Stimatori di volatilità basati sul range OHLC: Parkinson, Garman–Klass, Rogers–Satchell e Yang–Zhang

Un rendimento close-to-close usa soltanto due prezzi di chiusura. Il massimo e il minimo del periodo forniscono anche informazioni sui movimenti tra apertura e chiusura. Gli stimatori basati sul range sfruttano questi dati per stimare la varianza, cioè il quadrato della volatilità.

Indichiamo con O il prezzo di apertura, H il massimo, L il minimo e C la chiusura dello stesso intervallo. Le formule seguenti usano il logaritmo naturale e producono una stima della varianza per intervallo; la radice quadrata è la volatilità per intervallo. I dati OHLC devono riferirsi a barre, fusi orari e definizioni di sessione coerenti.

Su n intervalli, lo stimatore di Parkinson è:

σ²_P = mean[(ln(Hᵢ/Lᵢ))²] / (4 ln 2)

Servono soltanto H e L. Nel modello di un percorso continuo senza drift, il range intraperiodale aggiunge informazioni sulla varianza che non emergono da due sole chiusure. Parkinson presuppone però un processo senza drift e un percorso continuo: salti di prezzo e gap fuori seduta non rientrano nel range di una singola sessione. Vedi il lavoro originale di Parkinson.

Il risultato è una varianza per l’intervallo osservato secondo quel modello, non una misura della volatilità futura. Se i prezzi hanno un drift significativo o salti, l’interpretazione basata sulle ipotesi dell’estimatore può non essere adeguata.

Lo stimatore Garman–Klass include anche C e O:

σ²_GK = mean[0.5(ln(Hᵢ/Lᵢ))² − (2 ln 2 − 1)(ln(Cᵢ/Oᵢ))²]

Il termine del range riassume il movimento nell’intervallo, mentre quello open-to-close ne corregge il contributo. La formula standard è derivata per una diffusione continua senza drift e senza un gap di apertura separato. Di conseguenza, non include automaticamente il salto tra la chiusura della seduta precedente e l’apertura di quella successiva. Il lavoro di Garman e Klass presenta uno stimatore costruito sui dati OHLC.

Lo stimatore Rogers–Satchell usa tutti e quattro i prezzi:

σ²_RS = mean[ln(Hᵢ/Oᵢ) ln(Hᵢ/Cᵢ) + ln(Lᵢ/Oᵢ) ln(Lᵢ/Cᵢ)]

A differenza delle forme standard di Parkinson e Garman–Klass, è progettato per restare non distorto in presenza di drift costante nel modello di diffusione continua. I termini mettono in relazione massimo e minimo con apertura e chiusura. La componente misura il movimento nell’intervallo e non aggiunge il rendimento overnight dalla chiusura precedente. Vedi Rogers e Satchell.

Se il prezzo cambia a mercato chiuso, il massimo e il minimo della seduta non registrano tutta la variazione. Yang–Zhang combina tre componenti su una finestra di n sedute:

• σ²_overnight è la varianza campionaria di ln(Oᵢ/Cᵢ₋₁), cioè il rendimento close-to-open. • σ²_open-close è la varianza campionaria di ln(Cᵢ/Oᵢ). • mean(RS) è la media dei contributi Rogers–Satchell nella finestra.

Nei mercati attivi 24/7, interpreta “overnight” come il rendimento tra la chiusura della barra precedente e l’apertura della successiva, non come una chiusura del mercato. Definisci i confini delle barre in modo coerente.

La formula è:

σ²_YZ = σ²_overnight + kσ²_open-close + (1 − k)mean(RS)

k = 0.34 / [1.34 + (n + 1)/(n − 1)]

Le due varianze campionarie usano il divisore n − 1, quindi n deve essere maggiore di 1. La componente overnight porta il gap close-to-open nella stima; RS tratta il drift intraseduta nel modello di base. Questa combinazione su più sedute è progettata per essere indipendente dal drift e tenere conto dei salti all’apertura sotto le ipotesi del modello. Poiché k dipende dalla lunghezza n della finestra, indicare n quando si confrontano i risultati. Il lavoro di Yang e Zhang introduce questo stimatore su più periodi.

La tabella è interamente ipotetica e serve solo a mostrare i calcoli. C₀ è la chiusura prima della prima seduta.

Le varianze medie per seduta risultano:

Per Yang–Zhang, i rendimenti overnight sono ln(100/100) = 0, ln(105/103) ≈ 0,01923 e ln(101/103) ≈ −0,01961; la loro varianza campionaria è circa 0,0003771. I rendimenti open-to-close sono ln(103/100) ≈ 0,02956, ln(103/105) ≈ −0,01923 e ln(105/101) ≈ 0,03884; la varianza campionaria è circa 0,0009731. Con n = 3, k ≈ 0,1018 e mean(RS) ≈ 0,0015458, quindi σ²_YZ ≈ 0,0018646. La deviazione standard giornaliera è la radice quadrata della varianza, circa 4,32%.

Tre sedute sono troppo poche per una stima del rischio stabile: i numeri illustrano soltanto i calcoli. Le differenze non indicano quale stimatore sarà più accurato sui dati reali.

Le formule di Parkinson, Garman–Klass e Rogers–Satchell calcolano la media dei contributi delle barre indicate. Yang–Zhang usa più sedute perché richiede il rendimento overnight. Non confrontare stime ottenute con intervalli, finestre o definizioni di sessione diverse come se fossero equivalenti.

Per dati giornalieri, puoi moltiplicare la varianza per seduta per il fattore annuo scelto e poi calcolare la radice quadrata per ottenere la volatilità annualizzata. Per esempio, 252 è una convenzione basata su circa 252 sedute di negoziazione, non una regola universale. L’annualizzazione non corregge dati errati, ipotesi non valide o gap non misurati.

Questi stimatori richiedono dati OHLC validi e intervalli definiti. Massimi o minimi mancanti, prezzi stale, barre assenti, split azionari, correzioni dei dati, cambi di fuso orario o cut-off di sessione diversi possono modificare il range e i rendimenti. Usa prezzi coerenti e applica le rettifiche in modo uniforme quando sono necessarie.

I modelli di base semplificano il processo dei prezzi. Parkinson e Garman–Klass richiedono condizioni di drift nullo e percorso continuo; Rogers–Satchell consente drift intraseduta nel modello di diffusione; Yang–Zhang include gap di apertura tramite la componente overnight, ma continua a dipendere dagli stimatori delle componenti e dai dati di più sedute. Salti intraseduta, scambi sporadici, limiti di prezzo e volatilità variabile possono ridurre la rappresentatività del risultato.

Gli stimatori basati sul range usano massimo e minimo, assenti in una semplice misurazione close-to-close. Per confrontarli con una stima basata soltanto sulle chiusure, consulta la guida al calcolo della volatilità realizzata. Qualunque metodo tu scelga, il risultato riassume dati passati su una finestra definita: non prevede direzione o ampiezza del movimento successivo e non costituisce un consiglio d’investimento.