DCC-GARCH 동적 조건부 상관: 자산 간 상관을 추정하는 법

공분산 행렬은 자산 쌍 사이의 장기적인 관계만 나열하는 표가 아닙니다. 특정 시점의 투자자는 그때까지 알 수 있는 정보를 바탕으로 각 수익률의 조건부 분산과 모든 자산 쌍의 조건부 공분산을 알고 싶을 수 있습니다. 변동성과 동행성이 시간이 지나며 달라진다면 전체 표본 하나로 계산한 공분산은 평온한 시기, 충격이 컸던 시기, 구조 변화 가능성이 있는 시기를 평균 내어 한 행렬에 섞습니다.

DCC-GARCH는 조건부 상관 행렬을 움직이게 하면서 매개변수 수를 비교적 작게 유지하는 방법입니다. Robert Engle의 2002년 논문은 단변량 변동성 모형과 적은 수의 상관 갱신 매개변수를 결합한 동적 조건부 상관 명세를 제안합니다(Engle, 2002). 자산 수가 늘어날 때 완전히 자유로운 공분산 모형에 필요한 매개변수도 빠르게 늘어나는 실무 문제를 다루려는 접근입니다.

이 방법은 각 시계열의 변동 규모가 변한다는 점을 허용한 뒤에도 자산 간 조건부 의존성이 어떻게 달라지는지 알고 싶을 때 유용합니다. 하지만 자산이 왜 함께 움직이는지 밝혀 주지는 않습니다. 한 시계열의 분산이 시간에 따라 달라지는 기본 원리는 변동성 군집과 GARCH 안내를, 환율 쌍의 상관을 공통 노출로 해석할 때의 한계는 외환 쌍 상관 안내를 참고할 수 있습니다.

\(N\)개 자산의 수익률 벡터를 \(r_t\), 조건부 평균을 \(\mu_t\)라고 하고 혁신을 \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\)라고 두겠습니다. DCC는 혁신의 조건부 공분산을 다음처럼 분해합니다.

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

여기서 \(\mathcal{F}_{t-1}\)은 시점 \(t\) 관측 전에 알 수 있는 정보를 뜻합니다. \(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\)는 자산별 조건부 표준편차를 대각선에 놓은 행렬이고, \(R_t\)는 조건부 상관 행렬입니다.

각 \(\sigma_{i,t}^2\)는 단변량 GARCH 계열 식으로 모델링할 수 있습니다. 예를 들면,

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

이 주변부 모형은 자산 \(i\)의 혁신 규모가 자신의 과거 정보와 충격에 따라 어떻게 바뀌는지를 추정합니다. 그 자체로 자산 \(j\)와의 상관도 변한다고 말하지는 않습니다. 반대로 \(R_t\)가 변한다고 해서 어느 한 자산의 변동성이 커진다는 뜻도 아닙니다. 두 층은 서로 다른 질문에 답합니다.

공분산에는 두 층의 변화가 함께 들어갑니다.

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

상관 \(\rho_{ij,t}\)가 일정해도 한 자산 또는 양쪽 자산의 변동성이 상승하면 공분산은 커질 수 있습니다. DCC는 이를 별도로 파악하기 위해 주변부 변동성 모형으로 설명한 뒤 남는 조건부 상관의 시변성을 추정합니다. 따라서 각각 독립 GARCH를 적합한 뒤 원수익률 공분산을 고정값으로 놓는 방식과는 다릅니다.

조건부 평균과 주변부 분산을 추정한 뒤 혁신을 조건부 표준편차로 나누어 표준화합니다.

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

주변부 모형이 적절하다면 각 \(z_t\) 성분의 조건부 분산은 대략 1이어야 합니다. 그렇다고 성분끼리 동시점에 독립이라는 뜻은 아닙니다. 여러 자산의 표준화 충격이 함께 나타나는 패턴이 상관 갱신에 쓰입니다. 표준화는 원래 변동성이 큰 자산의 큰 원시 수익률을, 다른 자산에서 나타난 상대적으로 큰 충격과 같은 기준으로 바로 비교하지 않도록 합니다.

실제 계산에서 \(z_t\)는 관측된 사실 그대로가 아니라 추정된 조건부 평균과 분산을 이용해 만든 값입니다. 평균식이 부정확해 \(\epsilon_t\)에 예측 가능한 패턴이 남거나 변동성식이 규모 변화를 충분히 설명하지 못하면 그 구조가 \(z_t\)에 남습니다. 그러면 상관 단계가 주변부 모형의 오류까지 흡수해 \(R_t\)를 왜곡할 수 있습니다. 두꺼운 꼬리, 이상치, 결측 날짜, 거래 시간 불일치, 기업행사, 오래된 호가도 입력 잔차에 영향을 줍니다.

Engle과 Sheppard는 먼저 각 자산의 단변량 GARCH 모형을 추정하고, 그 표준화 잔차로 상관 매개변수를 적합하는 2단계 절차를 설명합니다(Engle and Sheppard, 2001). 주변부 적합을 분리하는 계산상의 편리함은 DCC가 실무에서 쓰이는 이유 중 하나입니다. 동시에 2단계 상관 추정치는 1단계 모형과 자산별 관측치를 정렬한 방식에 조건부인 값이라는 점을 기억해야 합니다.

