Rekenkundig versus geometrisch rendement: waarom 10% gemiddeld geen 10% groei is

Gebruik opeenvolgende perioden van gelijke lengte voor dezelfde belegging of portefeuille. Werk in één valuta, met een positieve beginwaarde en zonder externe kasstromen. Vermeld of inkomsten worden herbelegd en of rendementen kosten bevatten

Schrijf elk rendement per periode als een decimaal r: 40% wordt 0.40 en een verlies van 20% wordt −0.20. De groeifactor is 1 + r, niet r zelf

Rekenkundig gemiddelde = (r1 + r2 + ... + rn) ÷ n. Dit beschrijft het gemiddelde waargenomen rendement per periode. Het reconstrueert niet het eindsaldo van een rekening die voortdurend belegd is

Vermenigvuldig voor opeenvolgende perioden de groeifactoren: cumulatief rendement = (1 + r1) × (1 + r2) × ... × (1 + rn) − 1

Houd koersrendement en totaalrendement overal consistent. Halverwege een reeks tussen beide wisselen creëert een ander probleem dan een gemiddelde kiezen

Neem twee volledige jaren en 10,000 eenheden in dezelfde ongewijzigde valuta. De hypothetische rendementen zijn +40% in jaar één en −20% in jaar twee. Er zijn geen kosten, uitkeringen, stortingen of opnames

Samengestelde toepassing van het rekenkundige gemiddelde zou in plaats daarvan 10,000 × 1.10 × 1.10 = 12,100 opleveren. Die extra 900 is in deze rekening nooit ontstaan; ze hoort bij een ander rendementspad

Het voorbeeld is een originele rekenkundige illustratie, geen backtest, werkelijk beleggingsresultaat of voorspelling. Het valutasymbool zou de percentages niet veranderen

• Begin: 10,000
• Na jaar één: 10,000 × 1.40 = 14,000
• Na jaar twee: 14,000 × 0.80 = 11,200
• Rekenkundig gemiddelde: (40% − 20%) ÷ 2 = 10% per jaar
• Cumulatief rendement: 11,200 ÷ 10,000 − 1 = 12% over twee jaar

Het geometrische rendement is de constante snelheid g per periode die de werkelijke groeifactor reproduceert: (1 + g)^n = (1 + r1) × ... × (1 + rn)

Dus g = [(1 + r1) × ... × (1 + rn)]^(1/n) − 1. Neem de n-de wortel van het product van de groeifactoren, niet van de rendementspercentages

Voor het voorbeeld van twee jaar is g = (1.12)^(1/2) − 1 ≈ 5.8301% per jaar. Met het niet-afgeronde percentage geldt 10,000 × (1 + g)^2 = 11,200

Wanneer de perioden jaren zijn, is dit geometrische rendement gelijk aan de samengestelde jaarlijkse groeivoet, oftewel CAGR. Zonder externe kasstromen geldt CAGR = (eindwaarde ÷ beginwaarde)^(1/t) − 1, waarbij t het aantal verstreken jaren is

Een afzonderlijk voorbeeld groeit in vijf jaar van 10,000 naar 15,000. De totale winst is 50%, maar CAGR is (1.5)^(1/5) − 1 ≈ 8.45%, niet 50% ÷ 5 = 10%

De uitleg van FINRA over rendement op jaarbasis maakt ook onderscheid tussen jaarlijkse samengestelde groei en het delen van een totale winst door het aantal jaren

Twee jaren met +10% en +10% hebben hetzelfde rekenkundige gemiddelde als +40% en −20%. Toch groeit 10,000 in het eerste geval naar 12,100 en in het tweede naar 11,200

Voor positieve groeifactoren is het geometrische gemiddelde niet groter dan het rekenkundige gemiddelde. Ze zijn gelijk wanneer het rendement in elke periode hetzelfde is. Pas die uitspraak toe op dezelfde waarnemingen en niet op niet-gerelateerde fondsen

Het verschil is geen extra commissie die je van het saldo moet aftrekken. De samengestelde eindwaarde weerspiegelt de rendementen al. De vergelijking bewijst ook niet dat een belegging met lagere volatiliteit een andere belegging moet overtreffen

