금융수익률과 중심극한정리

X_1,…,X_n이 유한평균 μ와 양의 유한분산 σ²을 가진 독립동일분포라고 둡니다

고전적 명제는 n이 무한대로 갈 때 (Σ_iX_i−nμ)/(σ√n)가 N(0,1)에 분포수렴한다는 것입니다

각 X_i는 비대칭이거나 이산적이어도 되며 결론은 개별 입력의 모양이 아니라 표준화된 합에 관한 것입니다

독립성 아래 합은 nμ 주위로 커지고 표준편차는 σ√n처럼 커집니다

표본평균에서는 √n(Ȳ_n−μ)/σ가 같은 표준한계를 가지며 표준오차는 1/√n 속도로 줄어듭니다

중심화를 빼거나 잘못된 분산을 쓰거나 공분산을 무시하면 대상 자체가 달라져 정규근사가 무효가 될 수 있습니다

분포수렴은 고정된 표준화 문턱에 대한 극한명제이며 특정 n에서의 분포동일성을 주지 않습니다

수렴속도는 비대칭도, 꼬리두께, 격자효과와 더 강한 적률조건에 좌우되며 먼 꼬리에서는 느릴 수 있습니다

정규근사는 중심부에서는 괜찮아 보여도 큰 유한표본 손실확률을 상당히 낮게 평가할 수 있습니다

수익률에는 변동성 군집, 시계열 종속, 점프, 구조변화, 노출변화와 시간가변 분포가 나타납니다

약한 종속이나 Martingale용 중심극한정리도 있지만 각각 독립성 대신 정확한 정칙조건을 요구합니다

분산이 무한하면 고전적인 √n 정규한계가 완전히 실패하고 다른 척도 아래 비정규 안정분포 한계가 나타날 수 있습니다

상수 유한분산을 가진 비상관 정상 증분이면 Var(Σ_iX_i)=nσ²이므로 변동성이 √n에 비례합니다

자기공분산은 2Σ_{h=1}^{n−1}(n−h)γ_h를 더하므로 지속성이나 반전은 기간분산을 바꿉니다

복리, 확률변동성, 점프, 중첩자료와 달력효과도 일간 값을 연간으로 기계적으로 바꾸지 못하게 합니다

σ를 표본추정치로 바꾼 점근 표준오차는 그 추정량과 종속성 가정이 유효할 때만 작동합니다

이분산·자기상관 일관 방법은 관측이 독립인 척하지 않고 장기분산을 추정합니다

작은 표본, 무거운 꼬리, 자료탐색과 불안정한 평균은 정밀해 보이는 신뢰구간을 잘못 보정할 수 있습니다

종속성, 변동성 국면, 꼬리도표, 부분표본 안정성과 기간별 표준화 합의 변화를 확인합니다

중앙구간과 꼬리문턱의 경험적 포함률을 따로 비교하며 중앙값 근처의 성공으로 위험자본을 검증하지 않습니다

Bootstrap·강건·안정분포·명시적 시계열 대안의 가정이 의사결정과 진단에 더 맞으면 그 방법을 사용합니다