표준 DCC는 우선 보조 행렬 \(Q_t\)를 다음 식으로 갱신합니다.

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

\(\bar Q\)는 표준화 혁신의 장기 행렬이고, \(a\)는 최근 동시 움직임을 갱신에 얼마나 반영하는지, \(b\)는 이전 \(Q\)의 지속성이 얼마나 큰지를 조절합니다. 통상적인 스칼라 표준 DCC에서 \(a\), \(b\)가 음수가 아니고 \(a+b<1\)이며 \(\bar{Q}\)와 초기 행렬이 양의 정부호이면, 일반적인 재귀는 양의 정부호를 유지합니다. 엄밀한 정상성과 유효한 추론은 전체 모형과 가정에 달려 있습니다. 이 제한은 해당 모형 명세에 붙는 것이지 모든 변형 모형에 대한 보편적 보증은 아닙니다.

\(Q_t\)의 대각 원소는 일반적으로 1이 아니므로, \(Q_t\) 자체를 곧바로 상관행렬이라고 부를 수 없습니다. \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\)라고 놓고 다음과 같이 표준화합니다.

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

이 변환은 대각 원소를 1로 맞추고, 비대각 원소를 무단위 조건부 상관으로 바꿉니다. 그다음 \(H_t=D_tR_tD_t\)가 조건부 공분산이 됩니다. \(Q_t\), \(R_t\), \(H_t\)를 구분하면 자주 생기는 해석 오류를 피할 수 있습니다. 재귀는 보조 의존성 행렬을 갱신하고, 정규화가 상관을 만들며, 주변부 표준편차가 상관을 수익률 단위로 되돌립니다. 이 정규화 과정은 Engle의 2002년 DCC 논문의 핵심입니다.

<!-- learn:illustration --> <!-- 글자 없는 개념 삽화: 서로 다른 변동성 폭을 가진 수익률 흐름이 하나의 시변 의존성 띠로 이어짐. 시장 데이터나 예측이 아닌 개념도. -->

일반적인 2단계 구현은 우선 각 자산의 조건부 평균과 단변량 GARCH 계열 분산을 적합합니다. 그 모형으로 \(z_t\)를 계산한 뒤 상관 부분의 우도 또는 준우도에서 DCC 매개변수를 추정합니다. 수익률 분포가 정규분포가 아니어도 1단계에서 가우스 우도를 준최대우도로 쓸 수 있는 경우가 있지만, 정규성에 맞춘 표준오차와 추론을 그대로 적용해도 된다는 뜻은 아닙니다. 어떤 추정량과 정규성 조건을 사용했는지에 맞춰 불확실성을 계산해야 합니다.

단계를 나누면 자유로운 다변량 GARCH 시스템 전체를 한 번에 추정하는 것보다 계산이 간결해질 수 있습니다. 그러나 주변부 추정의 불확실성은 표준화 잔차와 2단계 상관 추정에도 이어집니다. 추정된 \(a\)와 \(b\)는 변하지 않는 시장 상수를 직접 측정한 값이 아닙니다. 결과 해석은 표본 기간, 주변부 모형, 초기값, 분포 가정, 상관 구조의 안정성에 달려 있습니다.

장기 입력 \(\bar Q\)는 표준화 잔차의 표본 공분산으로 계산하는 경우가 많지만, 정확한 정의와 보정은 절차에 따라 다를 수 있습니다. 구현에서는 \(\bar Q\) 추정법, \(Q_0\) 초기화, 결측치 처리, 제약조건, 우도 계산을 밝혀야 합니다. \(a+b=1\)에 가까운 최적화, 거의 특이한 \(\bar Q\), 지나치게 큰 자산 집합은 수치적 불안정을 만들 수 있습니다. 수렴 진단과 합리적인 주변부 명세 및 표본 기간을 바꾼 민감도 점검도 보고하는 편이 좋습니다.

관측 시각이 불규칙한 체결자료에 표준 DCC의 동기화된 수익률 입력을 그대로 적용하면 문제가 생길 수 있습니다. 비동시 관측을 고려하는 별도 표본화 또는 추정량이 적절할 수 있습니다. Hayashi–Yoshida 공분산 안내는 비동기 관측 문제를 다룹니다. 잡음이 큰 공분산 표적을 수축하는 Ledoit–Wolf 공분산 수축 안내도 DCC 동적 상관 재귀와는 별개의 과정이므로, 어떤 변환을 추가했는지 구분해서 설명해야 합니다.

두 자산의 표준화 혁신과 가상의 DCC 입력을 생각해 봅시다. \(a=0.05\), \(b=0.90\), \(\bar q_{12}=0.10\), \(q_{12,t-1}=0.30\), \(z_{1,t-1}=1.5\), \(z_{2,t-1}=1.0\)으로 둡니다. 이 수치는 산술을 설명하기 위해 만든 값이며 시장자료의 추정 결과가 아닙니다. 비대각 원소의 갱신은 다음과 같습니다.

