QLIKE a błąd kwadratowy w prognozach zmienności: zaszumione proxy

Model zmienności prognozuje, jak duży może być rozrzut przyszłych stóp zwrotu, a nie czy stopa zwrotu będzie dodatnia czy ujemna. Aby go ocenić, najpierw określ cel, na przykład jutrzejszą wariancję warunkową stopy zwrotu mierzoną w kwadratach punktów bazowych. Prognoza odchylenia standardowego, prognoza wariancji i śróddzienny szacunek wariancji zrealizowanej są powiązanymi wielkościami, ale nie są zamienne bez wskazania transformacji i horyzontu.

To pytanie jest niezależne od sposobu, w jaki model tworzy prognozę. Przewodnik po GARCH opisuje jeden ze sposobów aktualizacji wariancji warunkowej na podstawie wcześniejszych stóp zwrotu. Ten przewodnik zaczyna się na etapie, gdy co najmniej dwa modele mają już prognozy, i omawia, jak ocenić je względem niedoskonałej miary późniejszej wariancji.

„Najlepsza prognoza” nie ma jednego znaczenia, dopóki nie określi się celu, próby oceny i funkcji straty. Model może zająć pierwsze miejsce według jednej funkcji straty, a drugie według innej, ponieważ każda z nich inaczej wycenia błędy prognozy

Niech vₜ oznacza nieobserwowaną wariancję warunkową docelowej stopy zwrotu, hₜ prognozę utworzoną z informacji dostępnych przed tą stopą zwrotu, a xₜ zaobserwowane proxy używane do oceny. Częstym proxy jest kwadrat stopy zwrotu, ale jest on warunkowo nieobciążony dla wariancji tylko wtedy, gdy warunkowa średnia stopy zwrotu wynosi zero. Gdy warunkowa średnia nie jest zerowa, surowy kwadrat stopy zwrotu szacuje warunkowy moment drugiego rzędu, a nie wariancję warunkową. Proxy można też utworzyć ze stóp zwrotu po odjęciu warunkowej średniej. Wariancja zrealizowana obliczona na podstawie śróddziennych stóp zwrotu może lepiej mierzyć zmienność w trakcie sesji, ale nadal dotyczy określonego przedziału i zależy od zasad próbkowania oraz danych cenowych.

Odjęcie średniej nie usuwa automatycznie obciążenia proxy, gdy średnia warunkowa jest estymowana. Jeśli mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁], hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁), a estymowana średnia m̂ₜ zostaje ustalona na podstawie informacji dostępnych w chwili prognozy, to E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)². Każdy przewidywalny błąd estymacji średniej dodaje więc do proxy składnik nieujemny. Przed powołaniem się na wynik o warunkowej nieobciążoności określ, jak estymowana jest średnia i czy proxy ma mierzyć wariancję, czy moment drugi.

Dopasuj xₜ i hₜ do tego samego aktywa, definicji stopy zwrotu, okna czasowego, horyzontu i jednostek. Jeśli xₜ jest wyrażone w bp², hₜ również musi być wyrażone w bp², a strata oparta na błędzie kwadratowym będzie wtedy w bp⁴. Prognozy dziennej od zamknięcia do zamknięcia nie należy oceniać względem miary zrealizowanej pomijającej noc, chyba że właśnie taki jest zamierzony cel.

Zachowaj wartości proxy i prognozy wszystkich modeli dla tych samych momentów oceny. Jeśli model nie ma prognozy dla danej daty, z góry określ wspólną próbę albo uzasadnioną regułę obsługi brakujących danych. Porównanie średnich z różnych dat może pomieszać wyniki modelu z odmiennymi warunkami rynkowymi, z którymi mierzył się każdy model

Dla nieujemnego proxy wariancji xₜ i dodatniej prognozy wariancji hₜ strata oparta na błędzie kwadratowym wynosi

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

Strata QLIKE wynosi

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

Niższe wyniki oznaczają lepsze dopasowanie. Gdy xₜ jest dodatnie, QLIKE często zapisuje się też w równoważnej postaci ilorazowej xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1. Wzory różnią się o składnik zależny od zaobserwowanego proxy, ale niezależny od prognozy, więc w tej samej próbie dają identyczny ranking. Postać log(hₜ) pozostaje określona również wtedy, gdy xₜ wynosi zero, pod warunkiem że hₜ jest dodatnie. Patton definiuje te funkcje straty dla wariancji i analizuje ich własności przy niedoskonałych proxy (Patton, 2011).

