Hayashi–Yoshida 공분산 추정량: 비동기 자산 가격을 다루는 방법

두 자산이 같은 거래 시간에 거래되더라도 실제 체결이나 호가 갱신 시각은 다를 수 있습니다. 유동성이 높은 주식에는 거래가 연달아 발생하지만, 거래가 드문 주식에는 새 호가나 체결이 한동안 없을 수 있습니다. 그러면 각 자산의 가격 변화는 서로 다른 시간 격자에서 관측됩니다. 관심 대상은 같은 시간대의 공변동일 수 있지만, 관측된 두 수익률이 반드시 동일한 시간 구간을 덮지는 않습니다.

익숙한 방법은 일정한 시각 격자를 만들고 각 자산에서 가장 최근에 관측된 가격을 가져오는 것입니다. 그러나 마지막 가격을 앞으로 복사했다고 해서 잠재 가격에 대한 새로운 독립 관측이 생기지는 않습니다. 복사한 가격은 여러 개의 0 수익률을 만들고, 다음 가격 갱신은 뒤늦은 움직임 하나처럼 나타날 수 있습니다. 이 방식은 두 자산의 동시 공변동 측정치를 왜곡할 수 있습니다. Epps는 주식 수익률의 관측 상관이 짧은 간격에서 작아지는 현상을 보고했으며, 비동기 관측은 그 현상을 일으킬 수 있는 한 가지 요인입니다. 짧은 구간에서 상관이 달라지는 패턴을 흔히 Epps 효과라고 부릅니다(Epps, 1979).

Hayashi와 Yoshida는 먼저 보간 규칙을 정하지 않고 원래의 비동기 수익률 증가분을 사용하는 추정량을 제시했습니다. 원 논문은 적절한 고빈도 표본화 조건을 둔 확산 가격 과정에서 일관성을 보였습니다(Hayashi & Yoshida, 2005). 후속 논문은 일반적인 비동기 표본화 체계에서 점근 정규성을 보였습니다(Hayashi & Yoshida, 2008). 핵심 발상은 간단하지만 적용할 때 주의가 필요합니다. 시각상 가장 가까운 관측끼리 묶는 것이 아니라, 수익률이 덮는 시간 구간이 겹치는지 확인합니다.

공통 시간 구간 \([0,T]\)에서 두 자산의 잠재 효율 로그가격을 \(X_t\), \(Y_t\)라고 하겠습니다. 단순한 연속 확산 모형을 다음과 같이 씁니다.

\[ dX_t=\mu^X_t\,dt+\sigma^X_t\,dW^X_t,\qquad dY_t=\mu^Y_t\,dt+\sigma^Y_t\,dW^Y_t, \]

브라운 운동의 순간 상관을 \(d[W^X,W^Y]_t=\rho_t\,dt\)라고 두면 목표는 적분 공변동입니다.

\[ [X,Y]_T=\int_0^T\sigma^X_t\sigma^Y_t\rho_t\,dt. \]

이는 선택한 관측 구간 동안 경로를 따라 누적되는 양입니다. 두 개의 고정된 가격 수준 사이의 공분산도 아니고, 자동으로 상관계수가 되는 것도 아닙니다. 단위는 두 수익률 단위의 곱입니다. 로그수익률을 퍼센트포인트로 표시했다면 추정값 단위는 퍼센트포인트 제곱입니다. 실현변동성 계산 안내는 단변량 제곱수익률 측정치를 설명하고, 금융의 이차변동 안내는 다변량 실현 공분산이 확장하는 경로 변동량을 설명합니다.

적분 공변동은 양수 또는 음수일 수 있습니다. 양수이면 같은 시간대의 수익률 증가분 곱 중 같은 부호의 항이 우세했다는 뜻이고, 음수이면 반대 부호의 곱이 더 큰 누적 기여를 했다는 뜻입니다. 어느 쪽이든 자산이 함께 움직인 이유, 한 자산이 다른 자산을 움직였는지, 포트폴리오 규칙이 수익을 냈는지를 그 부호만으로 입증하지는 못합니다.

