La variazione quadratica in finanza spiegata
Scopri perché gli incrementi quadratici del percorso sopravvivono alle scale fini, producono la correzione di Itô e collegano la volatilità della diffusione alla varianza realizzata
Risposta diretta
La variazione quadratica è il limite degli incrementi quadratici del percorso su partizioni temporali sempre più fini. È nulla per i percorsi continui a variazione finita, è uguale al tempo trascorso per il moto browniano standard e produce la correzione nel calcolo di Itô
Eleva al quadrato gli incrementi prima di raffinare il tempo
Per una partizione π di [0,t], forma Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})² e raffina la maglia verso zero
Quando queste somme convergono nel senso probabilistico pertinente, il loro limite è la variazione quadratica [X]_t
È un concetto di accumulo lungo il percorso, non lo stesso oggetto della varianza statistica di X_t tra risultati ripetuti
I percorsi lisci e a variazione finita scompaiono
Un percorso continuo di variazione totale finita ha variazione quadratica nulla perché i suoi piccoli incrementi quadratici svaniscono più rapidamente della loro somma assoluta
Per questo le ordinarie curve di prezzo differenziabili non generano una correzione di secondo ordine nelle regole classiche della catena
La variazione quadratica isola la rugosità che resta visibile dopo che i movimenti di primo ordine sono diventati individualmente piccolissimi
La rugosità browniana sopravvive a ogni scala
Il moto browniano standard ha variazione totale infinita su ogni intervallo non banale, ma soddisfa [W]_t = t
In termini euristici, circa 1/Δt incrementi hanno ciascuno ampiezza quadratica vicina a Δt, quindi la loro somma resta dell'ordine di uno
Questa relazione è un enunciato di limite, non l'affermazione algebrica puntuale che dW/dt esista o che ogni incremento quadratico sia uguale a dt
La covariazione registra il movimento congiunto e rugoso
La covariazione quadratica [X,Y] somma i prodotti ΔX·ΔY su partizioni fini
La polarizzazione dà [X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y]), collegando la variazione congiunta alle singole variazioni quadratiche
Per driver browniani correlati, la covariazione trasferisce la dipendenza istantanea nelle formule di Itô per portafogli e modelli multivariati
La formula di Itô conserva il termine di secondo ordine
Per dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t, la variazione quadratica continua è [X]_t = ∫_0^t σ_s² ds
Lo sviluppo di Taylor conserva 1/2 f''(X_t)d[X]_t perché gli incrementi stocastici quadratici si accumulano invece di scomparire
Questa correzione guida le equazioni di pricing delle diffusioni e distingue il calcolo stocastico dal calcolo differenziale ordinario
I salti aggiungono le loro ampiezze quadratiche
Per una semimartingala con salti, la variazione quadratica include la variazione continua della martingala più Σ_{s≤t}(ΔX_s)²
Un salto ampio può quindi dominare il movimento quadratico realizzato di una giornata anche quando la volatilità continua era modesta
Separa variazione continua, salti e deriva a variazione finita quando la domanda economica dipende dalle loro diverse fonti
La varianza realizzata è uno stimatore, non il limite stesso
La varianza realizzata ad alta frequenza somma i rendimenti infragiornalieri osservati al quadrato per approssimare la variazione quadratica latente
Campionare troppo raramente perde movimento, mentre campionare troppo finemente amplifica il bid–ask bounce, la discreteness dei prezzi, le quotazioni asincrone e i tick errati
Confronta le griglie di campionamento, pulisci esplicitamente i salti, allinea gli orari di negoziazione e distingui la definizione del rendimento prima di interpretare la stima come volatilità
Domande frequenti
Che cos'è la variazione quadratica in termini semplici?
È il movimento che rimane dopo aver elevato al quadrato e sommato molti piccoli cambiamenti del percorso su una griglia temporale sempre più fine
Perché il moto browniano ha variazione quadratica t?
I suoi incrementi su una lunghezza Δt hanno scala quadratica Δt e circa t/Δt incrementi si accumulano fino a t nel limite
La variazione quadratica è uguale alla volatilità?
No. In una diffusione è uguale alla varianza integrata, mentre la volatilità è di solito il suo tasso istantaneo o una radice quadrata normalizzata
Come incidono i salti sulla variazione quadratica?
Ogni salto contribuisce con la propria ampiezza al quadrato, quindi la variazione quadratica contiene sia la variazione continua della martingala sia quella dei salti discreti