QLIKE odpowiada gaussowskiemu wynikowi quasi-wiarygodności dla prognoz wariancji (Hansen i Lunde, 2005). Ten związek nie dowodzi, że stopy zwrotu mają rozkład normalny, a niski wynik nie potwierdza założeń rozkładowych modelu. Błąd kwadratowy mierzy natomiast bezwzględną różnicę między proxy a prognozą, a następnie podnosi ją do kwadratu. Wybierz miarę zgodną z celem porównania i założeniami dotyczącymi proxy

Strata oparta na błędzie kwadratowym jest wyrażona w jednostkach wariancji do kwadratu i szybko rośnie, gdy proxy i prognoza mocno się różnią. W rezultacie kilka bardzo wysokich wartości proxy może zdominować średnią. Może to być właściwe, gdy duże bezwzględne błędy w jednostkach wariancji powinny mieć znacznie większą wagę, ale wynik staje się wrażliwy na obserwacje skrajne.

Pomnożenie xₜ i hₜ przez tę samą dodatnią stałą przeliczeniową c dodaje log(c) do log(hₜ) + xₜ/hₜ. Ponieważ ten składnik jest wspólny dla prognoz ocenianych na tej samej próbie proxy, rankingi się nie zmieniają; bezwzględna wartość składnika logarytmicznego zależy od wybranej jednostki. QLIKE reaguje na stosunek prognozy do proxy przez xₜ/hₜ oraz na skalę hₜ przez log(hₜ). Gdy prognoza jest dużo niższa od dużej wartości proxy, składnik ilorazowy szybko rośnie. Koszt przeszacowania również rośnie wraz z log(hₜ), ale wolniej przy podobnych błędach proporcjonalnych. QLIKE nie jest odporną na wartości odstające funkcją straty: skrajna wartość proxy nadal wpływa na wynik przez xₜ/hₜ.

Żadna z tych miar nie jest najlepsza w każdej decyzji. Błąd kwadratowy mocniej waży duże bezwzględne odchylenia w jednostkach wariancji, a QLIKE inaczej traktuje błędy względne. Wynik Pattona dotyczący odporności na proxy nie oznacza, że obie funkcje straty szeregują prognozy tak samo ani że któraś z nich jest niewrażliwa na wartości odstające

Załóżmy, że zaobserwowane proxy wariancji wynoszą x = [1, 4] bp². Model A prognozuje hᴬ = [1, 1] bp², a model B hᴮ = [4, 2] bp². Wartości są hipotetyczne i dobrano je tak, aby pokazać, jak funkcja straty może zmienić kolejność modeli.

MSE wskazuje model A: jego średni wynik wynosi 4,5 bp⁴ wobec 6,5 bp⁴ dla modelu B. QLIKE wskazuje model B: jego średni wynik to około 2,165 wobec 2,5 dla A. Te dwa wiersze pokazują wyłącznie rachunek. To zbyt mało, by wiarygodnie oszacować niepewność, udowodnić przewagę prognozy albo wyciągać wnioski o strategii handlowej <!-- learn:illustration -->

Proxy zmienności może zawierać szum i jednocześnie być warunkowo nieobciążone. Załóżmy, że E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ, gdzie Fₜ₋₁ oznacza informację dostępną w chwili tworzenia prognozy. Oczekiwana strata kwadratowa prognozy hₜ opartej na tej informacji wynosi

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

Składnik wariancji nie zależy od ocenianej prognozy. Podnosi oczekiwane MSE każdej prognozy o tę samą wartość, więc znika przy porównaniu oczekiwanych strat. W przypadku QLIKE warunkowa nieobciążoność daje

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

To wynik, który otrzymano by po zastąpieniu proxy ukrytą wariancją. W tych warunkach obie funkcje straty zachowują oczekiwany ranking konkurencyjnych prognoz wariancji względem ukrytego celu. Patton (2011) nazywa tę własność odpornością rankingu na proxy; dotyczy ona szumu w oczekiwanych rankingach, a nie odporności na wartości odstające.

Wynik zakłada tę samą warunkową informację, warunkowo nieobciążone proxy, dodatnie prognozy dla QLIKE i skończone straty oczekiwane. Nie oznacza, że MSE i QLIKE uszeregują modele identycznie. W przykładzie dla dwóch okresów obie funkcje straty używają tych samych zaszumionych obserwacji, ale inaczej ważą błędy prognozy

Niezmienniczość oczekiwanego rankingu nie gwarantuje, że każda zrealizowana próba da ranking zgodny z rankingiem opartym na ukrytej wariancji. Szum proxy zwiększa zmienność zaobserwowanych strat i może obniżać moc porównania prognoz. Krótki okres oceny może zmienić kolejność modeli tylko dlatego, że kilka wartości proxy okazało się przypadkowo wyjątkowo wysokich lub niskich, mimo że warunkowa nieobciążoność zachodzi średnio.

