Uji Stasioneritas KPSS: Hipotesis Nol, Statistik, dan Bandwidth

Uji Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin, disingkat KPSS, membalik hipotesis nol dalam uji Dickey–Fuller yang umum dikenal. Hipotesis nolnya menyatakan bahwa deret stasioner terhadap komponen deterministik yang ditetapkan. Dalam rancangan asli, alternatifnya mengizinkan komponen random walk dengan varians inovasi positif.

Statistik KPSS yang cukup besar menjadi bukti melawan hipotesis nol stasioneritas level atau tren yang dipilih. Statistik kecil berarti sampel belum menghasilkan bukti memadai untuk menolak hipotesis tersebut dengan spesifikasi itu. Hasil ini tidak membuktikan proses selalu stasioner, mean-nya akan tetap, atau harga akan kembali ke level yang dapat diperdagangkan.

Panduan stasioneritas dan unit root memperkenalkan konsep terkait. Perbandingan ADF dan Phillips–Perron menjelaskan dua uji yang menempatkan unit root sebagai hipotesis nol. Keduanya menjawab pertanyaan yang saling melengkapi, bukan versi yang bisa dipertukarkan.

KPSS merepresentasikan deret teramati sebagai

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

Di sini \(d_t\) adalah komponen deterministik, \(r_t\) komponen random walk, dan \(\epsilon_t\) galat stasioner. Untuk uji stasioneritas level, \(d_t\) berisi intersep. Untuk stasioneritas tren, ia memuat intersep dan tren waktu linear.

Hipotesis nol menetapkan varians inovasi random walk sama dengan nol, \(\sigma_u^2=0\). Tanpa random walk, deret berfluktuasi di sekitar konstanta atau tren deterministik yang ditentukan. Alternatifnya mengizinkan \(\sigma_u^2>0\), sehingga shock dapat terakumulasi sebagai tren stokastik alih-alih mereda di sekitar jalur deterministik.

Ini adalah model yang dipertahankan dalam pengujian, bukan klaim bahwa semua alternatif adalah random walk buku teks. Patahan struktural, persistensi fraksional, dinamika nonlinear, varians berubah, atau komponen deterministik yang salah juga dapat membuat model nol kurang sesuai. Uji ini menunjukkan ketegangan dengan spesifikasi stasioneritas, bukan mengidentifikasi satu model pengganti.

Regresikan dahulu observasi pada komponen deterministik yang dipilih dan sebut residualnya \(\hat e_t\). Jumlah parsial kumulatifnya ialah

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

Statistik KPSS umumnya ditulis

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

dengan \(n\) sebagai ukuran sampel dan \(\hat{\omega}^{\,2}\) sebagai estimasi varians jangka panjang residual. Residual dengan tanda sama dalam waktu lama mendorong \(S_t\) menjauh dari nol. Kuadrat jumlah parsial membuat penyimpangan berkelanjutan lebih berpengaruh daripada pergantian tanda sesaat.

Statistik ini tidak negatif. Penyimpangan kumulatif yang besar relatif terhadap varians jangka panjang membuat hipotesis stasioneritas lebih sulit dipertahankan. Penyebutnya penting: dependensi serial residual mengubah variasi yang wajar dari jumlah parsial, bahkan jika proses dasarnya stasioner.

Versi level menanyakan apakah deret stasioner di sekitar konstanta. Versi tren menghilangkan intersep dan tren waktu linear terlebih dahulu, lalu menguji apakah komponen sisanya stasioner. Sebagian implementasi memakai label mu dan tau; nama maupun format output tergantung perangkat lunak.

Pilihan tersebut mengubah residual serta distribusi acuannya. Jika tren deterministik dihilangkan padahal deret stasioner terhadap tren, pola residual panjang dapat menaikkan statistik. Menambahkan tren tanpa alasan juga mengubah model uji dan dapat mengurangi daya untuk beberapa alternatif. Tentukan pilihan dari definisi data dan pertanyaan ekonomi, lalu laporkan; jangan berganti-ganti hanya sampai hasil terlihat menarik.

Nilai kritis KPSS berasal dari distribusi asimtotik nonstandar, dengan nilai berbeda untuk kasus level dan tren. Jangan gunakan cutoff t atau chi-square biasa atau satu ambang yang dihafal untuk semua spesifikasi deterministik. Gunakan tabel atau output perangkat lunak yang cocok dan sebutkan tingkat signifikansi.

Sebagian implementasi hanya melaporkan rentang p-value karena statistik dibandingkan dengan tabel nilai kritis yang terbatas. Laporkan rentang yang didukung output tanpa menambahkan desimal rekaan. Sertakan kasus level/tren dan sumber nilai kritis agar keputusan dapat direproduksi.

<!-- learn:illustration -->

Estimator varians jangka panjang yang umum memakai autokovarians residual berbobot:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

Di sini, \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) adalah autokovarians sampel pada lag \(j\) dengan penyebut \(n\); konvensi sampel terbatas dapat berbeda antarimplementasi.

Dengan bobot Bartlett, \(w_j=1-j/(\ell+1)\). Bandwidth pemotongan \(\ell\) menentukan berapa banyak autokovarians residual yang masuk dan seberapa cepat bobotnya turun. Implementasi dapat memakai kernel, aturan bandwidth, dan konvensi sampel-terbatas yang berbeda; sebutkan agar hasil dapat diulang.

Bandwidth ini bukan jumlah lag beda pertama yang ditambahkan ke regresi ADF. Di KPSS, ia mengatur estimasi varians jangka panjang; di ADF, lag beda masuk ke persamaan regresi. Perangkat lunak dapat menyebut keduanya “lag”, sehingga keterangan “lag 4” saja tidak cukup.

