금융의 정규분포와 Student-t 분포 비교

정규확률변수는 표준정규 Z와 표준편차 σ를 이용해 X=μ+σZ로 쓸 수 있습니다

위치척도 Student-t 변수는 X=μ+sT_ν로 쓸 수 있으며 s는 척도이고 ν는 꼬리두께를 정합니다

둘 다 μ를 중심으로 대칭이므로 확장하거나 변환하지 않으면 수익률 비대칭을 만들지 못합니다

서로 독립인 Z∼N(0,1)과 V∼χ²_ν에 대해 T=Z/√(V/ν)는 표준 Student-t 분포를 가집니다

무작위 분모 때문에 고정분산 정규분포보다 큰 표준화 값이 나타날 가능성이 높습니다

ν가 무한대로 가면 분모불확실성이 사라져 Student-t 분포는 정규분포에 가까워집니다

Student-t 꼬리는 ν가 정하는 멱법칙으로 줄지만 정규분포 꼬리는 거리제곱에 대해 지수적으로 줄어듭니다

평균은 ν>1, 분산은 ν>2, 네 번째 적률은 ν>4에서 존재하며 그 이하에서는 해당 모집단 적률이 없습니다

ν>4이면 초과첨도는 6/(ν−4)로 정규꼬리에 가까워지는 과정이 드러납니다

ν>2인 위치척도 t 분포에서 Var(X)=s²ν/(ν−2)이므로 s는 표준편차보다 작습니다

정규분포 σ와 t 분포 척도 s를 둘 다 변동성처럼 비교하면 거짓 꼬리차이나 우도차이를 만들 수 있습니다

소프트웨어는 매개변수 이름과 분산 1 표준화 여부가 다르므로 정확한 밀도규약을 기록해야 합니다

정규 최대우도는 잔차제곱을 크게 반영해 소수의 극단관측이 분산추정치를 부풀릴 수 있습니다

Student-t 우도는 ν를 통해 큰 표준화 잔차의 영향을 줄여 극단값을 불가능하다고 선언하지 않고 적합합니다

ν가 적률경계 가까이 추정되면 최적화가 수렴해도 분산·첨도·위험측도가 불안정할 수 있습니다

다변량 정규분포는 Gaussian Copula를 뜻하며 완전상관 미만에서 점근 꼬리종속이 0입니다

다변량 t 분포는 무작위 척도를 공유해 유한 ν에서 대칭적인 양의 꼬리종속을 만듭니다

공동폭락과 공동상승이 다르거나 종속성이 국면에 따라 변하는 주식시장에서는 이 대칭성도 틀릴 수 있습니다

확률·분위수 도표, 문턱초과, 예측우도, 구간포함률과 VaR·ES 백테스트를 비교합니다

관측창을 굴려 재적합하고 구조가 남으면 skewed-t·혼합·확률변동성·필터잔차 대안을 검사합니다

t 적합이 낫다는 것은 선택한 목적의 근사가 더 유용하다는 뜻이지 수익률이 하나의 불변 t 법칙을 따른다는 뜻은 아닙니다