH modeluje również miarę zrealizowaną, co pozwala prognozować na więcej niż jeden krok, gdy przyszłe miary nie są jeszcze znane. Model opisuje wspólną relację statystyczną; nie czyni z miary zrealizowanej zewnętrznej przyczyny.

Załóżmy, że oszacowany model log-liniowy ma współczynniki \(\omega=-0.7824\), \(\beta=0.75\) i \(\gamma=0.15\). Na koniec okresu \(t\) bieżąca wariancja warunkowa wynosi \(h_t=0.0004\), a zaobserwowana miara zrealizowana \(x_t=0.0009\). Wszystkie wartości są hipotetyczne, dodatnie i wyrażone w tej samej dziennej skali wariancji stóp zwrotu zapisanych jako ułamki dziesiętne.

Użyj równania wariancji, aby zaktualizować prognozę dla okresu \(t+1\):

log hₜ₊₁ = −0.7824 + 0.75 log(0.0004) + 0.15 log(0.0009) ≈ −7.7024 hₜ₊₁ = exp(−7.7024) ≈ 0.0004517

Implikowane warunkowe odchylenie standardowe wynosi \(\sqrt{0.0004517} \approx 0.02125\), czyli około 2,13% dla wskazanego okresu stopy zwrotu. Miara zrealizowana wpływa na kolejną prognozę wariancji przez oszacowany współczynnik. To obliczenie nie aktualizuje współczynników ani nie wykorzystuje równania pomiarowego do stwierdzenia, że \(x_t\) jest równe \(h_t\).

Przykład pokazuje wyłącznie rachunek. Nie uwzględnia niepewności parametrów, błędu estymacji ani obserwacji poza próbą, więc nie mówi nic o istotności statystycznej ani przewadze nad modelem bazowym. <!-- learn:illustration -->

Estymacja wykorzystuje dopasowane w czasie obserwacje stóp zwrotu i miary zrealizowanej. Funkcja wiarygodności lub quasi-wiarygodności łączy równanie stóp zwrotu z równaniem pomiarowym, więc zmiana założeń o rozkładach innowacji albo strukturze zależności może zmienić oszacowane parametry. Należy podać metodę estymacji, założenia o innowacjach, sposób traktowania średniej warunkowej, miarę zrealizowaną i reguły czyszczenia danych, a nie prezentować samej rekurencji wariancji bez modelu pomiarowego.

Po zamknięciu każdego okresu model może wykorzystać nową stopę zwrotu i miarę zrealizowaną do aktualizacji stanu oraz utworzenia prognozy wariancji na kolejny okres. Przy prognozie wielokrokowej przyszłe wartości \(x\) są nieznane. Pełna specyfikacja Realized GARCH określa dynamikę miary zrealizowanej, więc prognoza musi uwzględniać jej przyszły rozkład lub wartość oczekiwaną, zamiast wstawiać przyszłe wartości zaobserwowane w próbie testowej.

Ocena wymaga celu odpowiadającego prognozie, na przykład wariancji warunkowej stóp zwrotu w kolejnym okresie lub miary zrealizowanej dla tego samego przedziału. Dopasuj cel, wskaźnik zastępczy, jednostki, horyzont i daty oceny. Wiarygodność w próbie porównuje dopasowanie modeli, ale nie zastępuje chronologicznego testu prognoz.

Zapisuj każdą prognozę w chwili, w której byłaby dostępna, ponownie estymuj model wyłącznie na podstawie informacji dostępnych w danym momencie i porównuj wyniki z wcześniej wybranym modelem bazowym na wspólnej próbie. Wybierz funkcję straty przed obejrzeniem wyników i podaj sparowaną różnicę strat oraz ocenę niepewności uwzględniającą zależność, gdy jest to potrzebne. Przewodnik po QLIKE i błędzie kwadratowym wyjaśnia, jak właściwości wskaźnika zastępczego i wybór straty wpływają na porównanie.

