Stopa zwrotu arytmetyczna a geometryczna: dlaczego średnia 10% nie oznacza wzrostu o 10%

Używaj kolejnych okresów o równej długości dla tej samej inwestycji lub portfela. Pracuj w jednej walucie, z dodatnią wartością początkową i bez zewnętrznych przepływów pieniężnych. Określ, czy dochód jest reinwestowany i czy stopy zwrotu uwzględniają koszty

Zapisz stopę zwrotu okresu jako liczbę dziesiętną r: 40% staje się 0.40, a strata 20% staje się −0.20. Jej współczynnik wzrostu to 1 + r, a nie samo r

Średnia arytmetyczna = (r1 + r2 + ... + rn) ÷ n. Opisuje średnią zaobserwowaną stopę zwrotu z pojedynczego okresu. Nie odtwarza końcowego salda rachunku, na którym kapitał był stale zainwestowany

Dla kolejnych okresów pomnóż współczynniki wzrostu: skumulowana stopa zwrotu = (1 + r1) × (1 + r2) × ... × (1 + rn) − 1

Zachowaj spójność między stopą zwrotu cenową i całkowitą przez całą serię. Przejście z jednej na drugą w połowie tworzy inne zadanie niż wybór średniej

Rozważ dwa pełne lata i 10,000 jednostek dowolnej niezmiennej waluty. Hipotetyczne stopy zwrotu wynoszą +40% w pierwszym roku i −20% w drugim. Nie ma opłat, wypłat, wpłat ani wypłat

Kapitalizacja średniej arytmetycznej dałaby natomiast 10,000 × 1.10 × 1.10 = 12,100. Te dodatkowe 900 nigdy nie pojawiło się na tym rachunku; należy do innej ścieżki zwrotu

To oryginalny przykład arytmetyczny, a nie test historyczny, wynik bieżącej inwestycji ani prognoza. Symbol waluty nie zmieniłby wartości procentowych

• Początek: 10,000
• Po pierwszym roku: 10,000 × 1.40 = 14,000
• Po drugim roku: 14,000 × 0.80 = 11,200
• Średnia arytmetyczna: (40% − 20%) ÷ 2 = 10% rocznie
• Skumulowana stopa zwrotu: 11,200 ÷ 10,000 − 1 = 12% przez dwa lata

Geometryczna stopa zwrotu to stała stopa dla okresu g, która odtwarza rzeczywisty współczynnik wzrostu: (1 + g)^n = (1 + r1) × ... × (1 + rn)

Zatem g = [(1 + r1) × ... × (1 + rn)]^(1/n) − 1. Oblicz n-ty pierwiastek z iloczynu współczynników wzrostu, a nie z wartości procentowych stóp zwrotu

Dla przykładu dwuletniego g = (1.12)^(1/2) − 1 ≈ 5.8301% rocznie. Użycie niezaokrąglonej stopy daje 10,000 × (1 + g)^2 = 11,200

Gdy okresy są liczone w latach, ta geometryczna stopa zwrotu jest równa skumulowanej rocznej stopie wzrostu, czyli CAGR. Bez zewnętrznych przepływów CAGR = (wartość końcowa ÷ wartość początkowa)^(1/t) − 1, gdzie t oznacza liczbę minionych lat

W osobnym przykładzie 10,000 rośnie do 15,000 w ciągu pięciu lat. Łączny zysk to 50%, ale CAGR wynosi (1.5)^(1/5) − 1 ≈ 8.45%, a nie 50% ÷ 5 = 10%

Wyjaśnienie rocznej stopy zwrotu FINRA również odróżnia kapitalizację roczną od dzielenia łącznego zysku przez liczbę lat

Dwa lata z wynikami +10% i +10% mają tę samą średnią arytmetyczną co +40% i −20%. Mimo to 10,000 rośnie do 12,100 w pierwszym przypadku, a do 11,200 w drugim

Dla dodatnich współczynników wzrostu średnia geometryczna nie przewyższa arytmetycznej. Są równe, gdy stopa zwrotu w każdym okresie jest taka sama. Stosuj to twierdzenie do tych samych obserwacji, a nie do niepowiązanych funduszy

Różnica nie jest dodatkową prowizją do odjęcia od salda. Skumulowana wartość końcowa już uwzględnia stopy zwrotu. Porównanie nie dowodzi też, że inwestycja o niższej zmienności musi osiągać lepszy wynik od innej

