OHLCレンジ型ボラティリティ推定量：パーキンソン、ガーマン–クラス、ロジャース–サッチェル、ヤン–チャン

close-to-closeリターンが使うのは2つの終値だけです。期間中の高値と安値を見れば、始値から終値までの値動きについても情報が得られます。レンジ型推定量はその情報を使って分散、つまりボラティリティの二乗を推定します。

同じ区間の始値をO、高値をH、安値をL、終値をCとします。以下の式は自然対数を使い、区間あたりの分散を出します。その平方根が区間あたりのボラティリティです。バー、時間帯、セッションの定義をそろえてOHLCを取得してください。

n個の区間について、パーキンソン推定量は次のとおりです。

σ²_P = mean[(ln(Hᵢ/Lᵢ))²] / (4 ln 2)

必要なのはHとLだけです。ドリフトのない連続的な価格経路というモデルでは、期間内レンジから、2つの終値だけでは得られない分散情報を利用できます。ただし、パーキンソンはドリフトなしと連続経路を仮定するため、価格ジャンプやセッション外のギャップは1セッションのレンジに含まれません。パーキンソンの原論文を参照してください。

結果はそのモデルに基づく観測区間の分散であり、将来のボラティリティではありません。価格に有意なドリフトやジャンプがあると、推定量の前提に沿った解釈ができないことがあります。

ガーマン–クラス推定量にはCとOも入ります。

σ²_GK = mean[0.5(ln(Hᵢ/Lᵢ))² − (2 ln 2 − 1)(ln(Cᵢ/Oᵢ))²]

レンジ項が区間中の動きを要約し、open-to-close項がその寄与を調整します。標準式は、ドリフトのない連続拡散過程と、独立した始値ギャップがない条件から導かれています。そのため、前セッションの終値から次の始値へのジャンプが自動的に含まれるわけではありません。OHLCデータに基づくボラティリティ推定量はガーマンとクラスの論文で説明されています。

ロジャース–サッチェル推定量は4つの価格を使います。

σ²_RS = mean[ln(Hᵢ/Oᵢ) ln(Hᵢ/Cᵢ) + ln(Lᵢ/Oᵢ) ln(Lᵢ/Cᵢ)]

標準形のパーキンソンやガーマン–クラスとは異なり、連続拡散モデルにおける一定のドリフトがあっても偏りが生じないよう設計されています。高値・安値を始値と終値の両方に照らした項で構成されます。これは区間内の動きを測りますが、前日の終値からのovernightリターンは追加しません。ロジャースとサッチェルの論文を参照してください。

市場が閉じている間に価格が動くと、セッション内の高値と安値だけでは全変化を捉えられません。ヤン–チャンはnセッションの窓について、次の3項を組み合わせます。

• σ²_overnightはln(Oᵢ/Cᵢ₋₁)、つまりclose-to-openリターンの標本分散です。 • σ²_open-closeはln(Cᵢ/Oᵢ)の標本分散です。 • mean(RS)は窓内のロジャース–サッチェル項の平均です。

24時間取引の市場では、「overnight」は市場の休場を意味するのではなく、前のバーの終値から次のバーの始値までのリターンとして扱います。バーの区切りは一貫して定義してください。

式は次のとおりです。

σ²_YZ = σ²_overnight + kσ²_open-close + (1 − k)mean(RS)

k = 0.34 / [1.34 + (n + 1)/(n − 1)]

2つの標本分散にはn − 1を使うため、nは1より大きくする必要があります。overnight項によってclose-to-openギャップが推定に入ります。RS項は基本モデルの範囲内で日中のドリフトを扱います。この複数セッションの組み合わせは、モデルの仮定のもとでドリフトに依存せず、始値ジャンプを考慮するよう設計されています。kは窓の長さnによって変わるため、比較時にはnを明記してください。この複数期間の推定量はヤンとチャンの論文で提案されました。

以下はすべて架空の数値で、計算方法だけを示します。C₀は最初のセッションの前の終値です。

セッションあたりの平均分散は次のようになります。

ヤン–チャンのovernightリターンはln(100/100) = 0、ln(105/103) ≈ 0.01923、ln(101/103) ≈ −0.01961で、標本分散は約0.0003771です。open-to-closeリターンはln(103/100) ≈ 0.02956、ln(103/105) ≈ −0.01923、ln(105/101) ≈ 0.03884で、標本分散は約0.0009731です。n = 3ではk ≈ 0.1018、mean(RS) ≈ 0.0015458となり、σ²_YZ ≈ 0.0018646です。日次標準偏差は分散の平方根で、約4.32%です。

3セッションは安定したリスク推定には短すぎます。数値は計算例にすぎず、推定量間の差から実データで最も正確な方法を判断することはできません。

上記のパーキンソン、ガーマン–クラス、ロジャース–サッチェルは、指定したバーの寄与を平均します。ヤン–チャンはovernightリターンを使うため複数セッションが必要です。区間、窓、セッション定義が違う推定値を、同じ尺度として比較しないでください。

日次データなら、選んだ年間取引日数を1日あたりの分散に掛け、その平方根を取ると年率ボラティリティになります。たとえば252は約252取引セッションを想定した慣例であり、普遍的な規則ではありません。年率換算しても、不正確なデータや破れた仮定、未測定のギャップは補えません。

これらの推定量には、有効なOHLCデータと明確な観測区間が必要です。高値・安値の記録漏れ、古い価格、欠落バー、株式分割、データ訂正、タイムゾーン変更、異なるセッション終了時刻は、レンジやリターンを変えることがあります。一貫した価格を使い、必要なコーポレートアクション調整は系列全体に同じように適用してください。

基本モデルは価格過程を単純化しています。パーキンソンとガーマン–クラスはドリフトなしの連続経路を前提とし、ロジャース–サッチェルは拡散モデルのもとで日中のドリフトを許容します。ヤン–チャンはovernight項で始値ギャップを含めますが、各項の推定と複数セッションのデータに依存します。日中ジャンプ、薄商い、値幅制限、変動するボラティリティがあると、結果がリスクを十分に表さない場合があります。

レンジ型推定量は、単純なclose-to-close測定では使わない高値と安値を利用します。終値だけに基づく推定との比較には、実現ボラティリティの計算ガイドを参照してください。どの方法でも、結果は定めた窓の過去データを要約するものです。次の価格変化の方向や大きさを予測するものではなく、投資助言でもありません。