De bespreking door het CFA Institute van de twee gemiddelden legt uit waarom samenstellen een product en geen som is

Het veranderen van de volgorde van dit vaste paar rendementen laat het product onveranderd wanneer er geen kasstromen zijn. Het pad en de waargenomen drawdowns kunnen wel veranderen

Een geometrisch gemiddelde van maandelijkse waarnemingen is een maandpercentage. Als twaalf opeenvolgende maanden elk precies 1% opleveren, is de jaarlijkse groei (1.01)^12 − 1 ≈ 12.68%, niet 12%

In dat voorbeeld zijn alle twaalf maanden gespecificeerd. Het op jaarbasis brengen van één waargenomen maand met 1% beschrijft een hypothetische herhaling, geen gerealiseerd rendement over een jaar of een voorspelling

Voor observatie-intervallen van ongelijke lengte is een geometrisch gemiddelde per waarneming niet automatisch een jaarpercentage. Gebruik verstreken jaren voor een geldige CAGR tussen begin- en eindpunt en vermeld de dagtelconventie voor gedeeltelijke jaren

Een percentage op jaarbasis maakt de eindpunten glad. Het zegt niet dat de rekening elk jaar dat percentage verdiende en voorkomt geen grote tussentijdse verliezen

Stel dat 100 in activum A en 900 in activum B voor dezelfde periode is belegd. A stijgt 50%, terwijl B 10% daalt. Hun eindwaarden zijn 150 en 810, samen 960

Het portefeuillerendement is (960 − 1,000) ÷ 1,000 = −4%. Op dezelfde manier geven de beginwegingen 0.10 × 50% + 0.90 × (−10%) = −4%

Het ongewogen gemiddelde van +50% en −10% is +20% en negeert de verdeling. 1.50 met 0.90 vermenigvuldigen is hier ook verkeerd: de posities bestaan naast elkaar en vertegenwoordigen niet twee perioden van hetzelfde kapitaal

Externe stortingen en opnames creëren een andere grens. Een saldo dat van 10,000 naar 15,000 stijgt na een storting van 5,000 is niet noodzakelijk een beleggingswinst van 50%

De cashflowmethode van GIPS maakt onderscheid tussen tijdgewogen prestaties en rendementen die de timing en omvang van kasstromen weerspiegelen

Een procentuele winst op een kleine optiepremie is niet hetzelfde als een procentuele winst op de hele rekening. Verschillende handelsgroottes, overlappende posities en ongebruikte cash verhinderen het achteloos vermenigvuldigen van rendementen per trade

De hefboomgids van OIC legt uit waarom optiepremies uitvergrote procentuele winsten en verliezen kunnen tonen

Voor futures is gestorte margin onderpand en niet de aankoopprijs van de blootstelling. De noemer veranderen creëert geen nieuw rendement op het onderliggende activum

De uitleg van CME over margin identificeert wat die middelen vertegenwoordigen

Gebruik rendementsnoemers voor futures voor een tradevergelijking en consistente waarderingen van de hele rekening voor samengestelde portefeuillegroei. Neem open posities op en tel elke kostenpost één keer

Begin met de gestelde vraag: gaat het om een gemiddelde waarneming, de groei van één belegging of het rendement van gelijktijdige posities in een portefeuille? Daarvoor zijn verschillende berekeningen nodig

• Noteer datums, perioden, valuta en begin- en eindwaarden
• Bepaal inkomsten, herbelegging, kosten en externe stortingen of opnames
• Bouw de eindwaarde opnieuw op uit opeenvolgende groeifactoren voordat je annualiseert
• Label rekenkundig gemiddelde, cumulatief rendement, geometrisch rendement per periode en CAGR afzonderlijk

De formules voor positieve factoren nemen aan dat elk rendement groter is dan −100%. Bij een volledig verlies is er geen kapitaal over om samen te stellen. Negatief eigen vermogen op de rekening vereist een analyse van kasstromen en verplichtingen, geen normale CAGR-vergelijking