대수의 법칙과 중심극한정리 비교

평균 μ를 가진 관측 X_1,…,X_n의 표본평균은 X̄_n=n^(−1)Σ_iX_i입니다

대수의 법칙은 n이 클 때 X̄_n이 μ에 가까워지는지, 중심극한정리는 √n(X̄_n−μ) 같은 척도오차의 한계분포를 묻습니다

올바른 값으로 수렴한다는 사실만으로 오차속도, 모양, 신뢰구간이나 유용한 유한표본 근사가 생기지는 않습니다

약한 법칙은 모든 ε>0에 대해 P(|X̄_n−μ|>ε)→0이라고 말합니다

고정크기 오차의 확률이 사라진다는 뜻이지 모든 실현경로가 어느 순간부터 영원히 가까이 머문다는 뜻은 아닙니다

iid 관측에서는 유한기대값으로 넓은 약한 법칙을 얻지만 단순한 분산증명은 흔히 유한분산을 가정합니다

강한 법칙은 X̄_n→μ가 거의 확실하게 성립해 확률 0인 하나의 집합 밖 모든 결과에서 수렴한다고 말합니다

거의 확실한 수렴은 확률수렴을 함의하지만 추가 구조 없이 그 역은 성립하지 않습니다

강한 법칙도 점근명제이므로 특정 의사결정 허용오차에 n이 얼마나 커야 하는지는 알려주지 않습니다

유한 양의 분산 σ²을 가진 iid 변수에서는 √n(X̄_n−μ)/σ가 N(0,1)에 분포수렴합니다

√n 인자는 줄어드는 오차가 0으로 붕괴하지 않게 해 비퇴화한 한계모양을 드러냅니다

평균은 존재하지만 분산은 없는 무거운 꼬리처럼 고전적 중심극한정리가 실패해도 대수의 법칙은 성립할 수 있습니다

정상 에르고딕 과정은 대수의 법칙을 만족할 수 있지만 중심극한정리에는 종속성과 변동을 더 강하게 통제해야 합니다

금융시계열의 평균·분산·노출·유동성·국면이 바뀌면 긴 기록 하나가 하나의 법칙에서 반복추출된 것처럼 행동하지 않습니다

같은 위기군집이나 낡은 국면의 관측을 늘려도 행 개수만큼 유효정보가 늘지 않을 수 있습니다

충분히 약하게 종속된 많은 포지션에서 개별충격의 평균이 안정되는 현상은 대수의 법칙과 닮았습니다

공통요인, 꼬리종속, 집중가중치와 상관부도는 종목 수가 많다는 이유만으로 사라지지 않습니다

마찬가지로 투자기회집합 자체가 바뀌면 긴 평균수익률이 영구적인 기대수익률을 드러낸다고 보장할 수 없습니다

누적평균과 부분표본 추정을 그리고 종속성, 구조변화, 꼬리적률과 유효표본크기를 확인합니다

평균수렴을 불확실성 추정치처럼 쓰지 말고 관련 중심극한정리나 재표본방법으로 정당화한 표준오차를 사용합니다

두 정리를 인용하기 전에 추정대상, 수렴가정, 기간, 오차띠와 관측창·국면 민감도를 보고합니다