Bandwidth terlalu pendek dapat mengabaikan dependensi jangka pendek yang relevan. Bandwidth terlalu panjang dapat menambahkan autokovarians sampel yang berisik. Keduanya bisa mengubah statistik, ukuran, atau daya uji; arah perubahan tidak sama untuk semua residual. Laporkan kernel dan aturan pemilihan lag, lalu periksa apakah alternatif wajar yang ditentukan sebelumnya mengubah interpretasi.

Penyesuaian varians jangka panjang berkaitan dengan estimasi kovarians konsisten terhadap heteroskedastisitas dan autokorelasi. Namun, ini tidak membuat KPSS kebal terhadap setiap bentuk dependensi, patahan struktural, atau spesifikasi deterministik yang buruk. Panduan kovarians Newey–West membahas peran dan batas estimator HAC lebih luas.

Misalkan regresi tren pada enam observasi sintetis menghasilkan residual \(1,-1,0,0,-1,1\). Jumlahnya nol dan ortogonal terhadap tren waktu linear, sebagaimana residual regresi tren semestinya. Jumlah parsialnya \(1,0,0,0,-1,0\), sehingga jumlah kuadratnya \(2\).

Untuk ilustrasi aritmetika, gunakan konvensi autokovarians sampel dengan penyebut \(n\) dan bandwidth Bartlett satu. Komponen varians residual ialah \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\). Autokovarians lag satu adalah \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\), dengan bobot Bartlett \(1/2\). Maka

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

Perhitungan enam titik ini hanya menjelaskan mekanika rumus. Sampelnya terlalu kecil untuk keputusan asimtotik KPSS yang lazim; jangan menilai statistiknya dengan nilai kritis terbitan seolah-olah itu temuan empiris.

Menjalankan KPSS bersama uji tipe ADF menunjukkan seberapa jauh kesimpulan bergantung pada hipotesis nol. Baca hasilnya sebagai bukti di bawah dua model berbeda:

Kedua uji bisa berbeda dalam koreksi lag, komponen deterministik, sampel, serta pendekatan sampel-terbatas. Selaraskan pengaturan bila sesuai, catat perbedaan yang tersisa, dan jangan mengubah empat kombinasi itu menjadi aturan differencing otomatis. Tidak menolak bukan berarti hipotesis nol benar.

Pergeseran mean satu kali, tren yang berubah, atau patahan varians bisa membuat proses yang stasioner di tiap rezim tampak nonstasioner sepanjang sampel. Sebaliknya, akar yang mendekati satu sulit dibedakan dari unit root dengan data terbatas. Sampel pendek, outlier, ekor tebal, penyesuaian nonlinear, dan integrasi fraksional juga dapat mengganggu pendekatan acuan.

Sebelum melaporkan hasil, plot level, komponen deterministik yang dipilih, dan residual. Jika patahan masuk akal, gunakan desain yang mempertimbangkan patahan dan nyatakan hipotesis nol, perlakuan patahan, serta nilai kritisnya. Jika mencoba banyak tanggal patahan atau bandwidth, ungkapkan pencarian itu; p-value terkecil dari pencarian bukan lagi hasil uji yang belum dipilih.

Untuk spread dua aset, KPSS tidak menguji kointegrasi. Panduan Engle–Granger menjelaskan prosedur kointegrasi berbasis residual dengan persoalan nilai kritis tersendiri. Panduan rank Johansen membahas pendekatan sistem. KPSS pada satu harga tidak menggantikan keduanya.

Jika KPSS diterapkan pada residual setelah mengestimasi rasio hedge, model ARMA, atau tanggal patahan yang dipilih, residual tersebut berasal dari tahap pemodelan sebelumnya. Estimasi parameter dan seleksi model dapat mengubah distribusi nol. Jangan anggap nilai kritis biasa berlaku untuk seluruh pipeline; gunakan uji residual yang dikalibrasi untuk model atau bootstrap yang mengulang langkah estimasi.

Sebutkan variabel dan transformasi, jumlah observasi, hipotesis nol level/tren, komponen deterministik, kernel varians jangka panjang, aturan bandwidth, statistik, nilai kritis atau p-value yang cocok, serta tingkat signifikansi. Tampilkan sensitivitas hanya untuk alternatif yang beralasan dan dilaporkan transparan; jangan memilih hasil paling menarik setelah mencoba banyak window dan versi.

Untuk data pasar, jelaskan tanggal sampel, frekuensi, penyelarasan sesi, penanganan data hilang, dan apakah variabelnya harga, return, residual, atau spread. Gagal menolak hipotesis nol KPSS bukan bukti spread akan segera konvergen. Strategi mean-reversion tetap memerlukan ekuilibrium yang terdefinisi, evaluasi out-of-sample, waktu sinyal yang dapat digunakan, serta biaya spread, pendanaan, pinjaman, dan eksekusi yang realistis.

Uji pada level log harga menjawab pertanyaan berbeda dari uji pada return, yaitu beda pertama log harga. Differencing dapat menghilangkan tren stokastik pada model tertentu, tetapi juga mengubah variabel penelitian dan tidak membuktikan hubungan jangka panjang antar-aset. Pilih transformasi berdasarkan besaran yang ingin diestimasi dan laporkan secara jelas.

Makalah Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, dan Shin tahun 199290104-Y) merumuskan KPSS sebagai uji LM apakah komponen random walk memiliki varians nol. Makalah Newey dan West tahun 1987 adalah rujukan primer untuk estimasi kovarians HAC semidefinit positif. Untuk hipotesis nol unit root, lihat makalah Dickey dan Fuller tahun 1979.