Realized volatility a due scale: stimare la varianza con rumore di microstruttura

Spesso si calcola la varianza realizzata sommando i rendimenti al quadrato. Se i prezzi logaritmici osservati seguissero perfettamente il prezzo efficiente, più osservazioni permetterebbero di descriverne meglio il percorso. In pratica, prezzi di transazione e quotazioni risentono anche di bid–ask bounce, discrezione dei prezzi, latenza e altri effetti di microstruttura. A intervalli molto brevi questi effetti possono essere grandi rispetto al movimento del prezzo efficiente.

Di conseguenza, la varianza realizzata ingenua può aumentare quando le osservazioni diventano più frequenti, anche se la varianza integrata sottostante nella sessione non è cambiata. Ciò non dimostra che la volatilità economica dell’attività sia necessariamente aumentata: può derivare dal quadrato e dalla somma ripetuta di differenze di prezzo rumorose. La guida al calcolo della volatilità realizzata illustra la normale somma dei rendimenti al quadrato; qui ci concentriamo sulla correzione di una specifica fonte di bias ad alta frequenza.

La TSRV, introdotta da Zhang, Mykland e Aït-Sahalia nel loro studio originale sulle due scale temporali, usa due risoluzioni per scopi diversi. Una griglia rada riduce il numero di incrementi contaminati dal rumore. La media di griglie rade con origini sfalsate evita di dipendere da un unico punto iniziale arbitrario. La griglia fine completa fornisce una stima del rumore da sottrarre. La logica dipende da ipotesi e scelte finite di campione: il risultato è una stima con incertezza, non un’osservazione ripulita del vero percorso dei prezzi.

Indichiamo con \(X_t\) il prezzo logaritmico efficiente latente, modellato nella finestra come un processo continuo con tasso di varianza locale \(\sigma_t^2\). L’obiettivo è la sua varianza integrata:

\[ IV_T=\int_0^T\sigma_t^2\,dt. \]

All’istante di osservazione \(t_i\), supponiamo che il prezzo logaritmico registrato sia

\[ Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}, \]

dove \(\epsilon_{t_i}\) è il rumore di osservazione. La derivazione classica assume, come modello di riferimento, rumore a media zero, indipendente fra istanti di osservazione e dal processo del prezzo efficiente, con varianza costante \(\omega^2\). Assume inoltre una griglia regolare e un modello continuo adeguato del prezzo efficiente nella finestra. Sono condizioni modellistiche, non descrizioni universali dei dati di borsa.

L’incremento osservato è \(\Delta Y_i=\Delta X_i+\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\). L’errore di prezzo a un’osservazione entra con segni opposti nei due rendimenti adiacenti: un errore positivo alza un rendimento e abbassa quello successivo. Per questo i rendimenti costruiti da prezzi rumorosi non si comportano come errori di misura indipendenti. La guida alla variazione quadratica in finanza spiega perché, in assenza di rumore, la somma degli incrementi al quadrato misura la variazione del percorso.

Qui l’obiettivo è la varianza su una finestra temporale definita. Non è una stima dello spread denaro-lettera, una previsione o un costo di esecuzione realizzato. Per una diversa domanda sui prezzi di transazione, consulta lo stimatore dello spread bid–ask di Roll. È importante distinguere l’obiettivo: varie procedure di microstruttura usano prezzi ad alta frequenza ma stimano quantità diverse.

Per \(n\) rendimenti sulla griglia fine, definiamo

\[ RV_{\mathrm{all}}=\sum_{i=1}^{n}(Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}})^2. \]

Nel modello di riferimento, la componente rumorosa di un rendimento osservato è \(\eta_i=\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\), con \(\operatorname{Var}(\eta_i)=2\omega^2\). Trascurando i termini incrociati con aspettativa nulla sotto le ipotesi di indipendenza, il valore atteso della somma sulla griglia fine è approssimativamente

\[ E[RV_{\mathrm{all}}]\approx IV_T+2n\omega^2. \]

Il primo termine è la varianza integrata desiderata. Il secondo accumula un contributo di rumore per ogni rendimento fine. Quando l’intervallo di campionamento si riduce e \(n\) cresce, il rumore può dominare. Ecco perché «campionare il più spesso possibile» non è una regola sicura se si ignora il rumore di misura. Aït-Sahalia, Mykland e Zhang analizzano il problema della frequenza di campionamento in presenza di rumore di microstruttura, compresa la possibilità di una frequenza ottimale finita.

L’approssimazione riguarda un valore atteso sotto un modello. Un campione specifico include anche termini incrociati casuali fra incrementi del prezzo efficiente e del rumore, quindi il valore realizzato può differire dall’attesa. Se la varianza del rumore cambia durante la giornata, gli errori sono serialmente dipendenti o il campionamento è irregolare, la semplice espressione \(2n\omega^2\) può non descrivere il bias. In questi casi una formula familiare può produrre un numero dall’aspetto preciso che però corregge la quantità sbagliata.