일반적인 실현 공분산을 계산할 때는 일정한 달력 시각을 정하고 각 자산에서 직전 가격을 가져올 수 있습니다. 편리하지만 답은 격자 간격과 보간 규칙에 따라 달라질 수 있습니다. 가격이 오래된 상태라면 여러 격자 시점이 같은 호가를 반복합니다. 뒤늦은 가격 갱신은 상대 자산의 수익률과 다른 시간 범위를 덮는 단일 수익률처럼 잡힐 수 있습니다.

그 결과 동시 공변동이 겉보기 선행·후행 항에 들어가거나, 격자를 더 촘촘하게 할수록 0 쪽으로 약해져 보일 수 있습니다. Epps의 초기 실증 결과는 짧은 간격에서 관측된 동조성이 달라지는 모습을 보여줍니다. 후속 연구는 비동기 표본과 잡음이 있는 가격에서 직전 시점 방식으로 계산한 공분산의 편향을 분석했습니다. 따라서 고빈도에서 상관이 낮아지는 패턴만으로 비동기 시각이 유일한 원인이라고 결론 내릴 수는 없습니다.

HY는 각 관측 수익률의 시간 구간을 그대로 사용하여 특정한 동기화 선택을 피합니다. 그렇다고 시각 정보가 중요하지 않은 것은 아닙니다. 두 자산은 동일한 시계 기준을 사용해야 하고, 거래 세션 경계와 분석 구간의 시작·끝을 정해야 합니다. 또한 잡음이 있는 체결가격, 잘못된 호가, 서로 다른 거래 세션이 섞인 목표 구간을 자동으로 보정하지 않습니다.

자산 \(X\)의 관측 시각이 \(0=t_0<t_1<\cdots<t_n=T\), 자산 \(Y\)의 관측 시각이 \(0=s_0<s_1<\cdots<s_m=T\)라고 하겠습니다. 관측된 로그수익률 증가분은

\[ \Delta X_i=X_{t_i}-X_{t_{i-1}},\qquad \Delta Y_j=Y_{s_j}-Y_{s_{j-1}} \]

입니다. 각 수익률의 시간 구간을 \(I_i=(t_{i-1},t_i]\), \(J_j=(s_{j-1},s_j]\)로 표시하면 HY 추정량은

\[ \widehat{[X,Y]}^{HY}_T =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} \Delta X_i\,\Delta Y_j\, \mathbf{1}\{|I_i\cap J_j|>0\}. \]

두 구간이 양의 길이만큼 겹칠 때 그 수익률 곱을 포함합니다. 끝점 하나만 정확히 공유하는 경우는 양의 길이로 겹친 것이 아닙니다. 한 자산의 수익률 증가분은 다른 자산의 수익률 여러 개와 겹칠 수 있으며, 겹치는 쌍마다 곱 한 항씩 더합니다. 가격을 다음 관측까지 앞으로 채우거나, 실제로 관측하지 않은 부분 수익률을 만들어 나누지 않습니다.

고전적인 연속 확산 모형에서 각 관측 구간이 충분히 촘촘해지고 적절한 표본화 조건이 충족되면, 최대 관측 간격이 줄어들수록 겹치는 구간의 합은 적분 공변동으로 수렴합니다. 원래의 결과는 비동기 관측에 대한 것입니다. 원시 틱 가격에서 흔히 나타나는 시장 미시구조 잡음으로 오염된 가격까지 해결한다는 보장은 아닙니다.

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두 자산이 같은 5단위 세션에서 관측되었다고 합시다. 아래 표는 각 구간의 가상 로그수익률을 퍼센트포인트 단위로 나타냅니다. 관측 시각을 일부러 서로 어긋나게 두어 수익률 구간의 끝점이 모두 일치하지 않도록 했습니다.