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

정규화까지 보이기 위해 \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\), \(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\)이라고 가정해 보겠습니다. 같은 재귀식에서

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1 \]

을 얻습니다. 따라서 상관은

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340 \]

입니다. 보조 행렬의 비대각 원소는 0.30에서 0.35로 움직였지만, \(Q_t\)의 대각도 함께 변했기 때문에 보고할 상관은 약 0.34입니다. 정규화를 건너뛰고 \(q_{12,t}=0.35\)를 상관이라고 부르면 안 됩니다. 이 계산은 재귀의 한 단계만 보여 줍니다. 통계적 유의성, 미래 지속성, 최적 포트폴리오 가중치, 거래의 경제적 가치를 말해 주지 않습니다.

표준 DCC는 흔히 모든 자산 쌍에 같은 스칼라 반응과 지속성 매개변수를 적용해 간결하게 만듭니다. 자산이 많을 때는 매개변수 절약이 장점이지만, 쌍마다 조정 속도가 다르다면 지나치게 강한 제약일 수 있습니다. 또한 DCC라는 이름 아래 매개변수화, 제약, 추정 절차, 초기화 방식이 다를 수 있으므로 무엇을 사용했는지 밝혀야 합니다.

Aielli의 보정 DCC 연구는 자산 수가 큰 시스템에서 전통적인 DCC 추정량의 성질과 상관 매개변수의 해석에 문제가 있을 수 있음을 보이고, 수정된 재귀를 가진 cDCC를 제안합니다(Aielli, 2013). cDCC는 표준 DCC를 다른 이름으로 부른 것이 아닙니다. 특히 자산 수를 늘리거나 추정계수를 구조적 상수로 해석하려는 경우 둘의 구별이 중요합니다.

비대칭 일반화 DCC 명세는 양의 표준화 충격과 음의 표준화 충격이 이후 상관에 서로 다르게 작용할 수 있다는 점을 다룹니다. Cappiello, Engle, Sheppard의 AG-DCC는 시계열별 뉴스 영향·평활화 매개변수와 조건부 상관의 비대칭을 허용합니다(Cappiello, Engle, and Sheppard, 2006). AG-DCC는 공통 스칼라 표준 DCC보다 유연하지만 매개변수 수, 제약, 해석도 달라집니다. 평가 없이 표준 DCC 대신 조용히 바꿔 쓰거나 항상 더 낫다고 가정하면 안 됩니다.

적합된 \(R_t\)는 선택한 데이터 빈도, 표본 기간, 평균식, 주변부 변동성 모형, DCC 변형을 전제로 한 조건부 상관입니다. 인과적 파급을 식별하지는 않습니다. 경기 하락기에 추정 상관이 높아져도 공통 뉴스, 자산 구성 변화, 유동성, 변동성 모형의 부적합 등 여러 설명이 가능하며 추정치 하나로 원인을 가려낼 수 없습니다.

위험 측정에 쓰려면 동적 공분산 예측을 이동 표본 공분산이나 상관 일정 모형 등 의미 있는 기준과 비교해야 합니다. 각 예측 시점에 당시 알 수 있던 정보만 쓰고, 자산 집합과 예측 기간을 같게 맞추며, 손실 함수를 함께 보고해야 합니다. 포트폴리오 의사결정에 연결한다면 가중치, 집중도, 회전율, 자금조달, 거래비용의 변화를 추적해야 합니다. 특정 위험 모형 아래 추정 상관의 상승이 분산효과를 줄일 수는 있지만 두 자산 가격이 하락한다는 예측은 아닙니다.

추정된 상관이 유효한 범위 안에 있는지, \(R_t\)가 양의 정부호인지, 주변부 표준화 잔차에 자기상관이나 시변 분산이 남는지도 점검합니다. 자산 구성, 초기화, 이상치, 표본 기간, 모형 변형을 바꿨을 때 결과가 얼마나 달라지는지 확인해야 합니다. 지속성 매개변수가 경계에 가까우면 구조 변화에 느리게 반응할 수 있고, 매끄러운 재귀가 갑작스러운 국면 전환을 늦게 따라갈 수도 있습니다. 여러 쌍의 그래프나 후보 모형 중 유리한 결과만 고르지 않도록 선택 기준과 표본외 비교를 미리 정하고 기록하는 것이 좋습니다.

DCC-GARCH는 조건부 공분산을 간결하게 구성하는 방법으로 이해하는 것이 정확합니다. 주변부 방정식은 자산별 변동 규모의 변화를 추정하고, 의존성 재귀는 표준화 혁신의 동행 패턴을 갱신하며, 정규화는 보조 행렬에서 상관행렬을 만듭니다. 가정이 명시되고 예측력이 검증되면 위험 분석에 쓸 수 있지만, 그 행렬 하나만으로 안정적인 헤지, 충격의 원인, 전략의 수익성을 입증하지는 않습니다.