Omówienie obu średnich przez CFA Institute wyjaśnia, dlaczego kapitalizacja jest iloczynem, a nie sumą

Zmiana kolejności tej ustalonej pary stóp zwrotu nie zmienia iloczynu, gdy nie ma przepływów pieniężnych. Może jednak zmienić ścieżkę i obserwowane obsunięcia

Średnia geometryczna z miesięcznych obserwacji jest stopą miesięczną. Jeśli każdy z dwunastu kolejnych miesięcy przynosi dokładnie 1%, roczny wzrost wynosi (1.01)^12 − 1 ≈ 12.68%, a nie 12%

Ten przykład określa wszystkie dwanaście miesięcy. Annualizacja pojedynczego zaobserwowanego miesiąca z wynikiem 1% opisywałaby hipotetyczne powtórzenie, a nie zrealizowany wynik roku ani prognozę

Dla nierównych odstępów obserwacji średnia geometryczna na obserwację nie jest automatycznie stopą roczną. Użyj rzeczywistej liczby minionych lat dla poprawnego CAGR między punktami końcowymi i określ konwencję liczenia dni dla częściowych lat

Wartość annualizowana wygładza punkty końcowe. Nie oznacza, że rachunek zarabiał taką stopę w każdym roku ani że uniknął dużych strat po drodze

Załóż, że 100 jest zainwestowane w aktywo A, a 900 w aktywo B w tym samym okresie. A zyskuje 50%, a B traci 10%. Ich wartości końcowe to 150 i 810, razem 960

Stopa zwrotu portfela wynosi (960 − 1,000) ÷ 1,000 = −4%. Równoważnie wagi początkowe dają 0.10 × 50% + 0.90 × (−10%) = −4%

Nieważona średnia +50% i −10% to +20%, co ignoruje alokację. Pomnożenie 1.50 przez 0.90 również byłoby tu błędne: pozycje współistnieją, zamiast reprezentować dwa okresy tego samego kapitału

Zewnętrzne wpłaty i wypłaty tworzą kolejną granicę. Saldo rosnące z 10,000 do 15,000 po wpłacie 5,000 nie musi oznaczać 50% zysku z inwestycji

Metodyka przepływów pieniężnych GIPS odróżnia wyniki ważone czasem od stóp zwrotu uwzględniających moment i wielkość przepływów pieniężnych

Procentowy zysk z niewielkiej premii opcyjnej nie jest tym samym co procentowy zysk z całego rachunku. Różne rozmiary transakcji, nakładające się pozycje i bezczynna gotówka uniemożliwiają bezkrytyczne mnożenie stóp zwrotu z poziomu transakcji

Przewodnik OIC po dźwigni wyjaśnia, dlaczego premie opcyjne mogą pokazywać zwielokrotnione procentowe zyski i straty

W przypadku futures wniesiony depozyt zabezpieczający jest zabezpieczeniem, a nie ceną zakupu ekspozycji. Zmiana mianownika nie tworzy nowej stopy zwrotu z aktywa bazowego

Wyjaśnienie depozytu zabezpieczającego CME określa, co reprezentują te środki

Do porównania transakcji używaj mianowników stopy zwrotu futures, a do kapitalizacji portfela spójnych wycen całego rachunku. Uwzględnij otwarte pozycje i policz każdy koszt tylko raz

Zacznij od określenia pytania: średnia obserwacji, wzrost jednej inwestycji czy stopa zwrotu z portfela jednoczesnych pozycji. Każde z tych pytań wymaga innych obliczeń

• Zapisz daty, długości okresów, walutę oraz wartości początkowe i końcowe
• Zidentyfikuj dochód, reinwestycję, opłaty oraz zewnętrzne wpłaty i wypłaty
• Odtwórz wartość końcową z kolejnych współczynników wzrostu przed annualizacją
• Oddzielnie oznacz średnią arytmetyczną, skumulowaną stopę zwrotu, geometryczną stopę za okres i CAGR

Wzory dla dodatnich współczynników zakładają, że każda stopa zwrotu przekracza −100%. Przy całkowitej stracie nie pozostaje kapitał do kapitalizacji. Ujemny kapitał własny rachunku wymaga analizy przepływów pieniężnych i zobowiązań, a nie zwykłego porównania CAGR