ADF vs Phillips–Perron: Perbedaan Uji Akar Unit

Dalam persamaan level autoregresif, akar unit berarti guncangan tidak harus mereda dari level. Menulis selisih pertama sebagai regresi terhadap level tertunda memperjelas hipotesisnya: jika koefisien level tertunda sama dengan nol, proses level memiliki akar satu di bawah model yang ditentukan. Koefisien negatif mengarah pada alternatif stasioner, dengan syarat komponen deterministik dan asumsi lain sesuai.

Jadi, hipotesis nol dalam implementasi ADF dan PP yang umum bukan “deret ini stasioner”. Hipotesis nol menyatakan adanya akar unit; alternatifnya adalah stasioner di sekitar komponen deterministik yang dipilih. Gagal menolak hipotesis nol karena statistik tidak cukup negatif bukan bukti adanya akar unit. Sampel mungkin tidak berisi informasi yang cukup untuk membedakannya dari proses stasioner yang sangat persisten dengan akar autoregresif dekat satu.

Ini berbeda dari uji yang memakai stasioneritas sebagai hipotesis nol, seperti KPSS, dan dari uji kointegrasi langsung. Panduan stasioneritas dan akar unit membahas konsep yang lebih luas; panduan Engle–Granger membahas kasus khusus ketika kombinasi linear deret nonstasioner bersifat stasioner.

Regresi akar unit dapat tidak menyertakan komponen deterministik, menyertakan konstanta, atau menyertakan konstanta dan tren waktu linear. Ini bukan pilihan kosmetik. Konstanta mengizinkan drift di bawah hipotesis nol akar unit dan rerata bukan nol di bawah alternatif stasioner. Tren waktu memungkinkan alternatif stasioner berfluktuasi di sekitar tren deterministik. Komponen yang dipilih mengubah model dan distribusi nol.

Tren yang tidak diperlukan dapat mengurangi daya uji karena lebih banyak parameter harus diestimasi. Menghilangkan drift atau tren yang memang ada dapat mendistorsi ukuran dan interpretasi uji. Tentukan spesifikasi berdasarkan pertanyaan tentang proses pembangkit data dan grafik deret, nyatakan dengan jelas, lalu gunakan nilai kritis yang sesuai. Jangan memilih belakangan spesifikasi yang menghasilkan penolakan yang diinginkan.

Prinsip yang sama berlaku untuk log harga, spread, suku bunga, dan return. Tren naik mungkin masuk akal untuk level harga, tetapi tidak untuk return. Uji tidak memilih sendiri variabel ekonomi yang relevan. Komponen deterministik adalah bagian dari hipotesis, bukan detail prapemrosesan yang disembunyikan.

Regresi Augmented Dickey–Fuller dapat ditulis sebagai:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

Di sini dₜ memuat komponen deterministik yang dipilih dan hipotesis nolnya H₀: γ = 0. Selisih tertunda tambahan dimaksudkan agar gangguan yang tersisa cukup sesuai untuk pendekatan uji. Selisih itu memodelkan dinamika jangka pendek secara parametrik di dalam regresi; bukan menambahkan pembatasan akar unit.

Orde lag p penting. Lag yang terlalu sedikit dapat menyisakan korelasi serial dalam εₜ dan melemahkan pendekatan yang dimaksud. Terlalu banyak lag menghabiskan derajat kebebasan dan dapat mengurangi daya uji, terutama pada sampel pendek. Mulailah dari maksimum lag yang dinyatakan, bandingkan kriteria informasi yang dapat dipertanggungjawabkan dengan diagnostik residual, dan ungkapkan apakah pilihan lag terdekat mengubah hasil. Lag terpilih yang kecil bukan bukti bahwa dependensi residual tidak berbahaya. Harris (1992)90022-Q) mengkaji pilihan operasional dalam struktur lag, ukuran, dan daya uji ADF.

Pemilihan lag dapat sulit dalam proses tertentu. Ng dan Perron menunjukkan bahwa ketika akar moving-average dekat −1, AIC atau BIC konvensional dapat memilih terlalu sedikit lag augmentasi dalam prosedur akar unit yang mereka kaji. Kriteria informasi termodifikasi mereka dirancang untuk prosedur akar unit dengan detrending GLS dan uji terkait. Ini peringatan untuk dinamika tertentu, bukan aturan bahwa satu kriteria atau lag yang lebih panjang selalu unggul.