예를 들어 \(X\)의 첫 구간은 \(Y\)의 첫 구간과 0부터 1.0까지 겹치고, \(Y\)의 두 번째 구간과는 1.0부터 1.8까지 겹칩니다. 따라서 두 곱을 모두 포함합니다. 다음 \(X\) 구간은 \(Y\)의 두 번째 수익률과 1.8부터 2.4까지, 세 번째 수익률과 2.4부터 3.2까지 겹칩니다. 마지막 \(X\) 구간은 \(0.02-0.01\ \mathrm{pp}^2\)를 더합니다. 여섯 항을 합하면 다음과 같습니다.

\[ \widehat{[X,Y]}^{HY}_T =0.12+0.20+0.10-0.04+0.02-0.01 =0.39\ \mathrm{pp}^2. \]

퍼센트포인트 1은 소수 수익률로 \(0.01\)이므로 \(0.39\ \mathrm{pp}^2=3.9\times10^{-5}\) 소수 로그수익률 제곱입니다. 이 입력값은 계산 과정을 보이려고 만든 가상 수치입니다. 결과는 해당 구간에서 누적된 공분산 추정량이지, 0.39% 수익률이나 상관계수, 실제 시장 관측값이 아닙니다.

예시의 양수 합은 겹치는 구간에서 양수-양수 및 음수-음수 곱의 기여가 음수 곱의 기여보다 컸음을 뜻합니다. 두 자산이 각각 0.39% 올랐다는 뜻은 아니며, 두 가격 움직임의 39%가 공유되었다는 뜻도 아닙니다. 공분산의 크기는 수익률 단위와 구간 길이, 거래 활동에 따라 달라집니다. 숫자가 크다면 표준화된 의존성이 강해서일 수도 있지만, 단위나 대상 구간이 달라서일 수도 있습니다.

상관계수는 단위가 없는 값으로, 공분산을 변동성 추정치로 나누어 조정해야 합니다. 서로 다른 시간 격자에서 별도로 계산한 분산 추정치를 단순히 대입한 비율이 항상 유효한 상관 추정치가 되는 것은 아닙니다. 유한 표본에서는 그런 비율이 \([-1,1]\) 범위를 벗어날 수도 있습니다. 적분 공분산만으로는 공통 뉴스, 지연된 가격 조정, 공통 요인 노출 등 어떤 경로가 함께 움직임을 만들었는지 구별할 수도 없습니다.

포트폴리오 분석에 쓴다면 자산 비중, 시간 구간, 수익률 단위, 공분산 계산 규칙을 명시하세요. 양의 HY 추정치를 매수 신호로, 음수 추정치를 헤지 지시로 해석하면 안 됩니다. 외환 통화쌍의 상관과 공통 노출 안내는 상관과 공통 노출도 신중히 해석해야 하는 이유를 설명합니다. 과거 실현 측정치는 선택한 데이터 구간을 요약합니다. 다음 수익률을 예측하거나 헤지가 미래 손실을 상쇄한다고 보장하지 않습니다.

고전적인 추정량은 이산 시각에 비동기 관측되는 확산형 가격을 대상으로 만들어졌습니다. 실무에서 그 근사를 신뢰하려면 각 시계열의 최대 관측 간격이 분석 구간에 비해 충분히 짧아야 합니다. 거래가 오래 끊겨 큰 간격의 수익률이 남으면 그 증가분은 넓은 시간 구간을 덮습니다. 계산 자체는 가능해도 촘촘한 관측의 근사가 약해질 수 있습니다.

관측 체결가격에는 bid–ask bounce, 가격 단위의 이산성, 오래된 호가, 지연 등 측정 효과가 들어갈 수 있습니다. HY의 겹침 규칙은 시각이 다른 문제를 처리하지만 이런 가격 오차를 없애지 않습니다. Griffin과 Oomen은 독립·동일분포 미시구조 잡음이 있는 비동기 표본에서 실현 공분산, 선행·후행 보정, HY의 성질을 비교했습니다(Griffin & Oomen, 2011). 상대적인 유한 표본 성능은 잡음과 상관 조건에 달라질 수 있습니다. 따라서 일반적인 원시 HY가 잡음에 강하다고 설명하면 안 됩니다.