Scegli un intero \(K>1\). Per ogni offset \(k=0,\ldots,K-1\), calcola la varianza realizzata su una griglia rada prendendo un prezzo osservato ogni \(K\):

\[ RV_{K,k}=\sum_j\left(Y_{t_{k+jK}}-Y_{t_{k+(j-1)K}}\right)^2. \]

Ogni incremento rado copre un intervallo più lungo, ma la griglia continua a coprire all’incirca la stessa finestra di osservazione. Si fa la media sugli offset disponibili:

\[ \overline{RV}_K=\frac{1}{K}\sum_{k=0}^{K-1}RV_{K,k}. \]

Gli offset contano: una sola griglia rada può iniziare appena prima o appena dopo un grande movimento e rendere il risultato sensibile a quella scelta. La media di griglie sfalsate riduce questa dipendenza dal punto iniziale, ma non crea \(K\) insiemi di dati indipendenti: le griglie riutilizzano le osservazioni e sono statisticamente dipendenti.

Con rumore di osservazione indipendente e a varianza costante, i due termini di rumore agli estremi di un rendimento rado provengono da osservazioni distinte; la varianza della loro differenza rimane \(2\omega^2\). I rendimenti radi sono meno numerosi di quelli fini, quindi la stima rada media accumula meno bias da rumore. Il contributo del segnale resta circa la stessa varianza integrata, perché gli incrementi radi coprono la finestra anziché una sua frazione.

L’illustrazione di questa guida è concettuale: confronta un percorso osservato frastagliato con griglie sfalsate più rade attorno a un percorso latente più liscio. Non mostra dati di mercato né un risultato stimato.

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Per stimatori basati su massimi e minimi, anziché su questa costruzione a due griglie, consulta la guida agli stimatori di volatilità basati sul range OHLC.

Sia \(\bar n\) il numero medio di rendimenti radi fra le griglie di offset e sia \(\lambda=\bar n/n\). Nel modello di riferimento, il bias da rumore medio delle griglie rade è circa \(2\bar n\omega^2\). Quello della griglia fine è circa \(2n\omega^2\), quindi \(\lambda RV_{\mathrm{all}}\) contribuisce circa \(2\bar n\omega^2\). La sottrazione annulla il termine di rumore principale:

\[ TSRV_{\mathrm{raw}}=\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}. \]

Questa differenza grezza sottrae anche una frazione \(\lambda\) del segnale di varianza integrata, presente in entrambe le varianze realizzate. Una normalizzazione comune a campione finito è quindi

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}}{1-\lambda}. \]

Il denominatore ripristina il coefficiente del segnale nel semplice calcolo dell’aspettativa. Le convenzioni e il trattamento degli estremi variano fra implementazioni: documenta la definizione esatta di \(n\), l’insieme di offset e il calcolo di \(\bar n\). La correzione non elimina l’incertezza campionaria e non ripara un modello del rumore errato. Nell’impostazione asintotica classica, \(\lambda\) si riduce all’aumentare del campione, ma in una finestra breve il fattore finito può essere rilevante.

La stima può essere negativa se \(\overline{RV}_K<\lambda RV_{\mathrm{all}}\). Non significa che la variazione fisica sia negativa: la sottrazione del rumore a campione finito ha superato la stima rada. Sostituire il valore con zero può essere comodo per una visualizzazione, ma modifica lo stimatore e aggiunge una regola di troncamento. Nell’analisi conserva e riporta il valore grezzo, verifica scale e ipotesi e dichiara esplicitamente ogni troncamento successivo.

Supponiamo di avere sette prezzi logaritmici osservati ipotetici, da cui derivano sei rendimenti fini in punti base: \([1,1,-1,-1,1,1]\) bp. È una piccola sequenza costruita per illustrare l’aritmetica, non un dato di borsa. La varianza realizzata fine è

\[ RV_{\mathrm{all}}=1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Poniamo \(K=2\). Il primo offset raggruppa rendimenti fini adiacenti nei rendimenti radi \([2,-2,2]\) bp, con somma dei quadrati \(4+4+4=12\,\mathrm{bp}^2\). L’offset sfalsato produce \([0,0]\) bp, con somma pari a 0. La media delle due stime di griglia è \(\overline{RV}_K=(12+0)/2=6\,\mathrm{bp}^2\).

Ci sono sei rendimenti fini; i due offset contengono rispettivamente tre e due rendimenti radi, perciò \(\bar n=(3+2)/2=2.5\). Ne segue \(\lambda=2.5/6=5/12\), e quindi

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{6-(5/12)6}{1-5/12}=\frac{3.5}{7/12}=6\,\mathrm{bp}^2. \]

In unità di rendimento decimale al quadrato, la stima è \(6\,\mathrm{bp}^2=6\times10^{-8}\). La radice quadrata è circa \(2.45\) bp per questa finestra ipotetica; non è annualizzata. L’uguaglianza numerica con la varianza realizzata fine dipende dalla sequenza costruita e non è un’identità della TSRV. Percorsi diversi possono produrre valori maggiori, minori o persino negativi.

L’aritmetica rende visibile anche un limite del modello: il percorso latente e il rumore non sono osservati separatamente, quindi questo campione da solo non dimostra che \(6\,\mathrm{bp}^2\) sia la varianza integrata effettiva. Si possono verificare somme, scala e unità, ma non ricavare dall’esempio la scomposizione nascosta. La letteratura empirica tratta anche i realized kernel, una diversa famiglia di correzioni per il rumore ad alta frequenza; questi metodi hanno ipotesi e scelte implementative proprie.