Uji Phillips–Perron dimulai dengan regresi bergaya Dickey–Fuller tanpa jumlah selisih tertunda seperti pada ADF:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

Lalu statistik ujinya dikoreksi menggunakan estimasi varians jangka pendek dan kovarians jangka panjang. Bentuk umum estimasi varians jangka panjang adalah:

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

γ̂ⱼ adalah autokovarians residual, K adalah bobot kernel, dan ℓ merupakan pilihan bandwidth atau pemotongan. Definisi persisnya berbeda menurut statistik PP dan konvensi perangkat lunak. Perbedaan konsepnya tetap sama: ADF menambahkan selisih tertunda pada regresi; PP menerapkan koreksi dependensi nonparametrik pada statistik dari regresi yang lebih ringkas.

PP bukan sekadar “ADF dengan standard error robust”. Koreksinya mengubah statistik akar unit dan perlakuan asimtotiknya; keluaran regresi robust biasa tidak membuat nilai kritis t biasa menjadi valid. Kernel dan bandwidth menentukan seberapa banyak dependensi yang ditangkap. Bandwidth terlalu kecil dapat melewatkan korelasi penting; bandwidth terlalu besar dapat membuat estimasi varians jangka panjang lebih berisik.

<!-- learn:illustration -->

Di bawah hipotesis nol akar unit, level tertunda berasal dari tren stokastik, bukan regressor stasioner. Karena itu, statistik keluarga DF memiliki distribusi limit nonstandar. Tabel t konvensional bukan acuan yang tepat, bahkan pada sampel besar. Nilai kritis bergantung pada ada tidaknya konstanta atau tren waktu, serta statistik dan implementasi yang digunakan.

Statistik PP ditransformasi untuk memperhitungkan dependensi, tetapi hipotesis nol akar unit tetap dibandingkan dengan hukum acuan nonstandar yang sesuai. Gunakan nilai kritis atau p-value dari implementasi yang diakui dan cocok dengan komponen deterministik serta statistiknya. Jangan bandingkan statistik ADF dari satu spesifikasi dengan nilai kritis PP dari spesifikasi lain, atau membaca t-ratio koefisien sebagai statistik Student t biasa.

Kalibrasi asimtotik tidak menjamin perilaku yang baik pada setiap sampel terbatas. Studi Monte Carlo Schwert melaporkan bahwa prosedur akar unit sensitif terhadap salah spesifikasi dan memiliki perilaku sampel terbatas yang berbeda antar-metode. Karena itu, baca p-value dengan mempertimbangkan panjang sampel, dependensi data, pengaturan lag atau bandwidth, dan spesifikasi regresi.

Ukuran uji adalah peluang menolak hipotesis nol akar unit yang benar; daya uji adalah peluang menolak di bawah alternatif stasioner tertentu. Uji dapat terlihat meyakinkan dalam satu sampel, tetapi berukuran keliru di bawah struktur dependensi yang sebenarnya. Lag ADF dan koreksi kovarians jangka panjang PP menangani masalah terkait lewat pendekatan berbeda; hasil salah satunya tidak menjamin yang lain menjadi robust.

Untuk ADF, periksa apakah autokorelasi residual masih ada setelah lag ditambahkan dan apakah satu lag tambahan mengubah inferensi secara berarti. Untuk PP, laporkan kernel dan aturan bandwidth, lalu periksa alternatif yang masuk akal. Ini pemeriksaan sensitivitas, bukan izin untuk mencoba banyak spesifikasi dan mempertahankan p-value yang paling menguntungkan. Hasil Ng–Perron juga mengingatkan bahwa pemilihan lag berinteraksi dengan proses gangguan dan detrending deterministik; kriteria informasi mekanis tidak menyelesaikan semua desain.

Kedua uji dapat berdaya rendah terhadap alternatif stasioner yang sangat persisten. Gagal menolak bukan bukti positif bahwa diferensiasi diperlukan. Jika sampel pendek, akar dekat satu, atau kesimpulan sangat penting bagi model, pertimbangkan bukti pelengkap dan prosedur lain dengan asumsi yang jelas alih-alih menganggap ADF dan PP sebagai suara independen.

