고유값·고유벡터와 금융 위험요인

행렬은 벡터의 길이와 방향을 일반적으로 함께 바꿉니다. 고유벡터는 변환 뒤에도 같은 직선 위에 남는 특별한 방향입니다.

대응 고유값은 그 방향의 크기가 몇 배가 되는지 나타냅니다. 음수면 방향까지 뒤집히지만 공분산 행렬의 고유값은 음수가 아닙니다.

고유벡터 자체의 길이는 임의이므로 보통 길이 1로 정규화합니다. 벡터와 그 음수는 같은 축을 표현합니다.

대각 원소는 각 자산의 분산이고 비대각 원소는 두 자산이 함께 움직이는 정도인 공분산입니다.

공분산 행렬은 대칭이고 양의 준정부호여서 실수 고유값과 서로 직교하는 고유벡터를 가질 수 있습니다.

표본 공분산은 관측자료에서 추정됩니다. 따라서 그 고유값과 고유벡터도 표본오차를 가진 추정량입니다.

수익률을 단위 고유벡터에 투영하면 그 투영수익률의 표본분산이 대응 고유값과 같습니다.

모든 고유값의 합은 공분산 행렬의 대각합, 즉 개별 변수 분산의 합과 같습니다.

한 고유값을 전체 합으로 나눈 비율은 그 축의 설명분산입니다. 크기 순 정렬은 위험방향의 우선순위를 보여줍니다.

스펙트럼 분해는 공분산 행렬을 고유벡터 방향과 고유값 크기의 합으로 표현합니다.

직교 축에서는 공분산이 0이므로 포트폴리오 분산을 각 축 노출의 제곱과 고유값의 곱으로 나눌 수 있습니다.

이 분해는 계산 좌표계를 바꾼 것입니다. 축들이 서로 무상관이라는 사실이 원래 경제충격의 독립성을 증명하지는 않습니다.

서로 가까운 고유값은 작은 자료 변화만으로도 대응 고유벡터가 크게 회전할 수 있습니다.

고유값이 정확히 같으면 그 공간 안의 어느 직교기저도 같은 분해를 만듭니다. 개별 벡터는 유일하지 않습니다.

부호 정렬, 벡터 간 각도, 부분공간 거리와 부트스트랩으로 안정성을 점검해야 단순 그림 비교의 오류를 줄일 수 있습니다.

첫 고유값 비중이 크면 많은 자산이 하나의 시장방향으로 함께 움직여 명목상 분산보다 실질 분산이 작을 수 있습니다.

유효차원은 고유값이 얼마나 고르게 퍼졌는지 요약합니다. 보유종목 수가 같아도 위험축 수는 크게 다를 수 있습니다.

위기에는 상관이 함께 오르며 첫 축의 비중이 커질 수 있습니다. 평온기 공분산만으로 위기 분산효과를 낙관하면 안 됩니다.

PCA의 주성분 적재량은 공분산 또는 상관행렬의 고유벡터이고, 설명분산은 고유값에서 계산합니다.

큰 고유값이 소수라는 사실은 근사 요인구조의 통계적 증거가 될 수 있지만 경제적 위험요인의 정체를 확정하지는 않습니다.

요인모형은 구조와 잔차를 명시하고, 고유분해는 공분산의 기하를 보여줍니다. 목적은 겹치지만 가정과 해석은 다릅니다.

수익률 정의, 표본빈도와 기간, 결측치, 이상치, 표준화 여부와 공분산 추정법을 밝힙니다.

고유값 전체 분포, 누적 비중, 주요 고유벡터와 부호 정렬 규칙을 제시하고 개별 축에 과도한 이름을 붙이지 않습니다.

롤링 창, 축소 공분산과 표본 밖 위험예측으로 견고성을 비교합니다. 선명한 스펙트럼 그림도 추정오차를 없애지는 않습니다.