이차변동: 확률경로와 변동성을 잇는 핵심 개념

[0,t]의 분할 π에서 Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})²을 만들고 최대 간격을 0으로 보냅니다

이 합이 해당 확률적 의미에서 수렴하면 그 극한을 이차변동 [X]_t라고 합니다

이는 한 경로에 누적된 변화개념이며 여러 결과에서 X_t가 보이는 통계적 분산과 같은 대상이 아닙니다

연속 유한 총변동 경로는 작은 제곱증분이 절댓값 합보다 빠르게 사라지므로 이차변동이 0입니다

그래서 보통의 미분가능 가격곡선에는 고전적 연쇄법칙을 바꾸는 2차 보정항이 생기지 않습니다

이차변동은 각각의 1차 움직임이 작아진 뒤에도 남아 있는 거친 정도만 분리합니다

표준 브라운 운동은 모든 유의미한 구간에서 총변동이 무한이지만 [W]_t = t를 만족합니다

직관적으로 크기가 Δt인 제곱증분이 약 1/Δt개 있으므로 합은 1차 크기로 남습니다

이는 극한관계이지 dW/dt가 존재하거나 모든 개별 증분의 제곱이 정확히 dt라는 점별 대수식은 아닙니다

이차공변동 [X,Y]는 촘촘한 분할에서 ΔX·ΔY의 곱을 더합니다

편극항등식 [X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y])은 공동변동과 개별 이차변동을 연결합니다

상관된 브라운 구동항에서는 공변동이 순간 의존성을 포트폴리오와 다변량 Itô 공식으로 전달합니다

dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t인 연속 확산과정의 이차변동은 [X]_t = ∫_0^t σ_s² ds입니다

확률증분의 제곱은 누적되어 사라지지 않으므로 테일러 전개에서 1/2 f''(X_t)d[X]_t가 남습니다

이 보정항이 확산 가격결정 방정식을 만들고 확률미적분을 보통 미분법과 구별합니다

점프가 있는 준마팅게일의 이차변동은 연속 마팅게일 변동에 Σ_{s≤t}(ΔX_s)²을 더한 값입니다

연속 변동성이 작았더라도 큰 점프 하나가 하루의 실현 이차움직임 대부분을 차지할 수 있습니다

경제적 질문이 원인별 차이에 의존한다면 연속변동·점프·유한변동 드리프트를 구분해야 합니다

고빈도 실현분산은 관측된 장중 수익률의 제곱합으로 잠재 이차변동을 근사합니다

너무 성긴 표본은 움직임을 놓치고 너무 촘촘한 표본은 호가반전·가격단위·비동시시세·오류틱을 키웁니다

표본간격을 비교하고 점프를 명시적으로 처리하며 거래시간과 수익률 정의를 맞춘 뒤 변동성으로 해석해야 합니다