Two-Scale Realized Volatility（TSRV）：市場ミクロ構造ノイズ下での分散推定

実現分散は、リターンの二乗を足し合わせて計算することがよくあります。観測された対数価格が効率価格を完全に追っていれば、観測を増やすことでその経路を細かく捉えられます。しかし実際の約定価格や気配値には、bid–askの反転、価格刻み、遅延など市場ミクロ構造の影響も含まれます。観測間隔がごく短いと、それらの影響が効率価格の変化より大きくなることがあります。

そのため、セッション中の真の積分分散が変わっていなくても、標本間隔を短くするほど素朴な実現分散が大きくなることがあります。これは資産の経済的なボラティリティが必ず上がったという意味ではありません。ノイズを含む価格差を何度も二乗して合計した結果かもしれません。通常の二乗リターン和については実現ボラティリティの計算ガイドを参照してください。ここでは高頻度バイアスの一つを補正します。

Zhang、Mykland、Aït-Sahaliaが最初のtwo-time-scale研究で提案したTSRVは、異なる目的に二つの時間解像度を使います。間引いたグリッドはノイズを含む増分の数を減らします。開始位置をずらしたグリッドを平均すれば、任意の開始点ひとつに頼らずに済みます。細かい全グリッドは、差し引くノイズ量を推定するために使います。この考え方は仮定や有限標本での選択に依存するため、結果は不確実性を伴う推定量であり、真の価格経路をノイズなく観測したものではありません。

\(X_t\)を潜在的な効率対数価格とし、分析区間では局所分散率が\(\sigma_t^2\)の連続過程だとモデル化します。推定対象はその積分分散です。

\[ IV_T=\int_0^T\sigma_t^2\,dt. \]

観測時刻\(t_i\)の記録対数価格を次のように置きます。

\[ Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}, \]

ここで\(\epsilon_{t_i}\)は観測ノイズです。古典的な導出では、ノイズの平均は0、観測時刻間で独立、効率価格過程とも独立、分散は一定の\(\omega^2\)という基準モデルを使います。また、等間隔の標本グリッドと、区間中の効率価格に適切な連続過程を仮定します。これはモデル条件であり、あらゆる取引所データに当てはまる事実ではありません。

観測増分は\(\Delta Y_i=\Delta X_i+\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\)です。一つの観測時点の価格誤差は、隣り合う二つのリターンに逆の符号で入ります。ある観測で正の価格誤差があれば、一方のリターンは押し上げられ、次のリターンは押し下げられます。そのため、ノイズのある価格から作ったリターンは、独立な測定誤差のようには振る舞いません。ノイズがない場合に二乗増分の和が経路変動を捉える理由は金融における二次変動のガイドで説明しています。

ここで推定するのは特定の時間区間における分散です。bid–ask spreadの推定値でも、予測値でも、実際の執行コストでもありません。約定価格について別の問いを扱うなら、Rollのbid–ask spread推定量を参照してください。高頻度価格を使う手法でも対象量は異なるため、何を推定するのかを明確にする必要があります。

細かいグリッドのリターンが\(n\)個あるとき、全観測実現分散を次のように定義します。

\[ RV_{\mathrm{all}}=\sum_{i=1}^{n}(Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}})^2. \]

基準モデルでは、観測リターンに含まれるノイズ成分は\(\eta_i=\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\)です。その分散は\(\operatorname{Var}(\eta_i)=2\omega^2\)となります。独立性の仮定のもとで期待値が0になる交差項を無視すれば、細かいグリッドの和の期待値はおよそ次のとおりです。

\[ E[RV_{\mathrm{all}}]\approx IV_T+2n\omega^2. \]

最初の項が求める積分分散で、二つ目は細かいリターンごとに積み上がるノイズ寄与です。標本間隔が短くなり\(n\)が増えると、ノイズ項が支配的になりえます。ノイズを無視したまま「可能な限り頻繁に標本を取る」のが安全なルールではないのはこのためです。Aït-Sahalia、Mykland、Zhangは市場ミクロ構造ノイズ下の標本頻度に関する研究で、有限の最適標本頻度が生じる問題を分析しています。

この近似はモデル下での期待値について述べたものです。個々の標本には効率価格増分とノイズ増分のランダムな交差項もあるため、実現値が期待値と一致するとは限りません。ノイズ分散が日中に変化する場合、誤差が系列相関を持つ場合、標本時刻が不規則な場合には、単純な\(2n\omega^2\)がバイアスを表さないことがあります。そのような場面で馴染みのある式を使うと、精密に見えても誤った補正対象を狙う数字になりえます。

整数の間隔\(K>1\)を選びます。オフセット\(k=0,\ldots,K-1\)ごとに、観測価格を\(K\)個おきに使う間引きグリッドの実現分散を計算します。

\[ RV_{K,k}=\sum_j\left(Y_{t_{k+jK}}-Y_{t_{k+(j-1)K}}\right)^2. \]