공통 시간 구간도 타당하게 정해야 합니다. 한 시장은 닫혀 있고 다른 시장은 열려 있다면, 달력상 같은 구간을 썼다는 이유만으로 두 수익률이 같은 활성 거래 기간을 반영한다고 볼 수 없습니다. 시간대 변환, 서머타임 변경, 장 시작·마감 경매, 액면분할 등 기업행사, 결측 구간, 이상치 제거가 겹치는 구간 집합을 바꿀 수 있습니다. 이런 선택을 단순한 타임스탬프 관리로 취급하지 말고 기록해야 합니다.

점 추정치 자체는 신뢰구간이 아닙니다. Hayashi와 Yoshida는 이후 일반적인 비동기 표본화 체계에서 점근 정규성을 보였지만, 실제 표준오차를 얻으려면 해당 표본 설계와 가정에 맞는 실행 가능한 분산 추정법이 필요합니다. 관측이 드물거나 간격이 크게 불균형하면 겹침 합이 안정적으로 보여도 불확실성이 클 수 있습니다.

고빈도 가격에 잡음이 있으면 잡음과 비동기성을 함께 다루는 방법을 쓰거나, 잡음 영향을 제한하는 표본화·전처리 규칙을 근거와 함께 제시해야 합니다. Christensen, Kinnebrock, Podolskij는 잡음이 있는 확산 모형과 비동기 자료를 위한 사전평균 공분산 추정량을 개발했으며, 원자료를 먼저 동기화하지 않고 적용할 수 있는 사전평균 HY 계열 추정량도 제시했습니다. Barndorff-Nielsen과 공동 저자들은 잡음과 비동기 거래를 고려하고 양의 준정부호 공분산 추정치를 구성하는 다변량 realized-kernel 방법을 제안했습니다.

이 행렬 성질은 포트폴리오 최적화나 위험 시스템에 일관된 공분산 행렬이 필요할 때 중요합니다. 서로 다른 겹침 집합에서 따로 계산한 쌍별 HY 추정치를 모았다고 해서 양의 준정부호 행렬이 자동으로 만들어지는 것은 아닙니다. 고유값을 임의로 바꾸어 조용히 “수정”하지 마세요. 행렬을 사영하거나 축소하거나 다른 추정량을 사용했다면 별도의 모델링 단계로 보고해야 합니다. 잡음 강건 추정량도 조율 파라미터와 가정이 있으므로 모든 시장 데이터 결함을 자동으로 해결하지 않습니다.

유용한 보고에는 두 가격 계열이 체결가격·호가·중간가격 중 무엇인지, 공통 시계와 거래 세션, \([0,T]\)의 시작·끝, 수익률 변환, 겹침 판정 규칙, 관측 간격 요약, 사용한 추정량이 포함됩니다. 공분산 단위와 대상 구간도 적으세요. 오래된 관측, 이상치, 점프, 경매 체결, 시장 미시구조 잡음을 어떻게 처리했는지 밝혀야 합니다. 비동기 입력이라면 원래 구간을 사용했는지, 가격을 먼저 동기화했는지도 공개하세요.

적분 공분산을 관례적으로 연율화하지 마세요. 구간 추정치를 시간당 비율이나 연율 수치로 바꾸려면 시간 스케일에 대한 가정과 야간·휴장 구간의 처리 방법을 명시해야 합니다. 상관계수로 바꾸었다면 분모의 분산 추정량을 밝히고 결과 행렬의 제약도 확인하세요. 이런 보고 선택은 겹침 공식만큼 해석에 영향을 줍니다.

Hayashi–Yoshida 추정량의 장점은 동기화된 가격을 임의로 만들어 내지 않고, 비동기 구간의 수익률 곱을 직접 합산한다는 점입니다. 다만 고전적 보장은 잡음이 없는 확산 모형과 충분히 촘촘한 표본화 같은 조건에 달려 있습니다. 인과관계를 입증하거나 시장 미시구조 잡음을 해결하거나 신뢰할 만한 헤지·매매 규칙을 약속하지 않습니다. 추정값을 제시할 때 이 경계를 함께 설명해야 합니다.