Varianza rispetto a volatilità: la differenza della radice quadrata che cambia il pricing
Scopri perché la varianza è la volatilità al quadrato, come ogni misura si aggrega nel tempo e perché VIX, variance swap e rischio delle opzioni non possono essere confrontati con semplici medie
Risposta diretta
La varianza calcola la media degli scarti al quadrato dei rendimenti; la volatilità è la sua radice quadrata, di solito annualizzata. Una volatilità del 20% corrisponde a 0.20², cioè a una varianza di 0.04, quindi fare la media, scalare e negoziare le due misure non è equivalente
Il quadrato cambia unità e importanza relativa
La varianza usa unità di rendimento al quadrato. Il quadrato elimina i segni e dà ai grandi movimenti un peso sproporzionato. La deviazione standard riporta la misura all'unità originale del rendimento calcolando la radice quadrata
La convenzione di mercato chiama spesso “volatilità” la deviazione standard annualizzata. Perciò una volatilità del 10% e del 30% corrisponde rispettivamente a 0.01 e 0.09 di varianza. Il secondo stato ha una volatilità tripla ma una varianza nove volte maggiore
L'aggregazione temporale è più semplice nella varianza
Con rendimenti indipendenti e identicamente distribuiti, le varianze si sommano nel tempo. La volatilità quindi scala con la radice quadrata del tempo, non con il tempo stesso. Una volatilità a un giorno non può essere semplicemente moltiplicata per 252
Correlazione seriale, regimi variabili, stagionalità intraday, salti e finestre sovrapposte indeboliscono questa scorciatoia. Indica se il calcolo usa giorni di negoziazione o di calendario e quale intervallo di rendimento campiona
La volatilità media non è la volatilità della varianza media
La radice quadrata è non lineare. La media di diverse letture di volatilità in genere differisce dalla radice quadrata della loro varianza media. È una conseguenza diretta della disuguaglianza di Jensen
Per volatilità del 10% e del 30%, la media semplice della volatilità è 20%. La radice quadrata della varianza media è √((0.01 + 0.09) ÷ 2), circa 22.36%. La scelta cambia esposizione e confronti
I portafogli richiedono covarianza, non solo volatilità dei componenti
La varianza di portafoglio combina la varianza di ciascun asset con la covarianza tra gli asset. Due asset volatili possono formare un portafoglio meno volatile se i loro rendimenti non si muovono insieme; anche le correlazioni possono aumentare durante lo stress
Pesare le singole volatilità e chiamare il risultato volatilità del portafoglio ignora i movimenti incrociati. Calcola prima la struttura varianza-covarianza, poi la radice quadrata
I mercati delle opzioni spesso negoziano la varianza ma quotano la volatilità
Una chain di opzioni mostra l'IV come percentuale di volatilità leggibile. Eppure le strip di opzioni possono replicare payoff simili alla varianza e la matematica dell'indice Cboe usa pesi collegati alla replica di un variance swap
Per questo variazioni uguali dell'IV quotata non devono avere lo stesso valore economico a livelli iniziali diversi. Passare dal 10% all'11% cambia la varianza meno che passare dal 30% al 31%
VIX calcola la radice quadrata dopo aver aggregato i prezzi delle opzioni
La metodologia VIX combina quotazioni idonee di opzioni SPX in una misura della varianza attesa a 30 giorni, interpola l'orizzonte obiettivo e poi riporta la radice quadrata su una scala percentuale annualizzata
Il VIX non è quindi una media semplice delle IV mostrate dai contratti. Contano skew e pesi degli strike, quindi due superfici con IV at-the-money simili possono produrre valori d'indice diversi
Variance swap ed esposizione alla volatilità non sono intercambiabili
Il payoff di un variance swap è lineare nella varianza realizzata rispetto a uno strike di varianza. Un volatility swap pagherebbe sulla volatilità realizzata. Calcolare una radice quadrata introduce convessità, quindi strike equi e coperture sono diversi
Una posizione in opzioni aggiunge effetti di Delta, Gamma, skew, percorso ed esecuzione. Dire che è “long volatility” non identifica se il suo P&L assomigli a varianza, volatilità o a un'altra esposizione dipendente dallo stato
Documenta la misura realizzata prima del confronto
Specifica rendimenti semplici o log, campionamento close-to-close o intraday, numero di osservazioni, fattore di annualizzazione, trattamento della media, festività e dati mancanti. Convenzioni diverse possono produrre varianze realizzate diverse
Confronta quantità implicite e realizzate con orizzonti e unità coerenti. Non sottrarre mai una varianza come 0.04 direttamente da una quotazione di volatilità come 20%
Domande frequenti
Qual è la differenza tra varianza e volatilità?
La varianza calcola la media degli scarti al quadrato dei rendimenti. La volatilità è la sua radice quadrata e viene di solito mostrata come percentuale annualizzata, riportando il risultato alle unità di rendimento
Se la volatilità è del 20%, qual è la varianza?
In unità decimali annualizzate è 0.20² = 0.04. Chiamarla “4%” può creare confusione perché la varianza usa unità al quadrato; indica sempre esplicitamente convenzione e unità
Perché la volatilità scala con la radice quadrata del tempo?
Se gli incrementi del rendimento sono indipendenti e hanno varianza stabile, la varianza si somma nel tempo. Calcolandone la radice quadrata, la volatilità cresce con √time. I mercati reali possono violare queste ipotesi
Il VIX è una media della volatilità implicita SPX?
No. Usa una strip specificata di quotazioni di opzioni SPX e pesi degli strike per stimare la varianza a orizzonte costante, poi converte il risultato in un indice di volatilità annualizzato