間引き増分はより長い時間をまたぎますが、グリッド全体はおおむね同じ観測区間を覆います。利用できるオフセットの平均を取ります。

\[ \overline{RV}_K=\frac{1}{K}\sum_{k=0}^{K-1}RV_{K,k}. \]

オフセットが重要なのは、単一の間引きグリッドでは大きな値動きの直前から始まるか直後から始まるかで結果が変わりうるためです。開始位置をずらしたグリッドを平均すると、その依存を和らげられます。ただし、観測値を再利用するため、\(K\)個の独立したデータセットができるわけではなく、各グリッドは統計的に依存しています。

観測ノイズが独立で分散一定なら、間引きリターンの両端にあるノイズは異なる観測時刻から来るので、その差の分散は引き続き\(2\omega^2\)です。間引きリターンは細かいリターンより少ないため、平均した間引き推定値に積み上がるノイズバイアスは小さくなります。一方、間引き増分は区間全体を覆うので、信号成分はおよそ同じ積分分散を保ちます。

このガイドの図は概念図です。ぎざぎざした観測経路と、より滑らかな潜在経路のまわりの粗い標本グリッドを比較します。市場データや実際の推定出力を示すものではありません。

<!-- learn:illustration -->

高値・安値から作る推定量についてはOHLCレンジに基づくボラティリティ推定ガイドを参照してください。

\(\bar n\)を各オフセットグリッドに含まれる間引きリターン数の平均とし、\(\lambda=\bar n/n\)と置きます。基準モデルでは、平均した間引きグリッドのノイズバイアスはおよそ\(2\bar n\omega^2\)です。細かいグリッドではおよそ\(2n\omega^2\)なので、\(\lambda RV_{\mathrm{all}}\)を使うと約\(2\bar n\omega^2\)が差し引かれます。よって先行するノイズ項は次の差で相殺されます。

\[ TSRV_{\mathrm{raw}}=\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}. \]

この生の差分は、両方の実現分散に含まれる積分分散の信号も、その一部だけ差し引いてしまいます。そこで一般的な有限標本補正として次を使います。

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}}{1-\lambda}. \]

分母は単純な期待値計算のもとで信号係数を戻します。実装によって端点処理や定義が異なるため、\(n\)の定義、オフセット集合、\(\bar n\)の計算方法を記録してください。この補正は標本誤差を取り除かず、誤ったノイズモデルを修復もしません。古典的な漸近設定では標本が増えるにつれて\(\lambda\)は小さくなりますが、短い区間では有限標本補正が重要な場合があります。

\(\overline{RV}_K<\lambda RV_{\mathrm{all}}\)なら推定値は負になることがあります。これは物理的な変動が負という意味ではなく、有限標本で差し引くノイズ量が間引き推定値を上回ったことを示します。後続の表示で0に置き換えるのは便利かもしれませんが、推定量を変更し、切り詰め規則を追加することになります。分析では生の値を保持し、選んだスケールと仮定を確認し、その後に切り詰めた場合は明記してください。

仮想の対数価格観測7点から、bp単位で6個の細かいリターン\([1,1,-1,-1,1,1]\)が得られたとします。これは計算を示すための小さな例で、取引所データではありません。細かいグリッドの実現分散は次のとおりです。

\[ RV_{\mathrm{all}}=1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2=6\,\mathrm{bp}^2. \]

\(K=2\)とします。最初のオフセットでは隣り合うリターンをまとめ、間引きリターン\([2,-2,2]\) bpを作ります。二乗和は\(4+4+4=12\,\mathrm{bp}^2\)です。ずらしたオフセットでは\([0,0]\) bpとなり、二乗和は0です。二つのグリッド推定値の平均は\(\overline{RV}_K=(12+0)/2=6\,\mathrm{bp}^2\)です。

細かいリターンは6個で、二つのオフセットの間引きリターン数はそれぞれ3個と2個です。したがって\(\bar n=(3+2)/2=2.5\)、\(\lambda=2.5/6=5/12\)です。よって、

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{6-(5/12)6}{1-5/12}=\frac{3.5}{7/12}=6\,\mathrm{bp}^2. \]

分散推定値は小数リターンの二乗単位で\(6\,\mathrm{bp}^2=6\times10^{-8}\)です。その平方根は、この仮想区間において約\(2.45\) bpで、年率換算ではありません。細かいグリッドの実現分散と同じ値になるのは、この小さな構成例の特徴であり、TSRVの恒等式ではありません。異なる経路ではより大きくも小さくもなり、負の推定値が出る場合もあります。