Gwarancja przestaje obowiązywać również wtedy, gdy proxy jest warunkowo obciążone względem określonego celu. Wariancja zrealizowana o wysokiej częstotliwości może zależeć od bid-ask bounce, nieaktualnych lub asynchronicznych kwotowań, częstotliwości próbkowania i pominiętych nocnych stóp zwrotu. Proxy mierzące śróddzienną wariancję całkową może nie być nieobciążoną miarą wariancji warunkowej od zamknięcia do zamknięcia. Przewodnik po obliczaniu zmienności zrealizowanej omawia wybory konstrukcyjne, a przewodnik po wariancji zrealizowanej w dwóch skalach przedstawia jeden estymator zaprojektowany z myślą o uwzględnieniu części szumu mikrostruktury w danych o wysokiej częstotliwości. Hansen i Lunde (2006) dokumentują wpływ szumu mikrostruktury rynku na pomiar wariancji zrealizowanej (DOI Hansen i Lunde, 2006).

„Odporność” ma tu wąskie znaczenie: gdy proxy jest warunkowo nieobciążone, oczekiwany ranking zostaje zachowany. Nie oznacza to, że wynik w próbie ignoruje wartości odstające, że każda miara zmienności zrealizowanej jest nieobciążona ani że porównanie jest chronione przed niedopasowaniem celu. Określ, co mierzy proxy i jakie założenia wiążą je z vₜ

Dla dwóch prognoz hᴬₜ i hᴮₜ ustalonych w tym samym punkcie prognozy oczekiwana różnica MSE wynosi E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)². Przy tym samym warunku dotyczącym proxy oczekiwana różnica QLIKE wynosi log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ. Wyrażenia te pokazują, co usuwa odporność rankingu na proxy: dodatkowy szum w oczekiwanym wyniku proxy. Porównania prognoz nadal się różnią, ponieważ MSE i QLIKE przypisują błędom różne koszty.

Po wyborze miary oblicz sparowaną różnicę strat dla każdego wspólnego punktu prognozy. Przy dₜ = L_A,ₜ − L_B średnia dodatnia przemawia za B, ponieważ jego strata jest niższa. Test Diebolda–Mariano ocenia, czy oczekiwana różnica wynosi zero, korzystając z szeregu czasowego tych sparowanych różnic; nie wybiera między QLIKE i MSE ani nie określa, który cel powinien być ważny. Przewodnik Diebolda–Mariano omawia szersze ramy wnioskowania.

Jeśli horyzonty wielookresowych prognoz nakładają się albo różnice wyników są serialnie skorelowane z innych powodów, użyj błędu standardowego uwzględniającego zależność, na przykład odpowiedniego estymatora HAC. Newey i West (1987) przedstawili dodatnio półokreślony estymator macierzy kowariancji HAC (Newey–West, 1987). Podaj horyzont, punkty oceny, znak różnicy strat, metodę kowariancji oraz, gdy ma to zastosowanie, jądro i szerokość pasma. Niska wartość p w teście nie naprawia obciążonego proxy ani proxy niedopasowanego do celu

Zastosuj chronologiczny schemat out-of-sample i zapisuj prognozy, które każdy model rzeczywiście wygenerowałby w każdym punkcie prognozy. Ustal cel, konstrukcję proxy, horyzont, jednostkę, wspólną próbę i funkcję straty przed sprawdzeniem, który model uzyskał lepszy wynik. Zapisz okna estymacji, zasady ponownej estymacji, brakujące obserwacje oraz to, czy okres oceny był wielokrotnie wykorzystywany do dostrajania modeli. Jeśli porównujesz MSE i QLIKE, ale raportujesz tylko zwycięzcę, ujawnij ten wybór zamiast przedstawiać go jako jeden wcześniej zaplanowany test.

Podaj średnią stratę każdego modelu, różnicę sparowaną, liczebność próby, definicję proxy i metodę wnioskowania. QLIKE wymaga hₜ > 0; ewentualny próg prognozy określ przed oceną, ponieważ może zmienić wyniki. Sprawdź wrażliwość na uzasadnione wybory proxy i próbkowania, a zarazem zaznacz, że testowanie wielu wariantów samo tworzy problem selekcji.

Niższa strata zmienności mierzy wynik według wybranej funkcji straty i proxy. Nie dowodzi, że predyktor powoduje zmienność, że stopy zwrotu mają rozkład normalny ani że strategia oparta na prognozie będzie zyskowna po uwzględnieniu spreadów, opłat, poślizgu, finansowania i ograniczeń ryzyka. Umiejętność prognozowania i wyniki handlowe oceniaj jako odrębne twierdzenia