二次変動：確率経路とボラティリティの接点

[0,t]の分割πに対しQ_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})²を作り、最大間隔をゼロへ近づけます

この和が適切な確率的意味で収束するとき、その極限を二次変動[X]_tと呼びます

これは一つの経路に累積する概念で、反復した結果間におけるX_tの統計的分散とは別物です

連続有限全変動経路では、小さな二乗増分が絶対増分和より速く消えるため二次変動はゼロです

したがって通常の微分可能な価格曲線では、古典的連鎖律を変える二次補正は生じません

二次変動は一次の動きが個別には微小になっても残る経路の粗さを取り出します

標準ブラウン運動は任意の非自明な区間で全変動が無限ですが、[W]_t = tを満たします

直感的には二乗サイズがΔt程度の増分が約1/Δt個あり、和は一次の大きさに残ります

これは極限関係であり、dW/dtが存在することや各増分の二乗が正確にdtという点ごとの代数式ではありません

二次共変動[X,Y]は細かい分割上で積ΔX·ΔYを足し合わせます

偏極恒等式[X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y])が共同変動と個別二次変動を結びます

相関ブラウン因子では、共変動が瞬間的依存をポートフォリオと多変量Itô公式へ運びます

dX_t = μ_t dt + σ_t dW_tの連続拡散では、[X]_t = ∫_0^t σ_s² dsです

確率増分の二乗は累積して消えないため、Taylor展開に1/2 f''(X_t)d[X]_tが残ります

この補正が拡散価格方程式を生み、確率解析を通常の微分法と区別します

ジャンプを持つセミマルチンゲールの二次変動は、連続マルチンゲール変動とΣ_{s≤t}(ΔX_s)²の和です

連続ボラティリティが小さくても、大きな一回のジャンプが一日の二次の動きの大半を占め得ます

問いが原因差に依存するなら、連続変動、ジャンプ、有限変動ドリフトを区別します

高頻度の実現分散は観測された日中リターンの二乗和で潜在的な二次変動を近似します

粗すぎる標本は動きを逃し、細かすぎる標本はビッド・アスク反転、価格刻み、非同期気配、異常値を増幅します

標本間隔を比較し、ジャンプを処理し、取引時間とリターン定義を揃えてからボラティリティと解釈します