この計算はモデルの限界も示しています。真の潜在経路とノイズは別々に観測されないため、この標本だけから\(6\,\mathrm{bp}^2\)が実際の積分分散だとは確認できません。和、スケール、単位は検算できますが、隠れた分解をこの例だけから推定することはできません。高頻度ノイズ補正にはrealized-kernel法など別の系列もあり、それぞれに独自の仮定と実装上の選択があります。

\(K\)は間引きリターン数と平均化・ノイズ補正のバランスを決めます。\(K\)が小さすぎると短い増分が多く残り、ノイズへの感応度が高い場合があります。大きすぎると粗いリターンが少数しか残らず、間引き推定値が不安定になり、有限区間の影響も受けやすくなります。オフセット平均はグリッドの位置合わせの影響を和らげますが、短い標本や質の悪い標本に存在しない情報を作り出すことはできません。

原論文の漸近分析では、標本数が増えるにつれて最適な間引き間隔も大きくなります。同論文の記法と基準条件では\(n^{2/3}\)のオーダーです。これは理論的なスケーリング結果であり、常に特定の秒数や観測数を選ぶ指示ではありません。最適値はノイズと信号の比率や仮定に依存し、後続研究や実務実装では別の調整規則や端点の慣例が使われることがあります。再現可能にするため、標本間隔、\(K\)、オフセット、取引セッションの境界、有限標本補正を記録してください。

妥当な分析では、事前に決めた複数の\(K\)候補に対する感度を比較し、見栄えのよい値を事後的に選ぶのではなく、その違いを示せます。推定値が大きく変わるなら、その不安定性自体が結果の一部です。スケールはデータ設計と文書化した規則に基づいて選び、望ましいボラティリティ値を探してから決めるべきではありません。より粗い実現分散やノイズ頑健な代替法を比較に含めることはできますが、それぞれの測定量は区別して表示してください。

古典的補正は特定のノイズ構造から導かれます。bid–askの反転などの市場ミクロ構造効果は、系列相関を持ったり、取引時間中に変化したり、流動性に依存したり、効率価格増分と相関したりすることがあります。HansenとLundeは実現分散と市場ミクロ構造ノイズの研究で、時間依存や効率価格変化との相関を含む相互作用を示しています。Aït-Sahalia、Mykland、Zhangは後に依存する市場ミクロ構造ノイズ向けtwo-scale法を開発しました。この拡張は、修正版の推定量と元の独立同分布ノイズの式を区別すべき理由であって、元の式があらゆる依存構造を処理する根拠ではありません。

ほかの実務上の問題には、不規則な観測時刻、複数資産の非同期データ、古い気配値、価格刻み、ジャンプ、誤った約定値、寄り付き・引けの影響、欠測があります。これらは細かいグリッドの補正項と、間引きグリッドに含まれるリターンの両方に影響します。ジャンプを対象となる二次変動に含めるか、別に分けるかは研究上の問いによります。TSRVだけではそのモデル選択を決められません。観測値を除外すればグリッドも変わるため、その手順を記録してください。

ノイズに頑健であることは、あらゆるデータ問題に影響されないことを意味しません。潜在分散の測定値と解釈する前に、入力が約定価格、気配値、中値のどれかを定義し、リターン変換と時計の基準を示し、等間隔かを確認し、データクリーニングとセッションの規則を記録し、\(K\)に対する感度を調べてください。ノイズ過程が基準仮定に反するなら、その状況を扱う手法を使い、仮定を説明します。負の推定値を負のボラティリティと呼んだり、何も説明せず正の値に変えたりしてはいけません。

透明な報告には、対象区間、入力価格系列、標本間隔、細かいリターン数、間引き間隔\(K\)、オフセット集合、端点規則、ノイズ仮定、正規化、単位、切り詰めの有無を含めます。生の差分と正規化後の推定値の両方を示し、事前に選んだスケール候補に対する感度範囲を添えることもできます。こうした詳細は計算を検証可能にし、分散推定値が気配値や将来予測、利益を生む売買ルールの根拠と誤認されるのを防ぎます。

積分分散は観測区間に対する量です。年率換算には時間の基準を明示する必要があり、日中パターン、夜間区間、取引の空白を隠してはなりません。平方根を取るとその区間のボラティリティ単位になりますが、予測期間が新たに生まれるわけではありません。過去の実現指標はモデルの入力の一つにはなりえますが、予測性能は推定設定を選ぶために使っていないデータで別途評価してください。

TSRVの主な貢献は方法論にあります。明示的な加法ノイズモデルのもとで二つの標本スケールを使い、素朴な高頻度実現分散を不一致にする先行ノイズバイアスを減らします。あらゆる価格変動の原因を特定したり、モデルリスクをなくしたり、次のボラティリティを示したりするものではありません。推定値を報告する際は、この限界も併記してください。