La scala \(K\) bilancia il numero di rendimenti radi con la media e la correzione del rumore. Se \(K\) è troppo piccolo, restano molti incrementi brevi e può persistere una forte sensibilità al rumore. Se è troppo grande, rimangono pochi rendimenti radi: la stima diventa instabile ed è più esposta agli effetti della finestra finita. La media degli offset aiuta con l’allineamento della griglia, ma non può creare informazioni assenti da un campione breve o di scarsa qualità.

Nell’analisi asintotica originale, la distanza rada preferita cresce con la dimensione del campione; con la notazione e le condizioni di riferimento dell’articolo è dell’ordine di \(n^{2/3}\). È un risultato teorico di scalatura, non un’istruzione universale sul numero di secondi o osservazioni. L’ottimo dipende dal rapporto rumore-segnale e dalle ipotesi; lavori successivi e implementazioni pratiche possono usare regole di taratura e convenzioni sugli estremi differenti. Per rendere il calcolo riproducibile, riporta intervallo di campionamento, \(K\), offset, confini della sessione e normalizzazione a campione finito.

Un’analisi difendibile può confrontare un insieme prespecificato di valori plausibili di \(K\) e mostrare la sensibilità, invece di scegliere a posteriori l’impostazione che produce il risultato più attraente. Se le stime cambiano molto, l’instabilità è parte del risultato. La scala va scelta in base al disegno dei dati e a una regola documentata, non cercando prima il valore di volatilità desiderato. Il confronto può includere una varianza realizzata più rada o un’alternativa robusta al rumore, ma le misure vanno identificate separatamente.

La correzione classica è derivata per una struttura specifica del rumore. Bid–ask bounce e altri effetti di microstruttura possono essere serialmente dipendenti, variare durante la sessione, dipendere dalla liquidità o correlare con gli incrementi del prezzo efficiente. Hansen e Lunde documentano nel loro studio sulla varianza realizzata e il rumore di microstruttura interazioni che possono includere dipendenza temporale e correlazione con le variazioni del prezzo efficiente. Aït-Sahalia, Mykland e Zhang sviluppano in seguito metodi a due scale per rumore di microstruttura dipendente. Questa estensione rende importante distinguere lo stimatore modificato dalla formula originale con rumore iid; non implica che la formula originale gestisca ogni forma di dipendenza.

Altri problemi pratici sono orari di osservazione irregolari, attività campionate in modo asincrono, quotazioni obsolete, discrezione dei prezzi, salti, transazioni errate, effetti di apertura e chiusura e dati mancanti. Possono influenzare sia la correzione sulla griglia fine sia i rendimenti presenti nelle griglie rade. Se i salti fanno parte della variazione quadratica obiettivo o vanno separati dipende dalla domanda di ricerca; la TSRV da sola non decide questa scelta modellistica. Anche filtrare osservazioni modifica la griglia e va documentato.

La robustezza al rumore non è immunità a ogni problema dei dati. Prima di interpretare la stima come misura della varianza latente, definisci se gli input sono prezzi di transazione, quotazioni o prezzi medi; indica la trasformazione dei rendimenti e la base temporale; verifica la regolarità degli intervalli; registra le regole di pulizia e di sessione; e valuta la sensibilità a \(K\). Se il processo del rumore viola le ipotesi di base, usa un metodo progettato per quel caso e spiegane le condizioni. Non descrivere una stima negativa come volatilità negativa e non convertirla silenziosamente in un numero positivo.

Un resoconto trasparente indica finestra obiettivo, serie di prezzi in ingresso, intervallo di campionamento, numero di rendimenti fini, distanza rada \(K\), insieme di offset, regola sugli estremi, ipotesi sul rumore, normalizzazione, unità ed eventuale troncamento. Si possono mostrare sia la differenza grezza sia la stima normalizzata, accompagnate da un intervallo di sensibilità su scale prespecificate. Questi dettagli rendono verificabile il calcolo ed evitano che una stima di varianza venga scambiata per una quotazione, una previsione futura o prova di una strategia redditizia.

La varianza integrata si riferisce alla finestra osservata. Annualizzarla richiede una convenzione temporale esplicita e non dovrebbe nascondere pattern intraday, intervalli notturni o pause di contrattazione. La radice quadrata cambia l’unità in volatilità della finestra, ma non crea un orizzonte previsionale. Una misura storica realizzata può essere un input di un modello; la capacità predittiva va però valutata separatamente su dati non usati per scegliere le impostazioni dello stimatore.

Il contributo principale della TSRV è metodologico: sotto un modello esplicito di rumore additivo, usa due scale di campionamento per ridurre il bias principale che rende inconsistente la varianza realizzata ingenua ad alta frequenza. Non identifica l’origine di ogni oscillazione dei prezzi, non elimina il rischio di modello e non dice quale sarà la volatilità successiva. Questi limiti devono accompagnare il valore riportato.