Przydatność modelu zależy od użytej miary i przedziału czasu. Miara zrealizowana z cen intraday może pomijać ruchy nocne, nawet jeśli \(r_t\) jest stopą zwrotu między zamknięciami. Oryginalna praca wyraźnie dopuszcza okno miary krótsze od przedziału stopy zwrotu; równanie pomiarowe nie musi narzucać, że \(x_t\) jest nieobciążonym estymatorem \(h_t\). Ta elastyczność nie oznacza, że różne okna są obojętne: interpretacja \(\phi\), cel prognozy i porównanie nadal zależą od przedziałów.

W pracy podano konkretny przykład: miara zbudowana na podstawie około \(6.5\) godziny handlu jest łączona z wariancją warunkową 24-godzinnej stopy zwrotu między zamknięciami. W takim układzie autorzy oczekują \(φ < 1\), ponieważ miara intraday obejmuje tylko część pełnego przedziału stopy zwrotu. Oszacowane \(φ\) zależy więc od miary, sesji i definicji stopy zwrotu; nie jest uniwersalnym współczynnikiem kalibracji, który można bez zmian przenieść na inne aktywo lub schemat próbkowania.

Dane wysokiej częstotliwości mogą zawierać odbicie bid–ask, handel asynchroniczny, dyskretyzację cen, nieaktualne kwotowania i błędy zapisu. Przewodnik po dwuskalowej zmienności zrealizowanej opisuje estymator dla sytuacji z szumem mikrostruktury. Hansen i Lunde pokazują, że szum mikrostruktury rynkowej może istotnie wpływać na pomiar wariancji zrealizowanej (2006). Inny wskaźnik zastępczy może zmienić dopasowanie, prognozy i estymację efektu dźwigni.

Ponieważ model log-liniowy wykorzystuje \(\log x_t\), wybrana miara musi być ściśle dodatnia. Jeśli dane mogą przyjmować wartości zerowe lub ujemne, transformacja, filtr lub dolne ograniczenie zmienia model i wymaga uzasadnienia oraz ujawnienia. Sprawdź, czy miara uwzględnia skoki, jaką sesję obejmuje, jak obsługuje brakujące słupki i czy jej jednostki odpowiadają wariancji stóp zwrotu. Więcej obserwacji intraday nie usuwa automatycznie błędu pomiaru.

Zwykły GARCH wykorzystuje opóźnione stopy zwrotu lub kwadraty innowacji oraz opóźnioną wariancję. Realized GARCH dodaje miarę zrealizowaną do dynamiki wariancji i modeluje ją równaniem powiązanym z wariancją ukrytą oraz szokami stóp zwrotu. GARCH-X zwykle traktuje dodatkową miarę jako zewnętrzne wejście. Regresja MIDAS używa parametrycznej krzywej wag opóźnień dla różnych częstotliwości; GARCH-MIDAS to pokrewna hybryda, której równania trzeba analizować osobno. Te nazwy nie są zamienne.

Model prognozuje wariancję warunkową lub miarę zrealizowaną zdefiniowaną przy określonych założeniach. Nie prognozuje kierunku stóp zwrotu, nie dowodzi, że miara intraday powoduje jutrzejszą wariancję, ani nie potwierdza rentowności strategii. Dobra wiarygodność w próbie nie gwarantuje lepszych prognoz w przyszłości. Wnioski dotyczące handlu wymagają odrębnie określonego sygnału i oceny po uwzględnieniu spreadu, opłat, wpływu na rynek, finansowania i limitów ryzyka.

Aby raport dało się odtworzyć, podaj aktywo i próbę, definicję stopy zwrotu i średnią warunkową, konstrukcję miary zrealizowanej i okno sesji, równania modelu i rzędy opóźnień, założenia o innowacjach, okno estymacji, moment i horyzont prognozy, model bazowy, funkcję straty oraz metodę oceny niepewności. Opisz wrażliwość na wiarygodne alternatywne miary zrealizowanej i ujawnij wykluczenia danych lub korekty zapewniające dodatniość.