Pergeseran level, perubahan tren, rezim kebijakan, perubahan patokan mata uang, atau pergeseran struktur pasar dapat membuat deret tampak sangat persisten, padahal segmen stasioner di sekitar lintasan deterministik yang berubah mungkin lebih tepat. Analisis Perron tentang perubahan historis besar menunjukkan bahwa kesimpulan akar unit dapat bergantung pada apakah break diizinkan. ADF dan PP standar tidak otomatis menemukan setiap break.

Plot deret, dokumentasikan perubahan institusional yang diketahui, dan tanyakan apakah uji yang mengizinkan break atau model tersegmentasi menjawab persoalan sebenarnya. Mencari break setelah melihat sampel yang sama dapat memengaruhi inferensi; gunakan metode dengan nilai kritis yang sesuai untuk proses pencarian atau nyatakan analisisnya eksploratif. Panduan Bai–Perron membahas estimasi break regresi, bukan koreksi langsung bagi ADF atau PP tanpa modifikasi.

Transformasi juga penting. Level harga, log harga, spread harga, dan return adalah variabel ekonomi yang berbeda. Mendiferensiasi level yang kemungkinan berakar unit dapat menghasilkan deret yang lebih stabil; mendiferensiasi level yang stasioner dapat membuang informasi dan menciptakan spesifikasi yang terlalu berisik. Dalam riset pasangan, analisis kointegrasi membantu membedakan tren stokastik terpisah dari spread yang mungkin stasioner. Tidak satu pun diagnostik ini sendiri membuktikan strategi akan menguntungkan.

Misalkan level hipotetis mengikuti:

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

μ adalah drift konstan dan inovasi εₜ mungkin memiliki dependensi serial. Kurangi kedua sisi dengan yₜ₋₁ untuk memperoleh Δyₜ = μ + εₜ; koefisien γ untuk level tertunda adalah nol dalam regresi diferensiasi terkait. Ini bentuk aljabar dari hipotesis nol akar unit. Aljabar ini tidak menghasilkan p-value: hukum acuan tetap nonstandar dan bergantung pada komponen deterministik serta penanganan dependensi.

Jika ADF dipasang, selisih tertunda berupaya merepresentasikan dependensi jangka pendek di regresi. Jika PP dipakai, persamaan dasar lebih ringkas dan statistiknya mendapat koreksi kovarians jangka panjang yang diestimasi. Jika data memiliki break pada tren deterministik, kedua implementasi standar dapat salah spesifikasi meskipun perangkat lunak menampilkan statistik yang tampak presisi.

Perbandingan ini memiliki tiga lapisan: hipotesis nol substantif, spesifikasi regresi dan deterministik, serta koreksi dependensi residual. Dengan dua lapisan pertama tetap, ADF dan PP menjadi diagnostik alternatif yang berguna; mengubah ketiganya sampai salah satu menolak bukan uji robustitas. Hasil yang berbeda mengundang pemeriksaan asumsi dan pengaturan, bukan perlombaan untuk menentukan model secara otomatis.

Laporkan variabel dan transformasinya, tanggal serta frekuensi sampel, komponen deterministik, aturan lag ADF dan orde terpilih, atau statistik PP, kernel, dan bandwidth. Nyatakan hipotesis nol dan alternatif, statistik, nilai kritis atau p-value yang sesuai, serta pemeriksaan autokorelasi residual dan break. Jika hasil sensitif terhadap pengaturan yang masuk akal, jelaskan; jangan hanya tampilkan spesifikasi yang mendukung narasi pilihan.

Alur kerja yang berguna dimulai dengan menentukan sasaran dan model ekonomi, memilih komponen deterministik, menjalankan ADF atau PP yang dispesifikasi dengan tepat, memeriksa dependensi dan kemungkinan break, lalu membandingkannya dengan bukti pelengkap. Panduan variance ratio memeriksa implikasi lain dari random walk. Hipotesis nolnya berbeda dan tidak menggantikan uji akar unit.

ADF maupun PP tidak memerintahkan diferensiasi saat p-value melewati ambang tertentu. Diferensiasi adalah keputusan pemodelan tentang deret dan pertanyaan: meramal perubahan, mengestimasi relasi jangka panjang, menguji spread trading, atau mempertahankan informasi level dapat menghasilkan pilihan berbeda. Uji membantu keputusan, tetapi transformasi akhir juga harus mempertimbangkan proses pembangkit data, stabilitas, tujuan peramalan, dan struktur kointegrasi.